江蘇省如皋市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬試題二

PAGEPAGE18江蘇省如皋市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬試題（二）（考試時間：120分鐘總分：160分）參考公式：球體的表面積公式S球體＝4πR2，其中R為球體的半徑．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．設(shè)全集U＝Z，集合A＝{0，2，3}，B＝{x∈Z|x2－x＜2}，則A∩(?UB)＝▲．2．若復(fù)數(shù)z滿意z＋i＝eq\f(2＋i,i)，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝▲．3．某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重(單位：克)狀況，從中隨機抽測了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[96，106]中，其頻率分布直方圖如圖所示．則在抽測的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間[100，104)上的產(chǎn)品件數(shù)是▲．II←1S←0WhileS＜27S←S＋3II←I＋2EndWhilePrintI（第5題圖）961001021041060.0500.0750.1000.1250.150頻率/組距凈重（克）（第3題圖）984．某醫(yī)院欲從主動報名的甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生中選擇2人去支援武漢抗擊“新型冠狀病毒”，若每名醫(yī)生被選擇的機會均等，則甲、乙2人中至少有1人被選擇的概率為▲．5．執(zhí)行右邊的偽代碼后，輸出的結(jié)果是▲．6．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)過右焦點F2且與x軸垂直的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若△F1AB是正三角形，則雙曲線C的離心率為▲．7．已知函數(shù)f(x)＝|sin(ωx＋φ)|(ω＞0)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則ω的最小值等于▲．8．已知等比數(shù)列的前n項和為Sn，若，且4S3，3S4，2S5成等差數(shù)列，則滿意不等式的n的最小值為▲．9．在三棱錐P－ABC中，AB⊥平面PAC，PC＝AB＝2AC＝2，PA＝eq\r(5)，則該三棱錐的外接球O的表面積為▲．ABCDO（第11題圖）10．已知實數(shù)x，y滿意條件若不等式mx2y≤2x3＋eq\f(1,8)y3恒成立，則實數(shù)m的最大值是▲ABCDO（第11題圖）11．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．已知AC＝BC，AC⊥BC，AD⊥BD，且O是AC的中點，若，則的值為▲．12．在平面直角坐標系xOy中，已知MN在圓C：(x－2)2＋y2＝4上運動，且MN＝2eq\r(3)．若直線l：kx－y＋3＝0上的隨意一點P都滿意PM2＋PN2≥14，則實數(shù)k的取值范圍是▲．13．已知函數(shù)，若存在實數(shù)k，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍為▲．14．在△ABC中，角A，B，C的所對的邊分別是a，b，c，若CD是邊AB上的中線，且CD＝CA，則的最小值為▲．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的所對的邊分別是a，b，c，已知＝．（1）求角B的大?。唬?）若a＝2，c＝3，求cos(A－B)的值．16．（本小題滿分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝BB1，且∠ABB1＝60°，D為AC的中點．CABB1C1A1DCABB1C1A1D（第16題圖）（2）求證：AB⊥B1C．17．（本小題滿分14分）現(xiàn)有一塊廢棄的半圓形鋼板，其右下角一小部分因生銹無法運用，其形態(tài)如圖所示，已知該鋼板的圓心為O，線段AOB為其下沿，且OA＝2m，OB＝eq\r(2)m．現(xiàn)欲從中截取一個四邊形AMPQ，其要求如下：點P，Q均在圓弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M在邊OB上．設(shè)∠QAB＝θ，四邊形AMPQ的面積為S(θ)m2．OABMPQ（第17題圖）（1）求OABMPQ（第17題圖）（2）當(dāng)cosθ為何值時，四邊形AMPQ的面積最大？18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距為2，且經(jīng)過點(－1，eq\f(\r(2),2))，過左焦點F且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于點A，B兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線OA，OB，AB的斜率之和為0，求直線l的方程；（3）設(shè)弦AB的垂直平分線分別與直線l，橢圓C的右準線m交于點M，N，AFOMAFOMNxyBml（第18題圖）19．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若a＝1，求函數(shù)在x＝1處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求證：．20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列的前n項和為Sn，設(shè)．（1）若，記數(shù)列的前n項和為Tn．①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；②若不等式對隨意的都成立，求實數(shù)的最小值；（2）若，且，是否存在正整數(shù)，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，給出數(shù)列的一個通項公式；若不存在，請說明理由．2024～2024學(xué)年度高三年級其次學(xué)期語數(shù)英學(xué)科模擬（二）數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）21．【選做題】本題包括A、B、C、D共4小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,13))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1)).求矩陣C，使得AC＝B.B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標系中，求直線θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin(θ＋eq\f(π,6))所截得的弦長．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)上一點M(eq\r(2)，m)到準線的距離與到原點O的距離相等．（1）求拋物線的方程；（2）過不在y軸上的點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，若OP⊥AB，求證：直線AB過定點．23．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的首項，且，．（1）求的最小值；（2）求證：．2024～2024學(xué)年度高三年級其次學(xué)期語數(shù)英學(xué)科模擬（二）數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．{2，3}2．3．554．5．76．7．48．129．9π10．11．－312．13．14．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解】（1）因為，依據(jù)正弦定理，得，因為，所以，所以，即，整理得，所以，又，故．……6分（2）在△ABC中，，，，據(jù)余弦定理，得，故．據(jù)正弦定理，得，解得．因為，故，，所以．所以．……14分16．【證明】（1）連接，交于點，連接．CABB1CCABB1C1A1D（第16題圖）QE因為，所以是的中點，所以∥．又面，面，所以B1C∥平面A1BD．……6分（2）取的中點，連接、．因為，∠ABB1＝60°，所以△ABB1是正三角形，．因為是的中點，所以．因為，是的中點，所以．又，，面，所以面．因為面，所以．……14分OOABMPQCE（第17題圖）17．【解】（1）連接OP，取AP的中點C，AQ的中點E，連接OC，OE．因為，所以，因為AP平分，所以，所以，故∥，所以．在中，，，所以，，在中，，，所以，，在中，，，所以，，所以，所以，其定義域為．……7分（2）因為，，．令，得，設(shè)銳角滿意，列表：0極大值所以當(dāng)時，取得最大值．答：當(dāng)時，四邊形AMPQ的面積最大．……14分18．【解】（1）因為橢圓C的焦距為2，所以橢圓C的焦點為，所以點到焦點，的距離分別為，，故，得．所以，橢圓C的方程為．……4分（2）依題意，左焦點F，設(shè)直線l：，，，．聯(lián)立方程組整理得，所以，．因為直線OA，OB，AB的斜率之和為0，所以，即，整理得，即，解得．所以直線l的方程為．……9分（3）若直線l的斜率不存在，；若直線l的斜率存在，由（2）可得，又，直線MN的斜率為，，所以．故，令，則，故當(dāng)時，，，所以．明顯，，所以的最小值為2．……16分19．【解】（1）當(dāng)時，，，，，所以函數(shù)在處得切線方程為．……2分（2）因為，，，所以．=1\*GB3①若，則，在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上至多一個零點，與題意不符合．=2\*GB3②若，令，得．0微小值（ⅰ）若，即時，有且僅有一個零點，與題意不符．（ⅱ）若，即時，，，又，且的圖像在上不間斷，所以存在，使得．此時，在恰有兩個不同得零點和，所以符合題意．（ⅲ）若，即時，．令，，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，．所以，且，的圖像在上不間斷，所以存在，使得．此時，在恰有兩個不同得零點和，所以符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或．……10分（3）依題意，，則，令，，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)．要使得在上存在極值，則須滿意即所以，，即．由（2）=2\*GB3②可知，當(dāng)時，，所以，．所以，即，所以．……16分20．【解】（1）=1\*GB3①因為，=，①所以，②將①－②，得，即，③所以，當(dāng)，時，，④將③－④得，當(dāng)，時，，整理得，，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．……4分=2\*GB3②因為=，令，2，得，，解得，，結(jié)合=1\*GB3①可知，，故．所以，，兩式相減，得，所以．依題意，不等式對隨意的都成立，即對隨意恒成立，所以對隨意恒成立．令，則，所以當(dāng)，2時，，即，且當(dāng)，時，，即，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，實數(shù)的最小值為．……10分（2）因為，所以，即．因為，所以，．所以，，．所以當(dāng)，時，，．假設(shè)存在，，，，…成等差數(shù)列，公差為d．則，（ⅰ）若，則當(dāng)，時，，而，，所以與題意沖突．（ⅱ）若，則當(dāng)，時，與題意沖突．所以不存在，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0的等差數(shù)列．……16分21A．【解】因為|A|＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)\f(－1,5),\f(－1,5)\f(2,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(1,5),－\f(1,5)\f(2,5)))．由AC＝B，得(A－1A)C＝A－1B，所以C＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(1,5),－\f(1,5)\f(2,5)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)\f(4,5),－\f(1,5)－\f(3,5)))．……10分21B．【解】聯(lián)立方程組得．又因為直線θ＝eq\f(π,6)與曲線ρ＝4s