全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)

全國裔中藪老寐賽橫如能駁(一)

(命題人：吳偉期)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、方程6X(5/+護(hù))=5/滿足cW20的正整數(shù)解QA,c)的個數(shù)是

(A)1(B)3(C)4(D)5

r2

2、函數(shù))，==(x￡R,xWl)的遞增區(qū)間是

(A)%22(B)xWO或

(C)xWO(D)xWl-叵或谷叵

3、過定點P(2,l)作直線/分別交x軸正向和)，軸正向于A、8,使△408(0

為原點)的面積最小，貝卜的方程為

(A)x+廠3=0(B)x+3y—5=0

(C)2x+y-5=0(D)x+2)，-4=0

4^若方程cos2x+V^sin2x=a+1在0,—上有兩個不同的實數(shù)解x,則參

_2_

數(shù)。的取值范圍是

(A)0?1(B)一3?1

(C)a<\(D)0<a<\

5、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是

(A)42(B)45(C)48(D)51

6、在1,2,3,4,5的排列〃|,〃2。3,。4,。5中，滿足條件0V。2，。2>。3,a3V3出

>45的排列的個數(shù)是

(A)8(B)10(C)14(D)16

二、填空題：(每小題9分，共54分)

1、區(qū)表示不大于x的最大整數(shù)，則方程;X[X2+X]=19X+99的實數(shù)解x

是?

2、設(shè)0=1,斯+1=2&+層，則通項公式?！?.

3、數(shù)7"被2550除所得的余數(shù)是.

4、在△ABC中，NA=—,sin8=—，則cosC=.

313--------------

5、設(shè)%、，是實數(shù)，使得關(guān)于x的方程/一(2k+l)x+F—l=O的兩個根為

sin壞Jcos。則。的取道范圍是.

6、數(shù)(5+&[(〃￡N)的個位數(shù)字是.

三、(20分)

己知x、y、z都是非負(fù)實數(shù)，且x+y+z=l.

求證：x(l-2x)(1-3x)+y(l-2^)(1-3y)+z(l-2z)(l-3z)^0,并確

定等號成立的條件.

四、(20分)

(1)求出所有的實數(shù)①使得關(guān)于x的方程f+g+zoozu+a：。的兩根

皆為整數(shù).

(2)試求出所有的實數(shù)小使得關(guān)于x的方程/+(-a2+2々+2)4—2片一

2。=0有三個整數(shù)根.

五、(20分)

試求正數(shù)r的最大值，使得點集T={(xj)|x、yER,且/+。一7/

W，2}一定被包含于另一個點集5={(兒份|%、y￡R，且對任何86R，都有

cos20~\~xcos夕+y20}之中.

第二試

(50分)

設(shè)〃、b、c￡R,b#ac，a#—c,z是復(fù)數(shù)，且z?—(q—c)z—6=0.

求證：“2+"-(a+c)z=i的充分必要條件是3—c)2+4bW0.

ac-b

（50分）

如圖，在△ABC中，/A8C和NAC8均是銳角，

。是邊上的內(nèi)點，且AD平分NB4C,過點。

分別向兩條直線A8、AC作垂線OP、DQ,其垂足

是P、Q，兩條直線。尸與BQ相交與點K.求證：

（1）AKA.BCx

⑵AK<AP=A?！垂P號，其中8c表

L>C

示AABC的面積.

（50分）

給定一個正整數(shù)〃，設(shè)〃個實數(shù)0,。2,…，斯?jié)M足下列拉個方程:

=^—.U=1,2,3,???/）.

J2尸1

確定和式S=與含的值（寫成關(guān)于〃的最簡式子）.

參考答案

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案CCDABD

二、填空題:

181Tl587

1、----或----2、7X2”“一層一2〃一3；

3838

573-12

3、343；4、

26

5、{6（6>=2〃什立或2〃;廣5，wEZ}；6、1（〃為偶數(shù)）；7（〃為奇數(shù)）.

]=y=g或.11

二、證略’等號成立的條件是'=）'=2=（或.x=z=-_p.y=z=—

2或，2.

z=0y=0z=0

四、(1)。的可能取值有0,-1336,-1936,-I960,-2664,-4000,-2040；

(2)。的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax=45/2.

第二試

證略（提示：直接解出Z="C±—4〃T,通過變形即得充分性成

2

立，然后利用反證法證明必要性）.

二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR,利用塞瓦定理證明AR、BQ、

CP三線共點，從而AKJ_8C；記AR與尸Q交于點7,則更^號=AR>47>

BC

AQ=AP,對于AKVAP,可證NAPKVNAKP).

1

三、S=—+1.

(2〃+J

全國裔中藪老寐賽橫叔能題(二)

(命題人：江厚利審題人：李潛)

第一試

一、選擇題(每小題6分，共36分)

己知集合A=?(x,y)|叱巨=4+1

18={x,y)(a2-1卜+(a-l)y=15}.若

\x-2

AQB=0,則〃的所有取值是

(A)-1,1(B)—1,—

2

(C)±1,2(D)±1,-4,-

2

2、如圖1,已知正方體ABC。ABiCQi,點M、N分別

在48、8G上，且AM=8N.那么，卜

^A4i_LMN；

②4ci〃MM

③MN〃平面48iG。；

④MN與4cl異面.A

以上4個結(jié)論中，不正確的結(jié)論的個數(shù)為'圖1

(A)1(B)2(C)3(D)4

3、用S“與小分別表示區(qū)間［0,1)內(nèi)不含數(shù)字9的〃位小數(shù)的和與個數(shù).則

的值為

4、首位數(shù)字是1,且恰有兩個數(shù)字相同的四位數(shù)共有

(A)216個(B)252個(C)324個(D)432個

5、對一切實數(shù)x,所有的二次函數(shù)/(工)=奴2+/?x+c(a〈b)的值均為非負(fù)

實數(shù).則一號一的最大值是

a+b+c

(A)-(B)-(C)3(D)2

32

r2v2

6、雙曲線r-'=1的一個焦點為Q,頂點為4、Az,P是雙曲線上任意

ab

一點.則分別以線段PQ、A/2為直徑的兩圓一定

(A)相交(B)相切

（C）相離（D）以上情況均有可能

二、填空題（每小題9分，共54分）

7+i

1、已知復(fù)數(shù)4=2+i,2Z=-4—?若△ABC的3個內(nèi)角NA、NB、

27⑵+1）-Z|

c

ZC依次成等差數(shù)列，且〃=cosA+2icos?耳，則Iw+z2］的取值范圍

是.

2、點尸3力）在第一象限內(nèi)，過點P作一直線/,分別交x、y軸的正半軸于A、

8兩點.那么，P/P+p"取最小值時，直線/的斜率為.

3、若△4BC是鈍角三角形，則arccos（siM）+arccos（sinB）+arccos（sinC）的取

值范圍是.

4、在正四面體48C。中，點M、P分別是A。、CQ的中點，點N、。分別

是△8C。、ZVIBC的中心.則直線MN于P。的夾角的余弦值為.

5、在（&+2廣”的展開式中，x的基指數(shù)是整數(shù)的各項系數(shù)之和是.

6、集合A、B、。（不必兩兩相異）的并集AUBUC={I,2,3,…則滿足

條件的三元有序集合組的個數(shù)是.

三、（20分）

設(shè)〃>0,當(dāng)〃變化時，CP：V=2px為一族拋物線，直線/過原點且交

G于原點和點Ap.又M為1軸上異于原點的任意點，直線交g于點

4和5.求證：所有的點為在同一條直線上.

四、（20分）

對于公差為d（dW0）的等差數(shù)列{〃〃},求證：數(shù)列中不同兩項之和仍是這

一數(shù)列中的一項的充要條件是存在整數(shù)〃使勾=〃以.

五、（20分）

求最大的正數(shù)力使得對任意實數(shù)〃、b,均有

從（a+b）2.+

第二試

一\（50分）

如圖2,。。切△ABC的邊AB于點O,切邊AC于點C,M是邊上

一點，AM交CD于點、N.求證：M是BC中點的充要條件是。N_LBC.

二、（50分）

求出能表示為〃="等丫

（〃、b、c￡Z+）的所有正

abc

整數(shù)〃.B

三、（50分）圖2

在一個（2"-1卜（2"-1）（〃22）的方格表的每個方格內(nèi)填入1或一1,如

果任意一格內(nèi)的數(shù)都等于與它有公共邊的那些方格內(nèi)所填數(shù)的乘積，則稱這

種填法是“成功”的.求“成功”填法的總數(shù).

參考答案

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案DBDDAB

4ab

2、

a

1

4、

18：

6、T.

三、證略.

四、證略.

五、3張

第二試

一、證略；

二、123,4,5,6,8,9.

三、1種（每空填1）.

全國龍中最老寐賽梗如鍬駁（三）

（命題人：吳偉朝）

第一試

一、選擇題：（每小題6分，共36分）

1、若集合S={〃|〃是整數(shù)，且22〃+2整除2003〃+2004},則S為

（A）空集0（B）單元集（C）二元集（D）無窮集

2、若多項式f—x+l能除盡另一個多項式/+/+奴+貿(mào)皆為常數(shù)）.則

〃十8等于

（A）0（B）-1（C）1（D）2

3、設(shè)。是整數(shù)，關(guān)于x的方程f+g—3)X+Q2=O的兩個實根為笛、及，且

tan(arctan汨+arctan4)也是整數(shù).則這樣的。的個數(shù)是

(A)0(B)1(C)2(D)4

4、設(shè)一個四面體的體積為Vi,且它的各條棱的中點構(gòu)成一個凸多面體，其

體積為丫2.則譽(yù)為

17

(A)-(B)-

23

(C)常數(shù)，但不等于工和2

23

(D)不確定，其值與四面體的具體形狀有關(guān)

5、在十進(jìn)制中，若一個至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外，其

余各個數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時，則稱它為遞降正整數(shù).所有這樣的

遞降正整數(shù)的個數(shù)為

(A)1001(B)1010(C)1011(D)1013

6、在正方體的8個頂點中，能構(gòu)成一個直角三角形的3個頂點的直角三點

組的個數(shù)是

(A)36(B)37(C)48(D)49

二、填空題：(每小題9分，共54分)

1、若直線xcos，+ysinO=cos2。-si/OlOV"%)與圓；有公共點，

則儆取值范圍是.

2、在平面直角坐標(biāo)系10)，中，一個圓經(jīng)過(0⑵、(3,1),且與x軸相切.則

此圓的半徑等于.

3、若常數(shù)。使得關(guān)于x的方程

lg(f+20x)—lg(8x—6〃-3)=0

有惟一解.則。的取值范圍是.

Y2

4、fix)=----kxcosx+cos(2x)(x*R)的最小值是_______________.

8

5、若女是一個正整數(shù)，且》整除

CU+C短3】+…+C^3,+…+C髏32期

則k的最大值為.

6、設(shè)A8C。為凸四邊形，A8=7,BC=4,CD=5,D4=6,其面積S的取

值范圍是3力］.則a-\-b=.

三、(20分)

設(shè)橢圓的左右焦點分別為丹、B，左準(zhǔn)線為/,點P在橢圓上.作尸Q_L

I,Q為垂足.試問：對于什么樣的橢圓，才存在這樣的點P,使得PQBB

為平行四邊形？說明理由(答案用關(guān)于離心率《的等式或不等式來表示).

四、(20分)

設(shè)40=1,0=2,即］=2廂1+九，鹿=1,2,3,….試求出?！钡谋磉_(dá)式（答

案用有限個關(guān)于〃的式子相加的形式表示，且項數(shù)與〃無關(guān)）.

五、（20分）

試求出所有的有序整數(shù)對3力），使得關(guān)于x的方程d+（2b—tdf—2公

+〃-1=0的各個根均是整數(shù).

第二試

一、（50分）

點P在△ABC內(nèi)，且N84尸=NC4P,連結(jié)8P并延長交AC于點Q.設(shè)

口111

NBAC=60°，U.一十一

BPPC~PQ

求證：尸是△ABC的內(nèi)心.

（50分）

b

設(shè)正數(shù)4、。滿足。〉且使得關(guān)于尢的不等式

yJX—12aJX+1—b

總有實數(shù)解.試求人。力）=屏一3"+〃的取值范圍.

三、（50分）

試求出正整數(shù)4的最小可能值，使得下述命題成立：對于任意的k個整

數(shù)…，以（允許相等），必定存在相應(yīng)的火的整數(shù)汨42,…小（也允許相

等）,且|rdW2（i=l,2,…㈤,|劉+悶+???+麻|W0,使得2003整除即s+及僅

H-----\~xkak.

參考卷案

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案CCBADC

二、填空題：

■.U你片2、15±6底

163」

T~2

5、2004；6、2V210.

四、。2〃=2〃+2—2〃-3；。2底1=3X2/】一2〃一4.

五、(a,b)=(21-11)(V/eZ)

第二試

PCPAPC

?、證略（提示：將條件變形為一±+lt=-,然后應(yīng)用正弦定理，進(jìn)行三角

PAPBPQ

變換，得NBPC=120°,利用同一法即證）；

全國裔中藪老寐賽橫加能致（^）

（命題人：劉康寧）

第一試

一、選擇題（每小題6分，共36分）：

1、函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是

\x+a\-a

(A)一1W〃VO或OVaWl(B)〃《一1或。21

(C)a>0(D)a<0

2、己知三點A（—2,1）、加一3,—2）、。（一1,一3）和動直線/：y=kx.當(dāng)點A、

8、C到直線/的距離的平方和最小時，下列結(jié)論中，正確的是

（A）點A在直線/上（B）點3在直線/上

（C）點。在直線/上（C）點A、B、C均不在直線/上

3、如圖，己知正方體ABCD-A\B\C\D\f過頂點Ai

在空間作直線）,使/與直線AC和BG所成的角Di

都等于60°.這樣的直線/可以做，/|

(A)4條(B)3條

(C)2條(D)1條

DJ——

4、整數(shù)的〃=C黑兩位質(zhì)因數(shù)的最大值是

(A)61(B)67

(C)83(D)97

5、若正整數(shù)。使得函數(shù)y==x+三菽的最大值也是整數(shù)，則這個

最大值等于

(A)3(B)4(C)7(D)8

6、在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色.先染1,

再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9

后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連

續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列

1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,則在這個紅色子數(shù)列中，由1

開始的第2003個數(shù)是

(A)3844(B)3943(C)3945(D)4006

填空題(每小題9分，共54分)：

1、在復(fù)平面上，的頂點A、B、。分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)z+1、2z+l、(z

+1RA為直角頂點，且|z|=2.設(shè)集合M={詞泮￡R,mGN+),P={x|x

=—,〃z￡M}.則集合戶所有元素之和等于______?

2

2、函數(shù)/)=|siM+sin42x+|cosx|的最大值與最小值之差等于.

3、關(guān)于x的不等式

工?1(2〃一+2卜：々?+4a-7v0

x2+\a2+4。-5k一。7

的解集是一些區(qū)間的并集，且這些區(qū)間的長度的和小于4,則實數(shù)々的取

值范圍是.

4、銀行計劃將某項資金的40%給項目M投資一年，其余的60%給項目N.預(yù)

計項目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的

年利潤.年終銀行必須回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶.為

使銀行的年利潤不少于給"、N總投資的10%而不大于總投資的15%,

則給儲戶的回扣率的最小值是.

5^已知點(〃力)在曲線arcsinx=arccosy上運動，且橢圓ar2+Z?jj2=l在圓x2

2

的外部(包括二者相切的情形).那么，arcsinb的取值范圍

+產(chǎn)耳

是.

6、同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球.己知兩個正三棱錐的底面邊長為小

球的半徑為R.設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為a、仇則

tan(a+向的值是.

三、(20分)

△45C的三邊長〃、b、c力Wc）同時滿足下列三個條件

（i）a、8、c,均為整數(shù)；

<ii）。、b、。依次成等比數(shù)列；

（iii）a與c中至少有一個等于100.

求出（〃力,c）的所有可能的解.

四、（20分）

在三棱錐。?A3C中，AD=a,BD=b,AB=CD=c,^.ZDAB+ZBAC

+NZMC=180°,/DBA+/ABC+NDBC=180°.求異面直線AO與8C

所成的角.

五、（20分）

設(shè)正系數(shù)一元二次方程加+bx+c=0有實根.證明:

4

(1)max{〃,Z?,c}N—(a+6+c)；

(2)min{a,6,c)W,(〃+/?+(?).

4

第二試

一、（50分）

已知△ABC的外角NE4C平分線與△ABC的外接圓交于￡）,以CD為直

徑的圓分別交8C、CA于點尸、Q.

求證：線段尸Q平分AABC的周長.

二、（50分）

已知X（）=l,X\=3fxw+l=（）Xn-Xn-\（〃WN+）.

求證：數(shù)列｛方｝中無完全平方數(shù).

三、（50分）

有2002名運動員，號碼依次為1,2,3,…，2002.從中選出若干名運

動員參加儀仗隊，但要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人

的號碼數(shù)的乘積.那么被選為儀仗隊的運動員至少能有多少人？給出你的選

取方案，并簡述理由.

參考答嗓

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案CDBACB

二、填空題：

1、—；2、V2；

7

3、[1,3];4、10%；

三、可能解為(100,100,100),(100,110,121),(100,120,144),(100,130,169),

(100,140,196),(100,150,225),(100,160,256),(49,70,100),(64,80,100),

(81,90,100),(100,100,100).

幟-。

四、arcco^---z~L.

44

五（1）證略（提示：令a+〃+c=f,分和討論）；

99

（2）證略（提示：分awL和?！礚討論）；

44

第二試

一、證略；

二、證略（提示：易由特征根法得第=^［（3+2收）”+（3-2近丫］,設(shè)為=

泰［（3+2⑸-（3-2⑸］,于是看一2寸=1,原結(jié)論等價于方程3—2）2

=1無整數(shù)解，由數(shù)論只是可證）.

三、43.

全國離中數(shù)號聯(lián)賽梭加徐致（五）

（命題人：羅增儒）

第一試

一、選擇題：（每小題6分，共36分）

1、空間中〃（〃23）個平面，其中任意三個平面無公垂面.那么，下面四個

結(jié)論

（1）沒有任何兩個平面互相平行；

（2）沒有任何三個平面相交于一條直線；

（3）平面間的任意兩條交線都不平行；

（4）平面間的每一條交線均與〃-2個平面相交.

其中，正確的個數(shù)為

（A）1（B）2（C）3（D）4

2、若函數(shù)），=/U）在用上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當(dāng)⑼

時，4c）的近似值可表示為

（A）%）+母）（B）

（C）（…叱+『）陽⑴）?。?尸［加）-%）］

\b-ci）b-a

3、設(shè)—c,a+b+c=l,且片+從+4勺，則

（A）a+b>\（B）〃+b=l（C）a+b<l

（D）不能確定，與久方的具體取值有關(guān)

4、設(shè)橢圓m+口=1的離心率”且，已知點d0,口到橢圓上的點的最遠(yuǎn)

a2b22I2J

7

距離是士，則短半軸之長b二

4

(A)—(B)-(C)-(D)-

16842

5、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等

差數(shù)列.那么，這樣的三元子集A的個數(shù)是

(A)C短(B)Cjw+C：?

A24-A2

c1001TC1002/八2003

6、長方體ABCO-A向CD”4G為體對角線.現(xiàn)以A為球心，AB.AD.

A4、AG為半徑作四個同心球，其體積依次為Vi、/、內(nèi)、山，則有

(A)%<%+%+心(B)%=V1+V2+V3

(C)V4>Vi+V2+V3(D)不能確定，與長方體的棱K有關(guān)

填空題：(每小題9分，共54分)

1、已知地［=竺］=人則女的取值范圍為____________________.

sinpcosp

2、等差數(shù)列{〃〃}的首項0=8,且存在惟一的k使得點(匕加在圓^+/=102±,

則這樣的等差數(shù)列共有個.

3、在四面體P—ABC中，PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且。<力，則巴的取

b

值范圍為.

4、動點4對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=4(cos例■isin⑨，定點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2,點。為

線段A8的中點，過點。作A8的垂線交0A與O,則。所在的軌跡方程

為?

2003

5、人被8所除得的余數(shù)為.

jt-i

6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數(shù)為一.

三、(20分)

已知拋物線y2=2px(p>0)的一條長為I的弦AB.求4B中點M到y(tǒng)

軸的最短距離，并求出此時點M的坐標(biāo).

四、(20分)

單位正方體ABC。-48IG￡>I中，正方形A8CO的中心為點正方

形的中心為點N,連AN、B\M.

（1）求證：AN、BiM為異面直線；

（2）求出AN與61M的夾角.

五、（20分）

對正實數(shù)。、b、C.求證：

yjaz+ShcJ/+8〃cJc2+8ab、八

-------------+--------------+--------------29.

abc

第二試

一、（50分）

設(shè)ABCO是面積為2的長方形，P為邊CO上的一點，。為4PAB

的內(nèi)切圓與邊AB的切點.乘積PA-PB的值隨著長方形ABCD及點P

的變化而變化，當(dāng)P4-PB取最小值時，

（1）證明：A822BC；

（2）求4Q?的值.

二、（50分）

給定由正整數(shù)組成的數(shù)列

卜=1必=2（心口

U+2=4+1+4

（1）求證：數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點

（。|,。2），（。3,如），…，伍2",。20，…

均在曲線/+盯-y2+]=o上.

（2）若設(shè)人止亡+婷-即E-MI，證明：g（x）整除TO：）.

三、（50分）

我們稱442,…為集合4的一個n分劃，如果

（1）AUA2U---UA,=^；

(2)4nA70,

求最小正整數(shù)m,使得對A={1,2,…,〃2}的任意一個13分劃

A/2,…43,一定存在某個集合4(1WiW13),在A?中有兩個元素〃、b

Q

滿足力〈?！慈?/p>

8

參考率嚓

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案DCACBC

二、填空題：

1、92、17；

12」［2,

3、(也一⑸)4、工J；

43

5、4；6、117600.

四、(1)證略;(2)arccos—.

3

五、證略.

第二試

一、(1)證略(提示：用面積法，得PA?PB最小值為2,此時NAPB=90°)；

(2)AQ?BQ=\.

二、證略(提示：用數(shù)學(xué)歸納法).

三、w=117.

全圖名中粼名聯(lián)賽模如鍬駁(^)

(命題人：秦永茍春鶴)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、在復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)ZI、Z2在以i對應(yīng)的點為圓心，1為半徑的圓上,

z-z2的實部為零，argzi=—,則Z2二

6

V33.

(B)1

22

(C)i(D)---i

2222

2、已知函數(shù)/(x)=logjo?-x+g)在［［,2］上恒正，則實數(shù)。的取值范圍是

3

(A)(B)5M

(c)(輔U加)(D)D

3、已知雙曲線過點〃(-2,4),N(4,4),它的一個焦點為B(1,O),則另一個焦

點6的軌跡方程是

(A)=1(yWO)或x=l(yHO)

(B)+———=1(SO)或x=l()層0)

1625

(C)+()—)=1(y#o)或日(/0)

(D)0—4)+(y—°=](xWO)或y=l(x#O)

1625

4、己知正實數(shù)a、〃滿足。+斤1,則+5的整數(shù)部分是

(A)1(B)2(C)3(D)4

5、一條筆直的大街寬是40米，一條人行道穿過這條大街，并與大街成某一

角度，人行道的寬度是15米，長度是50米，則人行道間的距離是

(A)9米(B)10米(C)12米(D)15米

6、一條鐵路原有機(jī)個車站，為適應(yīng)客運需要新增加〃個車站(/:>1),則

客運車票增加了58種(注：從甲站到乙站需要兩種不同的車票)，那么

原有車站的個數(shù)是

(A)12(B)13(C)14(D)15

二、填空題：(每小題6分，共36分)

1、長方形ABCO的長A3是寬8C的2石倍，把它折成無底的正三棱柱，使

與BC重合折痕線E/、G”分別交原對角線AC于M、N,則折后截

面4MN與底面AFH所成的角是.

2、在△45C中，a、力、c是角A、B、。的對邊，且滿足*+加=2/,則角C

的最大值是.

3、從盛滿。升(a>l)純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1

升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去.則第〃次操作后溶液的濃度

是?

4、己知函數(shù)段)與g(x)的定義域均為非負(fù)實數(shù)集，對任意規(guī)定

?x)*g(x尸min{7U),g(x)}.若7(X)=3T,g(x)=^2x+5,則?x)*g(x)的最大

值為.

5、從1到1()()的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100,

則可有不同的取法.

6、若實數(shù)40,則滿足。5_/+〃=2的。值屬于區(qū)間：①(0,%)；@(V2,V3)；

③(%,+co);@(0,V2).其中正確的是.

三、(20分)

求證：經(jīng)過正方體中心的任一截面的面積不小于正方體的一個側(cè)面

的面積

四、（20分）

直線Ar+B.r+C=O（A?5?C^O）與橢圓從/十/尸二//相交于尸、Q

兩點，O為坐標(biāo)原點，且OP_LOQ.求證：^4--\.

五、（20分）

某新建商場建有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部，共有190名

售貨員，計劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品的總金額）為60萬元，

根據(jù)經(jīng)驗，各部商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1,每1萬元

營業(yè)額所得利潤如表2.商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部，同時

適當(dāng)安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預(yù)計每日的總利潤為c（萬元）且

滿足19WcW19.7,又己知商場分配給經(jīng)營部的日營業(yè)額均為正整數(shù)萬

元，問這個商場怎樣分配日營業(yè)額給三個部？各部分別安排多少名售貨

員？

表1各部每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)表

部門人數(shù)

百貨部5

服裝部4

家電部2

表2各部每1萬元營業(yè)額所得利潤表

部門利潤

百貨部0.3萬元

服裝部0.5萬元

家電部0.2萬元

第二試

一、（50分）

矩形ABCO的邊AD=4-AB,以AB為直徑在矩形之外作半圓，在半

圓上任取不同于A、8的一點P,連PC、PO交于E、凡若AE2+BF2=AB2,

試求正實數(shù)2的值.

二、（50分）

若4￡R+（i=l,2,…,〃），S=Z《，且2W〃WN.

1=1

求證：

*=iS—。卜n-\?=[

三、（50分）

無窮數(shù)列｛<?〃｝可由如下法則定義：Cn+l=|l-|l-2en||,而OWciWl.

（1）證明：僅當(dāng)CI是有理數(shù)時，數(shù)列自某一項開始成為周期數(shù)列.

（2）存在多少個不同的。值，使得數(shù)列自某項之后以r為周期（對

于每個7二2,3,…）?

參考卷案

第一試

一、選擇題:

題號123456

答案ACABCC

二、填空題:

三、證略.

四、證略.

五、8,23,29或10,20,30（萬元），對應(yīng)40,92,58或50,80,60（人）.

第二試

1V2

一A=--；

2

二、證略.

三、（1）證略.

（2）無窮個.

全國裔中藪老寐賽橫如能駁(七)

(選題人：李潛)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

7、a、b是異面直線，直線c與。所成的角等于。與人所成的角，則這樣的

直線。有

(A)l條(B)2條(C)3條(D)無數(shù)條

8、已知火x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若?￥)-8。尸/+級+3,

則危)+g(x)=

(A)-f+2x-3(B)X2+2X-3(C)-2X+3(D)f-2X+3

9、已知△ABC,。為△A3C內(nèi)一點，ZAOB=ZBOC=ZCOA=—,貝I」使