湖南省師大附中2025屆高三數(shù)學第六次月考試題理含解析

PAGE22-湖南省師大附中2025屆高三數(shù)學第六次月考試題理（含解析）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】化簡集合，依據(jù)交集的定義計算．【詳解】因為集合，化簡，所以，故選D．【點睛】探討集合問題，肯定要抓住元素，看元素應滿意的屬性．探討兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系，本題實質(zhì)求滿意屬于集合且屬于集合的元素的集合．2.復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)除法求出，寫出共軛復數(shù)，寫出共軛復數(shù)對應點坐標即得【詳解】解析：，，對應點為，在第三象限．故選：C．【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，共軛復數(shù)的概念，復數(shù)的幾何意義．駕馭復數(shù)除法法則是解題關鍵．3.“搜尋指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜尋引擎，以每天搜尋關鍵詞的次數(shù)為基礎所得到的統(tǒng)計指標.“搜尋指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對該關鍵詞的搜尋次數(shù)越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.如圖是2024年9月到2024年2月這半年中，某個關鍵詞的搜尋指數(shù)改變的走勢圖.依據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是（）A.這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性改變B.這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱C.從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜尋指數(shù)來看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜尋指數(shù)來看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【解析】【詳解】選項A錯，并無周期改變，選項B錯，并不是不斷減弱，中間有增加．C選項錯，10月的波動大小11月分，所以方差要大．D選項對，由圖可知，12月起到1月份有下降的趨勢，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．選D.4.已知函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞減，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性定義，求出a，b的關系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推斷a的符號，然后依據(jù)不等式的解法進行求解即可．【詳解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b為偶函數(shù)，

∴f（-x）=f（x），

則ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，

即-（b-a）=b-a，

得b-a=0，得b=a，

則f（x）=ax2-a=a（x2-1），

若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

則a＜0，

由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，

得x＞4或x＜2，

即不等式的解集為（-∞，2）∪（4，+∞），

故選B．【點睛】本題主要考查不等式的求解，依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a，b的關系是解決本題的關鍵．5.等比數(shù)列的前n項和，前2n項和，前3n項的和分別為A，B，C，則A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知其第一個項和，其次個項和，第三個項和仍舊構(gòu)成等比數(shù)列，化簡即可得結(jié)果.詳解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，等比數(shù)列的第一個項和，其次個項和，第三個項和仍舊構(gòu)成等比數(shù)列，則有構(gòu)成等比數(shù)列，，即，，故選D.點睛：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列前項和，意在考查敏捷運用所學學問解決問題的實力，是基礎題.6.將函數(shù)圖像上的每一個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位得到數(shù)學函數(shù)的圖像，在圖像的全部對稱軸中，離原點最近的對稱軸為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：依據(jù)平移變換可得，依據(jù)放縮變換可得函數(shù)的解析式，結(jié)合對稱軸方程求解即可.詳解：將函數(shù)的圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，得到，再將所得圖象向左平移個單位得到函數(shù)圖象，即，由，得，當時，離原點最近的對稱軸方程為，故選A.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對稱軸方程；由可得對稱中心橫坐標.7.如圖正方體，點為線段的中點，現(xiàn)用一個過點的平面去截正方體，得到上下兩部分，用如圖的角度去視察上半部分幾何體，所得的左視圖為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，然后推斷側(cè)視圖即可．【詳解】上半部分的幾何體如圖：由此幾何體可知，所得的側(cè)視圖為故選B．【點睛】思索三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思索方法：1、首先看俯視圖，依據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、視察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再依據(jù)三視圖進行調(diào)整.8.如圖在圓中，，是圓相互垂直的兩條直徑，現(xiàn)分別以，，，為直徑作四個圓，在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設出圓的半徑，然后算出陰影部分的面積，再計算出圓的面積，最終利用幾何概型公式求出概率.【詳解】設圓的半徑為2，陰影部分為8個全等的弓形組成，設每個小弓形的面積為,則，圓的面積為，在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是，則,故本題選D.【點睛】本題考查了幾何概型，正確計算出陰影部分的面積是解題的關鍵，考查了數(shù)學運算實力.9.已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點，若函數(shù)的圖象在點處的切線過雙曲線左焦點，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設的坐標為，用導數(shù)表示點處切線斜率，再由兩點坐標表示斜率，由此可求得，即點坐標，寫出左焦點坐標，由雙曲線定義求得，從而可得離心率．【詳解】解析：設的坐標為，由左焦點，函數(shù)的導數(shù)，則在處的切線斜率，即，得則，設右焦點為，則，即，雙曲線的離心率．故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查導數(shù)的幾何意義．考查雙曲線的定義．解題關鍵是把切線的斜率用兩種方法表示，從而可求得結(jié)論．10.設銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得且,解得的范圍，可得的范圍，由正弦定理求得由正弦定理可求得,依據(jù)的范圍確定出范圍即可.【詳解】由銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，，,，,由正弦定理得，即則b的取值范圍為,故選C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.解題關鍵是依據(jù)三角形為銳角三角形，求出角A的取值范圍.11.已知正方體的棱長為1，在對角線上取點，在上取點，使得線段平行于對角面，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作，垂足為，作，垂足為，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的性質(zhì)定理可以得出，設，由此可以求出的最小值.【詳解】作，垂足為，作，垂足為，如下圖所示：在正方體中，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得,都垂直于平面，由線面垂直的性質(zhì)，可知，易知：，由面面平行的性質(zhì)定理可知：，設，在直角梯形中，，當時，的最小值為，故本題選D.【點睛】本題考查了線段長的最小值的求法，應用正方體的幾何性質(zhì)、運用面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，是解題的關鍵.12.已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于隨意的實數(shù)都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價于，因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解實力，屬中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.綻開式中的的系數(shù)為_______【答案】【解析】【分析】利用組合學問，5個相乘，其中含的項，可以5個括號中3個取，剩余2個取1，也可以2個取剩余的3個括號中選2個取，剩余1個取1，還可以5個括號選一個取，剩余4個取，這3項的系數(shù)和即為所求.【詳解】利用組合學問，含的項可以分3種狀況取得，第一種取3個，剩余兩個取1，即.其次種選2個括號供應，剩余的3個括號中選2個取，剩余1個取1，即，第三種5個括號選一個取，剩余4個取，即，合并同類項，系數(shù)為，故填30.【點睛】本題主要考查了含三項的二項式綻開式問題，利用組合學問解決比較簡潔，屬于中檔題.14.現(xiàn)將6張連號的門票分給甲、乙等六人，每人1張，且甲、乙分得的電影票連號，則共有______種不同的分法（用數(shù)字作答）.【答案】240【解析】【分析】先求出甲、乙連號的狀況，然后再將剩余的4張票分給其余4個人即可．【詳解】甲、乙分得的門票連號，共有種狀況，其余四人沒人分得1張門票，共有種狀況，所以共有種．故答案為240．【點睛】本題考查兩個原理的應用和排列數(shù)的計算，考查應用所學學問解決問題的實力，屬于基礎題．15.考慮函數(shù)與函數(shù)的圖象關系，計算：______．【答案】.【解析】分析：根函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，所以兩部分陰影面積相等，利用求解即可.詳解：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，所以兩部分陰影面積相等，又函數(shù)直線的交點坐標為，，故答案為.點睛：本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)、定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般狀況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時，肯定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.16.已知表示正整數(shù)的全部因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12，則；21的因數(shù)有1，3，7，21，則，那么_________.【答案】1656【解析】【分析】依據(jù)的定義求出，，然后再求值．【詳解】解析：表示正整數(shù)的全部因數(shù)中最大的奇數(shù)，，且為奇數(shù)時，，其中；那么那么那么．故答案為：1656．【點睛】本題考查新函數(shù)的定義，理解新函數(shù)的定義是解題關鍵．解題時按新函數(shù)定義計算即可．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（1）必考題：共60分17.中，分別是內(nèi)角所對的邊，且滿意.（1）求角；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡已知等式可得cosBsinC＝sinCsinB，結(jié)合sinC≠0，可求cosB＝sinB，結(jié)合范圍0＜B＜π，可求B的值；（2）由B，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可求sinA﹣sinC＝cosC，由范圍0＜C，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍．【詳解】（1）由正弦定理得：因：故因為，所以因為，所以（2）因為，所以又因為，且在上單調(diào)遞減，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了計算實力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18.如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．求證：平面BDEF；求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析.(2).【解析】分析】（1）設與相交于點，連接，由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果；(2)先證明平面.可得，，兩兩垂直，以，，建立空間直角坐標系，求出，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設與相交于點，連接，∵四邊形為菱形，∴，且為中點，∵，∴，又，∴平面.（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，∵為中點，∴，又，∴平面.∵，，兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，設，∵四邊形為菱形，，∴，.∵為等邊三角形，∴.∴，，，，∴，，.設平面的法向量為，則，取，得.設直線與平面所成角為，則.【點睛】本題主要考查線面垂直的證明、利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）視察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量關系；（5）依據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.19.已知拋物線，過拋物線焦點的直線分別交拋物線與圓于（自上而下順次）四點.（1）求證：為定值；（2）求的最小值.【答案】(1)見證明；(2)108【解析】【分析】（1）設直線的方程為,，聯(lián)立拋物線可得，，結(jié)合拋物線定義可得,故化為縱坐標即可證出.（2）依據(jù)，，,化，利用導數(shù)求最小值即可.【詳解】（1）有題意可知，可設直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程，消可得，所以，，由拋物線的定義可知，，又，所以，所以為定值16.（2）由（1）可知，，，，由，可得，所以（其中），令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.所以的最小值為.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，利用導數(shù)求函數(shù)最值，定值問題，屬于難題.解決此類性問題，一般要聯(lián)立方程組，依據(jù)根與系數(shù)的關系得到兩個交點坐標之間的關系，特殊留意涉及拋物線時，要主動考慮拋物線定義的運用.20.某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只須要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的全部崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：工種類別ABC賠付頻率已知、、三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此業(yè)務的過程中固定支出每年10萬元.（1）求保險公司在該業(yè)務所獲利潤的期望值；（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司供應的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.依據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)方案2．【解析】【分析】（1）分別計算保險公司在三種工種的利潤的數(shù)學期望，從而可得出保險公司的總利潤期望；（2）分別計算兩種方案的企業(yè)支出費用，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設工種A、B、C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為：X2525﹣100×104PY2525﹣100×104PZ4040﹣50×104P1∴E（X）＝25×（1）+（25﹣100×104）15，E（Y）＝25×（1）+（25﹣100×104）5，E（Z）＝40×（1）+（40﹣50×104）10，保險公司的利潤的期望值為12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000，∴保險公司在該業(yè)務所獲利潤的期望值為9萬元．（2）方案1：企業(yè)不與保險公司合作，則企業(yè)每年平安支出與固定開支共為：12000×100×1046000×100×1042000×50×10412×104＝46×104，方案2：企業(yè)與保險公司合作，則企業(yè)支出保險金額為：（12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104，46×104＞37.1×104，建議企業(yè)選擇方案2．21.已知函數(shù).（Ⅰ）探討的單調(diào)性；（Ⅱ）比較與的大小且，并證明你的結(jié)論.【答案】（I）見解析；（II）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）運用零點法，把函數(shù)的解析式進行分段表示，然后利用導數(shù)，推斷每段函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知當，時，，即，所以.這樣，留意到，最終可以得出：.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)可化為，當時，，從而在上總是遞減的，當時，，此時要考慮與1的大小.若，則，故在上遞增，若，則當時，，當時，，故在上遞減，在上遞增，而在處連續(xù)，所以當時，在上遞減，在上遞增；當時，在