4.2.2等差數列的前n項和公式（第1課時）課件高二上學期數學人教A版選擇性

第四章數列

等差數列的前n項和公式第1課時等差數列的前n項和人教A版

數學選擇性必修第二冊課程標準1.掌握等差數列前n項和公式的推導方法.2.掌握等差數列的前n項和公式,能夠運用公式解決相關問題.3.借助等差數列理解Sn與an的關系,并了解等差數列前n項和Sn與二次函數的關系.基礎落實·必備知識一遍過關知識點等差數列的前n項和公式及其推導等差數列的前n項和公式Sn=

或Sn=

推導方法倒序相加法名師點睛1.兩個公式均為等差數列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個量.通常已知其中三個,可求其余兩個,而且方法就是解方程(組),這也是等差數列的基本問題形式之一.思考辨析將等差數列的前n項和公式

按照n的降冪排列,該式子有哪些特征?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)只有在等差數列中S1等于a1.(

)(2)數列的前n項和就是指從數列的第1項a1起,一直到第n項an所有項的和.(

)(3)不存在這樣的n的值,使公差為正數的等差數列前n項和Sn等于0.(

)×√×2.[人教B版教材例題改編]已知等差數列{an}的公差為2,且a20=29,則這個等差數列前20項的和為

.

200解析

由等差數列的通項公式可得29=a1+19×2,由此可解得a1=-9.因此前20項和S20==200.3.[蘇教版教材例題]設Sn為等差數列{an}的前n項和.(1)已知a1=3,a50=101,求S50;重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數列前n項和公式的基本運算【例1】

[北師大版教材習題]在等差數列{an}中,(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.分析利用等差數列的通項公式和前n項和公式列方程進行計算求解.規(guī)律方法

a1,d,n稱為等差數列的三個基本量,an和Sn都可以用這三個基本量來表示,在a1,d,n,an,Sn五個量中,可知三求二,即等差數列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題,一般是通過通項公式和前n項和公式聯立方程(組)來求解.這種方法是解決數列運算的基本方法.在運算中要注意等差數列性質的應用.變式訓練1(1)設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a2=3,a5=9,則S5=(

)A.15 B.20

C.25

D.30C(2)[2024全國甲,文4]等差數列{an}的前n項和為Sn,若S9=1,a3+a7=(

)D(3)[2024全國新高考卷Ⅱ,12]設Sn為等差數列{an}的前n項和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=

.

95解析

設等差數列{an}的公差為d.探究點二根據數列前n項和公式判斷等差數列【例2-1】

若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n,求數列{an}的通項公式,并判斷數列{an}是不是等差數列.若是,請證明;若不是,請說明理由.解當n=1時,S1=a1=-1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.經檢驗,當n=1時,a1=-1滿足上式,故an=4n-5.數列{an}是等差數列,證明如下:因為an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以數列{an}是等差數列.變式探究1(變條件)若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n-1,求數列{an}的通項公式,并判斷數列{an}是不是等差數列.若是,請證明;若不是,請說明理由.解∵Sn=2n2-3n-1,①∴當n=1時,a1=S1=2-3-1=-2;當n≥2時,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.經檢驗,當n=1時,a1=-2∵a2-a1=5,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴數列{an}不是等差數列.變式探究2(變條件變結論)已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n+λ-1.若數列{an}為等差數列,則λ的值是

.

1

解析

(方法1)λ-1=0,λ=1.(方法2)易知當n≥2時,an=4n-5,當n=1時,a1=S1=λ-2.∵{an}為等差數列,a1適合an=4n-5,∴λ-2=-1,λ=1.★【例2-2】

已知數列{an}的所有項均為正數,其前n項和為Sn,且

因為an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2),所以{an}是以a1=3為首項,公差為2的等差數列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.規(guī)律方法

由Sn求通項公式an的步驟(1)令n=1,則a1=S1,求得a1.(2)令n≥2,則an=Sn-Sn-1.(3)驗證a1與an的關系:①若a1適合an,則an=Sn-Sn-1;變式訓練2[2024上海校級高二期末]已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=3n2+2n,則數列{an}的通項公式an=

.

6n-1解析

當n=1時,a1=S1=5,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2+2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-1,經驗證當n=1時,上式也符合,∴數列{an}的通項公式an=6n-1.探究點三等差數列的求和在實際生活中的應用【例3】

[人教B版教材例題]李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”.從8月1日開始,每個月的1日都存入1000元,共存入3年.(1)已知當年“教育儲蓄”存款的月利率為2.7‰,則3年后李先生一次可支取本息共多少元?(設每月存款的利息不計入下月本金,下同.)(2)已知當年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725‰,則李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益多少元?解(1)每1

000元“教育儲蓄”存一個月能得到的利息是1

000×2.7‰=2.7(元).第1個1

000元存36個月,得利息2.7×36(元);第2個1

000元存35個月,得利息2.7×35(元);……第36個1

000元存1個月,得利息2.7×1(元).因此,3年后李先生獲得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=

×36=1

798.2(元).所以3年后李先生可支取的本息和為1

000×36+1

798.2=37

798.2(元).(2)每1

000元“零存整取”存一個月能得到的利息是1

000×1.725‰=1.725(元),因此,若是“零存整取”,3年后李先生獲得利息1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=×36=1

148.85(元).因此,李先生多收益1

798.2-1

148.85=649.35(元).即李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益649.35元.規(guī)律方法

應用等差數列解決實際問題的一般思路

變式訓練3[2024上海高二期末]《張丘建算經》中“女子織布”問題:某女子善于織布,一天比一天織得快,而且每天增加的數量相同.已知第一天織布5尺,30天共織布390尺,則該女子織布每天增加

尺.(“尺”非國際通用單位)

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數列前n項和公式的推導過程.(2)與等差數列前n項和有關的基本運算.(3)利用等差數列前n項和公式判斷等差數列.(4)利用等差數列前n項和公式解決實際問題.2.方法歸納:倒序相加法、公式法、整體代換法.3.常見誤區(qū):(1)由Sn求通項公式時忽略對n=1的討論;(2)判斷等差數列時,容易忽視第一項的驗證;(3)實際問題中易忽視還原驗證.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標12341.[2024上海校級高二月考]在等差數列{an}中,若a5=2,a9=10,則S13=(

)A.68 B.78

C.156

D.136B12342.若等差數列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=4,則其公差d=(

)C12343.[北師大版教材習題]一凸n邊形(n≥3,且n∈N*),各內角的度數成等差數列,公差是10°,最小內角是100°,則邊數n=

.

8解析

由題知各內角的度數成等差數列,記為{an},則a1=100°,公差d=10°.內角和為100°n+×10°=(n-2)×180°,所以n=8或n=9.因為an=100°+