重慶市渝西九校2025屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)考試題文含解析

PAGE20-重慶市渝西九校2025屆高三數(shù)學(xué)5月聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再求交集，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，,所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.若z1＝2﹣3i，z2＝3+2i，則（）A.z1+z2的實部為1 B.z2＝iz1C.z1+z2的虛部為1 D.z2＝﹣iz1【答案】B【解析】【分析】采納逐一驗證法，依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，分別計算z1+z2，iz1，簡潔推斷可得結(jié)果.【詳解】由題可知：z1＝2﹣3i，z2＝3+2i所以z1+z2=5-i，故z1+z2的實部為5，虛部為-1，解除A,B，解除D，則B正確故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，重在于計算，屬基礎(chǔ)題.3.若雙曲線的離心率為，則C的虛軸長為（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用離心率得到關(guān)于的方程，求出其解后可得虛軸長.【詳解】因為雙曲線的離心率為，故，解得，所以虛軸長為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率及虛軸長，留意雙曲線中各幾何量計算公式的正確應(yīng)用，如虛軸長指，本題屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的運算法則，干脆計算，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以故選：C.【點睛】本題主要考查求對數(shù)函數(shù)值，以及對數(shù)的運算，熟記對數(shù)運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.若通過10組數(shù)據(jù)得到關(guān)于的線性回來方程為，且，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】依據(jù)回來直線方程必過樣本中心點即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：因為，，因為回來直線方程必過樣本中心點所以，即.故選：C【點睛】本題考查回來直線方程的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.北京公交101路是北京最早的無軌電車之一，最早可追溯至1957年.游客甲與乙同時從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車，甲將在朝陽門外站之前的隨意一站下車，乙將在神路街站之前的隨意一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，確定總的基本領(lǐng)件個數(shù)，以及滿意條件的基本領(lǐng)件個數(shù)，基本領(lǐng)件個數(shù)之比即為所求概率.【詳解】甲下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站，乙下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站、關(guān)東店站、東大橋路口西站.所以甲、乙下車的全部狀況共有種，其中甲比乙后下車的狀況有：乙在小莊路口東站下車，甲可以在呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；乙在呼家樓西站下車，甲可以在關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；乙在關(guān)東店站下車，甲可以在東大橋路口西站、神路街站下車；乙在東大橋路口西站下車，甲可以在神路街站下車；共有10種.故甲比乙后下車的概率為.故選：D.【點睛】本題主要考查求古典概型的概率，熟記概率計算公式即可，屬于?？碱}型.7.已知二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，應(yīng)滿意的約束條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，得開口向下，對稱軸小于等于1，可得答案.【詳解】解：因為在上單調(diào)遞減，所以，且，所以.故選：D【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)范圍得到，結(jié)合余弦函數(shù)圖像可得的范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：A【點睛】本題考查依據(jù)余弦函數(shù)在某一區(qū)間的值域求解參數(shù)范圍問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合余弦函數(shù)圖像確定角的范圍.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A. B. C.3 D.-3【答案】A【解析】【分析】由算法和程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)依次計算即可得答案.【詳解】解：第1次，，成立，則，；第2次，成立，則，；第3次，成立，則，；第4次，成立，則，，第5次，成立，，.不成立，所以輸出的.故選：A【點睛】此題考查算法和程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.10.，，分別為內(nèi)角，，的對邊.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，先得到，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，即.∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，故的最小值為.故選：C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，熟記正弦定理以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.11.已知橢圓C的焦點為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c＞0，C的長軸長為2a，過F1的直線與C交于A，B兩點.若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|＝5|AB|，則|AF2|＝（）A. B.a C. D.a【答案】D【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義求解．詳解】設(shè)，則∵|AF1|＝3|F1B|，∴，又4|BF2|＝5|AB|，∴，∴，，∴．故選：D．【點睛】本題考查橢圓的定義，只要用定義表示出兩點到焦點的距離之和即可求解．12.已知平面，平面，，，，，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①四邊形為直角梯形；②四面體的外接球的表面積為；③平面平面；④四面體與四面體的公共部分的體積為.其中全部正確結(jié)論的編號是（）A.①③ B.①③④C.②④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理可推斷①；求出四面體的外接球的球心為線段的中點，利用球的表面積公式可推斷②；利用面面垂直的判定定理以及線面垂直的性質(zhì)定理可推斷③；利用錐體的體積公式即可推斷④.【詳解】因為平面，平面，所以，且，又，所以四邊形為直角梯形.依題意可得，四面體的外接球的球心為線段的中點，因為，，所以，所以球的表面積為.由平面，則，，且可證平面，而平面，所以平面平面設(shè)，則四面體與四面體的公共部分為四面體.過作于，則，所以，所以四面體的體積為.故全部正確結(jié)論的編號是①③④.故選：B【點睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理、球的表面積公式、錐體的體積公式，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.設(shè)向量，，若，，三點共線，則______.【答案】-4【解析】【分析】由，，三點共線，可得，從而由共線向量的性質(zhì)列方程可求出的值.【詳解】解：因為，，三點共線，所以，因為，，所以.故答案為：-4【點睛】此題考查共線向量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14.若，則______.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)兩角和的正切公式，代入已知條件，即可求解.【詳解】由，因為，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題主要兩角和的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記兩角和的正切公式，正確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解實力.15.《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺.問積幾何？”其意思是：今有一個正四棱錐，其下底邊長為丈尺（丈尺），高為丈尺，則其體積為______立方尺.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得出該正四棱錐的高與底面邊長，然后利用錐體的體積公式可計算得出結(jié)果.【詳解】因為該正四棱錐的底邊長為尺，高為尺，所以其體積為立方尺.故答案為：.【點睛】本題考查正四棱錐的體積的計算，關(guān)鍵就是依據(jù)題意得出該正四棱錐的底面邊長和高，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)，則______；若對恒成立，則的取值范圍為______.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】由已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得為奇函數(shù)，進(jìn)而依據(jù)奇函數(shù)的定義求得；將題中不等式分別參數(shù)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，依據(jù)不等式恒成立的意義得到的取值范圍為.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，∴，所以，則.因為對恒成立，所以對恒成立.設(shè)函數(shù)，則，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而可得，故的取值范圍為.故答案為：1；.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立中的參數(shù)取值范圍問題，難度中等，關(guān)鍵是分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.世界各國越來越關(guān)注環(huán)境愛護(hù)問題，某檢測點連續(xù)100天監(jiān)視空氣質(zhì)量指數(shù)（），將這100天的數(shù)據(jù)分為五組，各組對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的不完整的頻率分布直方圖.（1）請將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；（2）已知空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的空氣質(zhì)量等級為優(yōu)，在內(nèi)的空氣質(zhì)量等級為良，分別求這100天中空氣質(zhì)量等級為優(yōu)與空氣質(zhì)量等級為良的天數(shù)；（3）若這100天中，在的天數(shù)與在的天數(shù)相等，估計的值.【答案】（1）直方圖見解析；（2）20，40；（3）75.【解析】【分析】（1）依據(jù)總頻率和為1求得在內(nèi)的頻率，進(jìn)而計算的值，即可將直方圖補(bǔ)充完整；（2）先求得相關(guān)頻率，即可得到所求天數(shù)；（3）依題意，可得在的頻率等于在的頻率，可得到，從而列式求得的值.【詳解】（1）因為在內(nèi)的頻率為，所以在內(nèi)的，故頻率分布直方圖補(bǔ)充完整如圖所示.（2）這100天中空氣質(zhì)量等級為優(yōu)的天數(shù)為，空氣質(zhì)量等級為良的天數(shù)為.（3）依題意，可得在的頻率等于在的頻率，因為在內(nèi)的頻率為0.6，在內(nèi)的頻率為0.4，所以，則，解得.【點睛】本題考查頻率直方圖，涉及頻率直方圖的性質(zhì)，頻率和頻數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題.18.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，且（S6﹣S3）2＝S9.（1）若d＝﹣1，求{an}的通項公式；（2）若a5＜1，1＜a6＜2，求數(shù)列的前10項和T10的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項和公式，可得，簡潔計算可得，然后依據(jù)公差以及等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)果.（2）依據(jù)a5＜1，1＜a6＜2，可知以及范圍，然后計算，依據(jù)的范圍，可得結(jié)果.【詳解】（1）依據(jù)題意可知：則，又所以，即故或，由當(dāng)時，當(dāng)時，（2）因為，由（1）可知，所以又，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列所以數(shù)列的前10項和所以，即【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式，關(guān)鍵在于熟識公式以及簡潔計算，屬基礎(chǔ)題.19.如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AB的中點，E為棱BB1上一點，且AE⊥A1C.（1）證明：AE⊥平面A1CD.（2）若AB＝2，AA1＝3，求三棱錐E﹣A1BC1的體積.【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】（1）由D為AB的中點，AC=BC，可得CD⊥AB，而AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥CD，由線面垂直的判定定理得，CD⊥平面AA1B1B，所以CD⊥AE，而已知有AE⊥A1C，所以可得AE⊥平面A1CD.（2）由（1）可得AE⊥A1D，所以△ABE∽△A1AD，從而可求出BE的長，而CC1∥平面AA1B1B，所以可得C1到平面AA1B1B的距離等于C到平面AA1B1B的距離，所以,由此可得結(jié)果【詳解】（1）證明：因為D為AB的中點，AC=BC，所以CD⊥AB，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD在平面ABC內(nèi)，所以AA1⊥CD，因為AA1∩AB=A，所以CD⊥平面AA1B1B，因為AE在平面AA1B1B內(nèi)，所以CD⊥AE，因為AE⊥A1C，CD∩A1C=C，所以AE⊥平面A1CD.（2）由（1）知，AE⊥平面A1CD，又因為A1D在平面A1CD內(nèi)，所以AE⊥A1D，所以△ABE∽△A1AD，所以，所以，因為CC1∥BB1，CC1在平面AA1B1B外，BB1在平面AA1B1B內(nèi)，所以CC1∥平面AA1B1B，所以C1到平面AA1B1B的距離等于C到平面AA1B1B的距離，所以，【點睛】此題考查了線面垂直的證明，求三棱錐的體積，考查空間想象實力和推理實力，考查轉(zhuǎn)化實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.20.直線l過點P（0，b）且與拋物線y2＝2px（p＞0）交于A，B（A，B都在x軸同側(cè)）兩點，過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D.（1）若b＞0，|AC|+|BD|＝p，證明：l的斜率為定值；（2）若Q（0，﹣b），設(shè)△QAB的面積為S1，梯形ACDB的面積為S2，是否存在正整數(shù)λ，使3S1＝λS2成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由，【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且．【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程是，設(shè),由|AC|+|BD|＝，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去后應(yīng)用韋達(dá)定理可得；（2）由（1）直線與拋物線相交得，計算并作比，假設(shè)存在正整數(shù)，使成立，由此可得的范圍，在此范圍內(nèi)的只要有正整數(shù)即可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：據(jù)題意設(shè)直線方程是，設(shè),∵|AC|+|BD|＝p，∴，由得，∴，∴，即l的斜率為定值；（2）由（1），即，∵點到直線的距離，且，∴，∴，∵，∴，假設(shè)存在正整數(shù)，使成立，則，∴．∴存在正整數(shù)，使成立．【點睛】本題考查直線與拋物線相交問題，考查拋物線中的定值問題，存在性問題．解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo),直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理，把韋達(dá)定理所得結(jié)論代入其他條件求解．21.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直.（1）推斷的零點的個數(shù)，并說明理由；（2）證明：對恒成立.【答案】（1）1，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得，從而可求出，當(dāng)時，可推斷出，所以函數(shù)無零點，當(dāng)時，可推斷，從而可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后由零點存在性定理可得在上存在唯一的零點.（2）要證對恒成立，只要證明函數(shù)在的最小值大于零，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.【詳解】（1）解：，，則.當(dāng)時，，，則，此時無零點；當(dāng)時，，，，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以在上存在唯一的零點.綜上，的零點的個數(shù)為1.（2）證明：設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則.因為，所以，，所以，則在上單調(diào)遞增，則，即，從而在上單調(diào)遞增，于是，故，即對恒成立.【點睛】此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的零點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算實力，屬于中檔題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分22.在極坐標(biāo)系中，曲線由圓與圓構(gòu)成，圓與圓的極坐標(biāo)方程為，，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓與圓的圓心距；（2）若直線與曲線恰有個公