經(jīng)濟(jì)學(xué)債務(wù)償還

1債務(wù)償還的三種方式滿期償還，是指借款者在貸款期滿時一次性償還貸款的本金和利息。分期償還，是指借款者在貸款期間，按照一定的時間間隔，分期償還貸款的本金和利息。償債基金，是指借款者每期向貸款者支付貸款利息，并且另存一筆款項，建立一個基金，在貸款期滿時這一基金恰好等于貸款本金，一次性償還給貸款者。2第一節(jié)分期償還計劃

貸款余額分析形式：年金計算貸款余額的方法：過去法&未來法過去法:基于已經(jīng)歷時間的貸款和還款的積累值而計算貸款余額未來法:根據(jù)未來要償還款項的折現(xiàn)值計算貸款余額假設(shè)在0時刻貸款額為L，分n期償還，每期期末還款額為P，每期貸款利率為i?，F(xiàn)在考慮在時刻k（剛剛償還P后）的貸款余額。3過去法在時刻0，有，即各期還款的現(xiàn)值等于貸款額。在時刻k，，此時已還款積累值為，貸款余額為4未來法按照未來法，借款者將來還需要還款n-k次，每次還款額仍為P，在k時刻的貸款余額現(xiàn)值為。事實上，這兩種方法是等價的。5證明：6過去法和未來法的選擇在實務(wù)中，可以根據(jù)不同條件，選擇利用過去法或者未來法進(jìn)行計算，使得計算更為簡單。若已知每次還款額和尚未還款次數(shù)，則未來法較為簡單，若不知尚需還款次數(shù)或者不知最后一次不規(guī)則還款額，則過去法較為簡單。7例4.1.1已知某住房貸款100000元，分10年還清，每月末還款一次，每年計息12次的年名義利率為6%，分別利用過去法和未來法計算在還款50次后的貸款余額。8例4.1.2若某借款人每年末還款1000元，共20次。在第5次還款時，他決定將手頭多余的2000元也作為償還款，然后將剩余貸款余額期調(diào)整為12年，若利率為9%，計算調(diào)整后每年的還款額。9例4.1.3某年輕借款人預(yù)計其10年后工資會大幅上漲，他決定在前10年每年末還款8000元，而后5年每年末還款20000元，年利率為8%，計算B5.5。10分期償還表假設(shè)分析償還款按照標(biāo)準(zhǔn)年金進(jìn)行，年利率為i，還款期限為n，每期期末還款額為1，則在時刻k有還款額1還款中的利息還款中的本金貸款余額11可見，表中的貸款余額是通過未來法計算而得的；第k次償還款中利息部分，本金部分，本金部分成等比級數(shù)遞增；若每期還款額為P，則表中各列同比例增長為P倍；由于計算誤差，往往最后貸款余額不是0，因此一般對最后一次償還款進(jìn)行調(diào)整，使得調(diào)整后的償還額恰好等于前一年末的貸款本金余額和其所生利息之和。12例4.1.4某借款人每季度末償還貸款一次，每次1000元，共5年，每年計息4次的年名義利率為12%，計算第6次還礦中本金部分和利息部分。13例4.1.5甲從乙處借款1000元，每季度末還款一次，共6年，每年計息4次的年名義利率為8%。第2年末，乙將這一收回債務(wù)的權(quán)利轉(zhuǎn)賣給丙，丙的收益率為每年計息4次的年名義利率10%，計算乙、丙所得的利息收入。14例4.1.6某人投資一筆款項，以獲得n年的年末付年金，每次付1，預(yù)定年利率為i。第1年，這筆投資實際收益率為i，年末獲得額度為1的付款。而在第2年，利率增至j，j>i，若：（1）第3年開始直到第n年，年利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持j，計算變化后這兩種情形下的年付款額。15償還頻率與計息頻率不同計息頻率高于償還頻率假設(shè)每個償還期計息k次，計息期共有n，償還次數(shù)n/k為整數(shù)，每個計息期利率為i，每次償還款為1，則貸款額為，在時刻tk有還款額1還款中的利息還款中的本金貸款余額16例4.1.7某人貸款1000元，每年計息4次的年名義利率為12%，貸款償還時間及數(shù)額為第1年末400元，第5年末800元，第10年末償還剩余部分，計算第10年末的償還額及其共包含的本金和利息。17計息頻率低于償還頻率假設(shè)每個計息期償還m次，計息期共有n，償還次數(shù)nm為整數(shù)，每個計息期利率為i，每次償還款為1/m，則貸款額為，在時刻k/m還款額1/m還款中的利息還款中的本金貸款余額18例4.1.8一種貸款要在每半年末償還1元，共5年，每年的利率為i，計算第8次還款中的貸款本金部分。19例4.1.9甲購買住房，貸款2000000元，分3次領(lǐng)取。辦理貸款后，首次領(lǐng)取1000000元，半年后又領(lǐng)取500000元，1年末又領(lǐng)取500000元。貸款按每年計息2次的年名義利率15%，積累到第2年末，然后甲按照每月計息1次的年名義利率12%進(jìn)行分期償還，為期30年。前5年每月償還額是其后各年每月償還額的一半。首期償還額發(fā)生在第3年初，計算第12次償還額的數(shù)量。20變動償還系列假設(shè)計息頻率與還款頻率一致，第k次還款額為，貸款利率為i，則有貸款額為，一般情況下，。若呈現(xiàn)某種規(guī)律，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，可以利用第二章變動年金中的相關(guān)公式計算貸款本金，然后根據(jù)每次還款額計算各期還款中的本金部分、利息部分和各期末貸款余額，從而構(gòu)造出相應(yīng)的分期償還表。21例4.1.10某借款人年初貸款，利率為5%貸款期限為10年，首年末還款額為2000元，第2年末為1900元，依次類推，第10年末還款額為1100元，計算（1）貸款本金；（2）第5次還款中的本金部分和利息部分。22例4.1.11某銀行發(fā)放10年期貸款，利率為9.9%。某借款人計劃分期還款，首年末還款4000元，以后每年比上一年減少10%。計算貸款本金及第8次還款中的本金部分和利息部分。23例4.1.12某人從銀行貸款20000元，本金部分按20年期等額年金形式償還，每次還本金的同時，償還貸款的當(dāng)期利息，年利率為3%。10年后，銀行將這種收款權(quán)賣給另一家公司，賣出價格為P，使得買入公司在前5年可獲得5%的年收益，而后5年可獲得4%的年收益。計算P。24例4.1.13甲年初從乙銀行貸款10000元，分10年償還，年利率為10%，每年末的還款額是前一年的1.2倍。計算前4年各期償還款中的本金部分、利息部分和貸款余額。25連續(xù)償還的分期償還表假設(shè)每個計息期償還額相等，貸款額為，貸款期限為n年，按照每計息期償還額為1的連續(xù)償還形式償還貸款，則t時刻的貸款余額為（或者記作），在t時刻的償還款中，利息部分為，本金部分為

26例4.1.14證明：例4.1.15某貸款年利率為10%，期限為10年，采取分期方式連續(xù)償還。前5年每年償還1000元，后5年每年還款2000元，計算第5年償還的貸款的本金部分和利息部分。27第二節(jié)償債基金

償債基金表債務(wù)償還的另一種方式就是通過建立償債基金來進(jìn)行。借款人在每個還款期將貸款在該期內(nèi)產(chǎn)生的利息支付給貸款人，同事也在專門建立的一個基金中存入一筆款項，是的這些款項建立的基金在貸款期末積累至貸款本金的額度，正好用于償還貸款本金。這一基金就成為償債基金，每期支付的利息有時稱為使用費或手續(xù)費。28我們先考慮每次存入基金相同的款項D。假設(shè)貸款額為1，年利率為i，貸款期限為n年，按照償債基金法償還貸款，則每期支付利息i，另外存入基金D，假設(shè)償債基金的存款利率也為i，則有，即借款人每期末支付的款項為而根據(jù)分期償還法，每期的償還款為因此有。可見，兩種方法在貸款利率與償債基金的利率相等時是等價的。29假設(shè)貸款額為，期限為n，貸款利率與償債基金的存款利率都是i的償債基金在時刻k有支出額1利息部分存入基金部分基金利息收入償債基金總額凈貸款余額30在實務(wù)中，更多的情形是貸款利率與存款利率不同，并且一般都是貸款利率高于償債基金的存款利率。接下來我們考慮兩者不同時的貸款償還。首先假設(shè)：L：貸款額n：貸款期限i：貸款利率j：償債基金存款利率D：每期存入償債基金的款項P：每期借款人的總支出額31根據(jù)償債基金的定義，有即因此32定義則有

并有33第k次利息支付及向基金存款后的貸款凈余額為

第k期內(nèi)的凈利息支出為第k期支出的貸款利息與償債基金所得利息之差，即

第k期內(nèi)的凈本金支付為第k期末償債基金與第k期初償債基金金額之差，即易見，，即各期凈本金支付成等比數(shù)列。

34此外有這與貸款利率為j的分期償還中第k期還款后的貸款余額相同，也就是說，貸款利率為i，基金存款利率為j的償債基金中第k期還款后的凈貸款余額，與貸款利率為j的分期償還法第k期還款后的貸款余額相等。同樣的，償債基金法中第k期支付款中凈本金支付與以j為貸款利率的分期償還法中的第k期償還款中的本金部分相等。35例4.2.1甲需要10000元貸款，分4年償還，乙、丙都可以提供這筆貸款，乙要求甲每年末支付利息并建立償債基金，償債基金存款利率為8%，貸款利率為10%。丙要求甲按分期償還法償還貸款，求使這兩會總貸款等價的丙的貸款利率。36例4.2.2某貸款為1000元，10年期，年利率為5%，采取償債基金法償還，每年末借款人支付等額的利息，同時在長活在即進(jìn)中存入償債基金，每年額度相同，償債基金年利率為4%，在第10年末償債基金積累值恰好等于1000元，計算第5年末借款人支付的利息額與償債基金所得利息額的差。37償債頻率與計息頻率不同償債基金法中也可能出現(xiàn)不同頻率的問題，具體會涉及到四個頻率：（1）貸款利息支付頻率；（2）貸款計息頻率；（3）償債基金存款頻率；（4）償債基金計息頻率。（1）與（2）不同時，可將貸款利率轉(zhuǎn)換為與（1）相同頻率的利率，使得（1）與（2）頻率一致。同理，（3）與（4）不同時，可將存款利率轉(zhuǎn)換為與（3）相同頻率的利率，使得（3）與（4）頻率一致。當(dāng)（1）和（3）不一致時，若存在一個單位時間，使得貸款利息支付間隔時間與償債基金存款間隔時間都是該單位時間的整數(shù)倍，則將所有頻率都轉(zhuǎn)換成與該單位時間相應(yīng)的頻率來計，否則，只能將支付貸款利息和償債基金存款兩部分分開計算。38例4.2.3甲借款2000元，為期2年，貸款利率10%，借款人建立償債基金并每半年末在償債基金中存款一次，償債基金利率為每年計息4次的年名義利率8%。試緝拿里這一筆貸款的償債基金表。39例4.2.4甲借款2000元，為期2年，貸款利率為每年計息2次的年名義利率為10%，借款人建立償債基金并每半年末在償債基金中存款一次，償債基金利率為每年計息4次的年名義利率8%。試緝拿里這一筆貸款的償債基金表。40變動償還系列

假設(shè)利率不變，借款人第k次還款總支出為，并且，其中利息部分為iL，存入償債基金部分為，因此有根據(jù)前面的內(nèi)容，又有41例4.2.5甲借款100000元，貸款期限為