2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第六章 數(shù)據(jù)的分析4 數(shù)據(jù)的離散程度第1課時(shí) 極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差教案 （新版）北師大版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章數(shù)據(jù)的分析4數(shù)據(jù)的離散程度第1課時(shí)極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差教案（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自于北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章“數(shù)據(jù)的分析4數(shù)據(jù)的離散程度”，具體包括以下幾個(gè)方面：

1.極差的定義及其計(jì)算方法；

2.方差的定義及其計(jì)算方法；

3.標(biāo)準(zhǔn)差的定義及其計(jì)算方法；

4.學(xué)生通過實(shí)例理解極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生能夠理解極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，并掌握其計(jì)算方法；

2.學(xué)生能夠通過實(shí)例分析，運(yùn)用極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差解決實(shí)際問題；

3.學(xué)生能夠理解離散程度的概念，并能夠比較不同數(shù)據(jù)集的離散程度。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)如下：

1.邏輯推理：通過講解極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使學(xué)生能夠理解并運(yùn)用這些概念解決實(shí)際問題。

2.數(shù)據(jù)分析：通過實(shí)例分析，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，使學(xué)生能夠運(yùn)用極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)集的離散程度進(jìn)行分析和比較。

3.數(shù)學(xué)建模：通過實(shí)際問題的引入和解決，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，使學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決。

4.直觀想象：通過數(shù)據(jù)的圖表展示和分析，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，使學(xué)生能夠直觀地理解和感受數(shù)據(jù)集的離散程度。

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過計(jì)算極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用公式和計(jì)算方法進(jìn)行運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）極差的定義及其計(jì)算方法：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能夠反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。計(jì)算公式為：極差=最大值-最小值。

（2）方差的定義及其計(jì)算方法：方差是一組數(shù)據(jù)與其平均值差的平方的平均數(shù)，能夠反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。計(jì)算公式為：方差=[Σ(xi-x?)2]/n。

（3）標(biāo)準(zhǔn)差的定義及其計(jì)算方法：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，能夠反映數(shù)據(jù)的離散程度。計(jì)算公式為：標(biāo)準(zhǔn)差=√方差。

（4）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際問題中的應(yīng)用：通過實(shí)例分析，使學(xué)生能夠理解并運(yùn)用這些概念解決實(shí)際問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）方差的計(jì)算方法：學(xué)生容易混淆方差的計(jì)算公式，難以理解每個(gè)字母代表的具體含義，因此需要教師通過具體例子進(jìn)行講解和解釋。

（2）標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法：學(xué)生容易將標(biāo)準(zhǔn)差與方差混淆，難以理解標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，需要教師進(jìn)行詳細(xì)的講解和演示。

（3）離散程度的概念：學(xué)生對(duì)于離散程度的概念理解不夠深刻，需要教師通過圖表和實(shí)際問題進(jìn)行講解和引導(dǎo)。

（4）實(shí)際問題的解決：學(xué)生對(duì)于如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差解決有一定的困難，需要教師進(jìn)行實(shí)例分析和指導(dǎo)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：教室、計(jì)算機(jī)、投影儀、白板、黑板、粉筆、計(jì)算器、紙張、鉛筆、直尺等。

2.課程平臺(tái)：北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)教材、教學(xué)課件、練習(xí)題庫等。

3.信息化資源：在線教育平臺(tái)、數(shù)學(xué)軟件、數(shù)據(jù)可視化工具等。

4.教學(xué)手段：講解、示范、練習(xí)、討論、小組合作、案例分析、問題解決等。

5.教學(xué)輔助材料：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算表格、實(shí)際問題案例、圖表等。

6.評(píng)價(jià)工具：練習(xí)題、測(cè)試題、小組討論報(bào)告、學(xué)生表現(xiàn)評(píng)估等。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是“數(shù)據(jù)的離散程度”這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^需要比較數(shù)據(jù)集離散程度的情況？”（舉例說明）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索數(shù)據(jù)的離散程度的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差這三個(gè)概念。極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能夠反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。方差是一組數(shù)據(jù)與其平均值差的平方的平均數(shù)，能夠反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，能夠反映數(shù)據(jù)的離散程度。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它們?nèi)绾螏椭覀兘鉀Q問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差這三個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于它們的計(jì)算方法，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與數(shù)據(jù)的離散程度相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示數(shù)據(jù)的離散程度的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“數(shù)據(jù)的離散程度在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差這三個(gè)概念、它們的計(jì)算方法和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)數(shù)據(jù)的離散程度的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

a.《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》，第6章，離散程度的度量，作者：張三，出版社：北京出版社，出版時(shí)間：2020年。

b.“數(shù)據(jù)的離散程度在實(shí)際應(yīng)用中的例子”，載于《數(shù)學(xué)應(yīng)用》雜志，2019年第4期，作者：李四。

c.《離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論》，第3章，離散程度的度量，作者：王五，出版社：上海科學(xué)技術(shù)出版社，出版時(shí)間：2018年。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

a.學(xué)生可以進(jìn)一步研究其他衡量數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)，如偏度、峰度等。

b.學(xué)生可以嘗試使用計(jì)算機(jī)軟件（如Excel、R語言等）來計(jì)算數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。

c.學(xué)生可以尋找生活中的實(shí)例，利用所學(xué)的數(shù)據(jù)離散程度的知識(shí)進(jìn)行分析。

d.學(xué)生可以閱讀更多關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)據(jù)分析的書籍和文章，以加深對(duì)數(shù)據(jù)離散程度的理解。

e.學(xué)生可以嘗試解決一些與數(shù)據(jù)離散程度相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如求解最大或最小離散程度的數(shù)據(jù)集等。

3.建議學(xué)生在課后進(jìn)行小組討論，分享他們的學(xué)習(xí)和探究成果，互相學(xué)習(xí)和啟發(fā)。

4.鼓勵(lì)學(xué)生在課后向老師請(qǐng)教問題，或參與學(xué)校的數(shù)據(jù)分析俱樂部等活動(dòng)，以進(jìn)一步拓展和延伸他們對(duì)數(shù)據(jù)離散程度的知識(shí)。板書設(shè)計(jì)1.目的明確：板書設(shè)計(jì)應(yīng)緊扣教學(xué)內(nèi)容，明確展示本節(jié)課的核心概念、定義、計(jì)算方法和應(yīng)用。

2.結(jié)構(gòu)清晰：板書應(yīng)具有清晰的結(jié)構(gòu)，分為導(dǎo)入、新課講授、實(shí)踐活動(dòng)、學(xué)生小組討論和總結(jié)回顧等部分，便于學(xué)生跟隨教學(xué)流程。

3.簡(jiǎn)潔明了：板書應(yīng)簡(jiǎn)潔明了，突出重點(diǎn)，準(zhǔn)確精煉地概括教學(xué)內(nèi)容，避免冗長(zhǎng)的解釋和說明。

4.藝術(shù)性和趣味性：板書設(shè)計(jì)應(yīng)具有一定的藝術(shù)性和趣味性，通過圖形、顏色、符號(hào)等形式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

具體板書設(shè)計(jì)示例：

一、導(dǎo)入新課

-生活中的數(shù)據(jù)比較

-舉例：某商品在不同店鋪的價(jià)格比較

二、新課講授

1.極差

-定義：最大值-最小值

-計(jì)算方法：簡(jiǎn)單易懂的計(jì)算步驟

2.方差

-定義：數(shù)據(jù)與平均值的差的平方的平均數(shù)

-計(jì)算方法：通過實(shí)例演示計(jì)算過程

3.標(biāo)準(zhǔn)差

-定義：方差的平方根

-計(jì)算方法：簡(jiǎn)潔明了的計(jì)算步驟

三、實(shí)踐活動(dòng)

-分組討論與實(shí)驗(yàn)操作

-討論主題：數(shù)據(jù)離散程度在實(shí)際中的應(yīng)用

-實(shí)驗(yàn)操作：演示數(shù)據(jù)離散程度的原理

四、學(xué)生小組討論

-討論主題：數(shù)據(jù)的離散程度在實(shí)際生活中的應(yīng)用

-引導(dǎo)與啟發(fā)：提出開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考

五、總結(jié)回顧

-重點(diǎn)概念：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差

-應(yīng)用場(chǎng)景：生活中的數(shù)據(jù)分析和比較

板書設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況和學(xué)生的反應(yīng)進(jìn)行調(diào)整，以保證教學(xué)效果的最大化。典型例題講解例題1：

某班級(jí)30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)分別為：80,85,90,92,95,98,100,97,93,88,82,86,91,94,99,84,81,83,96,90,87,89,92,85,91,93。

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

（2）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的極差。

（3）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值。

（4）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差。

（5）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

解答過程：

（1）最大值：100；最小值：80

（2）極差：100-80=20

（3）平均值：(80+85+90+92+95+98+100+97+93+88+82+86+91+94+99+84+81+83+96+90+87+89+92+85+91+93)/30=91

（4）方差：根據(jù)方差的計(jì)算公式，我們需要先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方，然后求平均值。具體計(jì)算過程如下：

-(80-91)2=256

-(85-91)2=25

-(90-91)2=1

-(92-91)2=1

-(95-91)2=16

-(98-91)2=49

-(100-91)2=81

-(97-91)2=36

-(93-91)2=4

-(88-91)2=9

-(82-91)2=49

-(86-91)2=25

-(91-91)2=0

-(94-91)2=9

-(99-91)2=36

-(84-91)2=25

-(81-91)2=49

-(83-91)2=49

-(96-91)2=25

-(90-91)2=1

-(87-91)2=4

-(89-91)2=4

-(92-91)2=1

-(85-91)2=16

-(91-91)2=0

-(93-91)2=4

方差=(256+25+1+1+16+49+81+36+4+9+49+25+0+9+49+49+25+0+4)/30=31.1

（5）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，所以我們需要先計(jì)算方差，然后取平方根。

標(biāo)準(zhǔn)差=√31.1≈5.56

例題2：

某公司員工的年收入如下（單位：萬元）：6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50。

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

（2）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的極差。

（3）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值。

（4）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差。

（5）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

解答過程：

（1）最大值：50；最小值：6

（2）極差：50-6=44

（3）平均值：(6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40+42+44+46+48+50)/20=31

（4）方差：根據(jù)方差的計(jì)算公式，我們需要先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方，然后求平均值。具體計(jì)算過程如下：

-(6-31)2=676

-(8-31)2=584

-(10-31)2=441

-(12-31)2=424

-(14-31)2=416

-(16-31)2=409

-(18-31)2=385

-(20-31)2=361

-(22-31)2=329

-(24-31)2=307

-(26-31)2=291

-(28-31)2=276

-(30-31)2=266

-(32-31)2=256

-(34-31)2=249

-(36-31)2=256

-(38-31)2=289

-(40-31)2=321

-(42-31)2=329

-(44-31)2=365

-(46-31)2=361

-(48-31)2=373

-(50-31)2=382

方差=(676+584+441+424+416+409+385+361+329+307+291+276+266+256+249+256+289+321+329+365+361+373+382)/20=28.55

（5）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，所以我們需要先計(jì)算方差，然后取平方根。

標(biāo)準(zhǔn)差=√28.55≈5.33

例題3：

某學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，測(cè)得學(xué)生的跑步時(shí)間（單位：分鐘）如下：8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50。

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

（2）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的極差。

（3）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值。

（4）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差。

（5）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

解答過程：

（1）最大值：50；最小值：8

（2）極差：50-8=42

（3）平均值：(8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40+42+44+46+48+50)/20=29

（4）方差：根據(jù)方差的計(jì)算公式，我們需要先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方，然后求平均值。具體計(jì)算過程如下：

-(8-29)2=441

-(10-29)2=491

-(12-29)2=484

-(14-29)2=476

-(16-29)2=456

-(18-29)2=436

-(20-29)2=416

-(22-29)2=404

-(24-29)2=376

-(26-29)2=356

-(28-29)2=324

-(30-29)2=321

-(32-29)2=313

-(34-29)2=304

-(36-29)2=296

-(38-29)2=289

-(40-29)2=276

-(42-29)2=264

-(44-29)2=256

-(46-29)2=247

-(48-29)2=239

-(50-29)2=221

方差=(441+491+484+476+456+436+416+404+376+356+324+321+313+304+296+289+276+264+256+247+239+221)/20=37.3

（5）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，所以我們需要先計(jì)算方差，然后取平方根。

標(biāo)準(zhǔn)差=√37.3≈6.12

例題4：

某班級(jí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)和英語兩門學(xué)科的測(cè)試，得到以下成績(jī)：

數(shù)學(xué)成績(jī)：70,75,80,85,90,95,100

英語成績(jī)：80,85,90,95,100,105,110

（1）計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）計(jì)算英語成績(jī)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）計(jì)算數(shù)學(xué)和英語成績(jī)的協(xié)方差。

（4）計(jì)算數(shù)學(xué)和英語成績(jī)的相關(guān)系數(shù)。

解答過程：

（1）數(shù)學(xué)成績(jī)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差：

極差：100-70=30

方差：根據(jù)方差的計(jì)算公式，我們需要先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方，然后求平均值。具體計(jì)算過程如下：

-(70-85)2=225

-(75-85)2=25

-(80-85)2=25

-(85-85)2=0

-(90-85)2=25

-(95-85)2=100

-(100-85)2=225

方差=(225+25+25+0+25+100+225)/7=89.29

標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，所以我們需要先計(jì)算方差，然后取平方根。

標(biāo)準(zhǔn)差=√89.29≈9.43

（2）英語成績(jī)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差：

極差：110-80=30

方差：根據(jù)方差的計(jì)算公式，我們需要先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方，然后求平均值。具體計(jì)算過程如下：

-(80-85)2=25

-(85-85)2=0

-(90-85)2=25

-(95-85)2=100

-(100-85)2=225

-(105-85)2=300

-(110-85)2=302.5

方差=(25+0+25+100+225+300+302.5)/7=120.36

標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，所以我們需要先計(jì)算方差，然后取平方根。

標(biāo)準(zhǔn)差=√120.36≈10.97

（3）數(shù)學(xué)和英語成績(jī)的協(xié)方差：

協(xié)方差是兩個(gè)變量之間