八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線教學(xué)課件（新版）滬科版

第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線（第1課時(shí)）溫故知新什么是角平分線？問(wèn)題：怎樣作∠AOB的平分線呢？ABO折紙法度量法尺規(guī)作圖ABOAOEBCPD

將∠AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開(kāi),觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?

可以看一看,第一條折痕是∠AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.折一折作法：1、以____為圓心，______長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)；2、分別以

為圓心，

大于

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)____；3、作射線

，

就是所求作∠AOB的平分線.點(diǎn)O任意M，NPOPOP尺規(guī)作圖AＢNMP

Ｏ為什么OP是角平分線呢？BANMP

Ｏ已知：OM=ON，PM=PN.求證：OP平分∠AOB.證明：在△OMP和△ONP中，

OM=ON（已知），

MP=NP（已知），

OP=OP（公共邊），∴△OMP≌△ONP.（SSS）∴∠MOP=∠NOP.

即OP平分∠AOB.想一想大膽挑戰(zhàn)ABOP當(dāng)∠AOB=180°時(shí)，角平分線怎么畫(huà)？已知：直線AB及一點(diǎn)C，

求作：直線AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.解：分兩類情況作圖.ABCDEF1.當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上時(shí)，作平角ACB的平分線CF，直線CF就是所求的垂線.小試牛刀經(jīng)過(guò)已知直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線.經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.作法：

1)任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁；

2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E;3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；

4)作直線CF.

直線CF是所求的垂線.2.當(dāng)C在直線AB外時(shí).ABCDEFK探索如圖，是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=CD.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB,CD沿著角的兩邊入放下,沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是角平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎?經(jīng)過(guò)上面的探索，你能得到作已知角的平分線的方法嗎？在△ADC和△ABC中,

AB=AD,

AC=AC,

DC=BC,∴△ADC≌△ABC.(SSS)∴∠DAC=∠BAC,

AE平分∠BAD.證明：尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫(huà)法：

１．以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．

２．分別以M，N為圓心、大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于點(diǎn)C．

３．作射線OC．射線OC即為所求．老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？

O想一想：已知：OM=ON，MC=NC.求證：OC平分∠AOB.證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC.（SSS）∴∠MOC=∠NOC.

即OC平分∠AOB.探索２將角AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開(kāi),觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED操作、測(cè)量:OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).

1.操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D，E為垂足，測(cè)量PD，PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：_______.

PDPE第一次第二次

第三次

COBAPD=PEPDE結(jié)論：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E.求證：PD=PE.AOBPEDC已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于點(diǎn)E.求證：PD=PE.AOBEDPC例1：∵PD⊥OA，PE⊥OB,證明：∴∠PDO=∠PEO=90°.在△POD和△PEO中,

∴△PDO≌△PEO.（AAS）

∠PDO＝∠PEO,∠AOC＝∠BOC,OP=OP,∴PD＝PE.角平分線的性質(zhì)：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.結(jié)論：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE,∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上,∴QD＝QE.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處500米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路例2已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB，BC，CA的距離相等.DEFABCPMN練習(xí)：如圖，△ABC的∠B的外角的平分線BD與∠C的外角的平分線