2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（教師用書(shū)）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（教師用書(shū)）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員教材分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)源于2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”，具體為3.1節(jié)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”。本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充和復(fù)數(shù)概念的初次接觸，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的概念。教材從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)系的擴(kuò)充必要性，并通過(guò)引入虛數(shù)單位i，介紹了復(fù)數(shù)的概念。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重讓學(xué)生理解數(shù)系擴(kuò)充的背景和意義，以及復(fù)數(shù)的概念和基本運(yùn)算。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：一是讓學(xué)生了解數(shù)系擴(kuò)充的背景和必要性，理解復(fù)數(shù)的概念；二是讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的表示方法，能正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算；三是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，提高他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)系擴(kuò)充的背景和必要性，復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的表示方法和基本運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念的理解和應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的掌握。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算四個(gè)方面展開(kāi)。

首先，通過(guò)數(shù)系擴(kuò)充的背景和必要性，讓學(xué)生理解并抽象出復(fù)數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力。

其次，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考和探索復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的表示方法和基本運(yùn)算，讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的邏輯推理規(guī)律，提升學(xué)生的邏輯推理能力。

再次，通過(guò)將復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

最后，通過(guò)大量的練習(xí)和實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

綜上，本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使學(xué)生在掌握復(fù)數(shù)知識(shí)的同時(shí)，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：在開(kāi)始本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，包括實(shí)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)軸的概念等。此外，學(xué)生還應(yīng)該了解一些函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，如函數(shù)的定義、圖像等。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對(duì)于高中階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究和學(xué)習(xí)興趣各不相同。在能力方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯思維能力各有差異。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生喜歡通過(guò)直觀的圖像來(lái)理解概念，有的學(xué)生則更擅長(zhǎng)通過(guò)邏輯推理來(lái)掌握知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生可能對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的背景和必要性理解起來(lái)有一定困難，尤其是對(duì)于為什么要引入虛數(shù)單位i感到困惑。另外，復(fù)數(shù)的概念和表示方法可能對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新的概念，他們需要時(shí)間去適應(yīng)和理解。此外，復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律也可能對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，他們需要通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)掌握。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：教師通過(guò)講解數(shù)系擴(kuò)充的背景、復(fù)數(shù)的概念和基本運(yùn)算方法，為學(xué)生提供系統(tǒng)的知識(shí)框架。

2.討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的思考和興趣。

3.實(shí)踐操作法：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，如繪制復(fù)數(shù)圖像、進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算等，加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：利用多媒體課件，通過(guò)動(dòng)畫(huà)、圖片等形式展示數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，增強(qiáng)直觀性，幫助學(xué)生更好地理解概念。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件或在線平臺(tái)，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算演示和練習(xí)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

3.實(shí)物教具：使用實(shí)物教具，如地球儀、電路圖等，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)數(shù)知識(shí)與實(shí)際情境相結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的實(shí)用性。

4.案例分析：引入具體案例，如電路中的復(fù)數(shù)分析、音樂(lè)理論中的復(fù)數(shù)應(yīng)用等，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5.互動(dòng)平臺(tái)：利用互動(dòng)平臺(tái)，如學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)（LMS）或社交媒體，進(jìn)行線上討論和作業(yè)提交，增加學(xué)生與教師、同學(xué)之間的互動(dòng)。

6.練習(xí)題庫(kù)：提供豐富的在線練習(xí)題庫(kù)，讓學(xué)生進(jìn)行自主練習(xí)，通過(guò)即時(shí)反饋，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們知道復(fù)數(shù)是什么嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于復(fù)數(shù)的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受復(fù)數(shù)的美妙或特點(diǎn)。

簡(jiǎn)短介紹復(fù)數(shù)的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過(guò)程：

講解復(fù)數(shù)的定義，包括其主要組成元素實(shí)部和虛部。

詳細(xì)介紹復(fù)數(shù)的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.復(fù)數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解復(fù)數(shù)的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的復(fù)數(shù)案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解復(fù)數(shù)的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用復(fù)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與復(fù)數(shù)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括復(fù)數(shù)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用復(fù)數(shù)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫(xiě)一篇關(guān)于復(fù)數(shù)的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)引入的科普文章：提供一些關(guān)于數(shù)系擴(kuò)充和復(fù)數(shù)引入的科普文章，讓學(xué)生深入了解數(shù)系擴(kuò)充的背景和必要性，以及復(fù)數(shù)的概念和應(yīng)用。

-復(fù)數(shù)運(yùn)算的動(dòng)畫(huà)演示：尋找一些復(fù)數(shù)運(yùn)算的動(dòng)畫(huà)演示視頻，如復(fù)數(shù)的加減乘除等運(yùn)算過(guò)程，幫助學(xué)生直觀地理解復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。

-數(shù)學(xué)問(wèn)題集：提供一份與復(fù)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題集，包含一些經(jīng)典的復(fù)數(shù)問(wèn)題和解題思路，供學(xué)生自主練習(xí)和思考。

-復(fù)數(shù)在工程和科學(xué)中的應(yīng)用案例：介紹一些復(fù)數(shù)在工程和科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用案例，如電路分析、信號(hào)處理等，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以利用課余時(shí)間閱讀科普文章，深入了解數(shù)系擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的背景知識(shí)，為課堂學(xué)習(xí)做好預(yù)習(xí)準(zhǔn)備。

-觀看復(fù)數(shù)運(yùn)算的動(dòng)畫(huà)演示，幫助學(xué)生更好地理解和掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。

-學(xué)生可以嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題集中的題目，鞏固復(fù)數(shù)知識(shí)，提高解題能力。

-學(xué)生可以探索復(fù)數(shù)在工程和科學(xué)中的應(yīng)用案例，了解復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，提高學(xué)習(xí)的興趣和實(shí)用性。反思改進(jìn)措施特色與創(chuàng)新：

1.互動(dòng)式教學(xué)：我在教學(xué)中嘗試了互動(dòng)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)和小組討論，激發(fā)學(xué)生的思考和興趣，提高了他們的參與度和積極性。

2.實(shí)際應(yīng)用案例：我引入了一些實(shí)際應(yīng)用案例，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和實(shí)用性。

3.多媒體教學(xué)手段：我利用多媒體課件和動(dòng)畫(huà)演示，幫助學(xué)生直觀地理解復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算規(guī)律，提高了教學(xué)效果和效率。

存在主要問(wèn)題：

1.學(xué)生理解困難：在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算規(guī)律理解起來(lái)有一定困難，特別是對(duì)于為什么要引入虛數(shù)單位i感到困惑。

2.練習(xí)不足：由于課堂時(shí)間有限，學(xué)生進(jìn)行練習(xí)的機(jī)會(huì)不多，導(dǎo)致他們對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的熟練程度不夠。

3.學(xué)習(xí)興趣不足：部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣不高，認(rèn)為與他們的生活實(shí)際無(wú)關(guān)，缺乏學(xué)習(xí)的積極性。

改進(jìn)措施：

1.調(diào)整教學(xué)方法：針對(duì)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念理解困難的問(wèn)題，我將在教學(xué)中更加注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中出發(fā)，通過(guò)具體案例和實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生更好地理解復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算規(guī)律。

2.增加練習(xí)機(jī)會(huì)：我將盡量利用課堂時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行更多的練習(xí)，通過(guò)大量的練習(xí)題，讓學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法。

3.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣：為了提高學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的興趣，我將引入更多與實(shí)際生活相關(guān)聯(lián)的案例，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在工程和科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，從而增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

4.關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異：在教學(xué)過(guò)程中，我將關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，給予不同的指導(dǎo)和幫助，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度，并掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)。課后作業(yè)1.請(qǐng)簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)的概念和表示方法，并用自己的話解釋復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

2.請(qǐng)分別寫(xiě)出復(fù)數(shù)加減乘除的運(yùn)算規(guī)則，并給出具體的計(jì)算實(shí)例。

3.請(qǐng)舉例說(shuō)明復(fù)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如電路分析、信號(hào)處理等。

4.請(qǐng)計(jì)算以下復(fù)數(shù)的運(yùn)算：

a.(2+3i)+(4-2i)

b.(3+2i)*(1-i)

c.(4-i)/(2+i)

5.請(qǐng)分析以下復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

a.2+3i

b.-3+4i

c.5-i

答案：

1.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)和虛數(shù)的組合，表示為a+bi，其中a是實(shí)部，b是虛部，i是虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中廣泛應(yīng)用，例如在電路分析中，復(fù)數(shù)可以用來(lái)表示電壓和電流的相位關(guān)系。

2.復(fù)數(shù)加減乘除的運(yùn)算規(guī)則如下：

a.加減法：同實(shí)部或同虛部相加減，i^2=-1。

b.乘法：實(shí)部乘實(shí)部，虛部乘虛部，i^2=-1。

c.除法：乘以共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為實(shí)數(shù)除法。

3.復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用舉例：

a.電路分析中，復(fù)數(shù)可以用來(lái)表示電感和電容的阻抗。

b.信號(hào)處理中，復(fù)數(shù)可以用來(lái)表示信號(hào)的頻率成分。

4.計(jì)算實(shí)例：

a.(2+3i)+(4-2i)=6+i

b.(3+2i)*(1-i)=2+4i+2i-2i^2=4+2i+2i-4=6+4i

c.(4-i)/(2+i)=(4-i)*(2-i)/(2^2+i^2)=(8-4i-2i+2i^2)/(4+1)=(-2i+4)/5=-2/5i+4/5

5.復(fù)數(shù)的性質(zhì)分析：

a.2+3i：實(shí)部為2，虛部為3i。

b.-3+4i：實(shí)部為-3，虛部為4i。

c.5-i：實(shí)部為5，虛部為-i。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.請(qǐng)學(xué)生完成本節(jié)課所學(xué)的復(fù)數(shù)概念和運(yùn)算規(guī)則的練習(xí)題，包括加減乘除和乘方運(yùn)算。

2.請(qǐng)學(xué)生分析并解決一個(gè)與復(fù)數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如電路分析或信號(hào)處理中的復(fù)數(shù)應(yīng)用。

3.請(qǐng)學(xué)生總結(jié)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，包括共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模和輻角等，并用自己的話解釋這些性質(zhì)的含義。

作業(yè)反饋：

1.對(duì)學(xué)生的練習(xí)題進(jìn)行批改，指出學(xué)生在復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則理解和應(yīng)用上的錯(cuò)誤，并提供正確的解題步驟和答案。

2.對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的作業(yè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，指出學(xué)生在復(fù)數(shù)應(yīng)用和問(wèn)題解決方法上的不足，并提供改進(jìn)建議和示例。

3.對(duì)學(xué)生的復(fù)數(shù)性質(zhì)總結(jié)進(jìn)行評(píng)價(jià)，指出學(xué)生在理解和表達(dá)上的問(wèn)題，并提供清晰的解釋和示例。

4.鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)和尋求幫助，及時(shí)解答學(xué)生在作業(yè)中的疑問(wèn)，并提供額外的輔導(dǎo)和資源。

5.定期檢查學(xué)生的作業(yè)進(jìn)度和質(zhì)量，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)并提高能力。板書(shū)設(shè)計(jì)-復(fù)數(shù)：a+bi，其中a是實(shí)部，b是虛部，i是虛數(shù)單位。

-復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示為一條從原點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的向量。

2.序號(hào)②：復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

-加減法：同實(shí)部或同虛部相加減，i^2=-1。

-乘法：實(shí)部乘實(shí)部，虛部乘虛部，i^2=