新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第三師圖木舒克市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期分班考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024年高二分班考試數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘；共150分一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對復(fù)數(shù)進行分母實數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D2.若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則的值等于（）A.2 B.C.－2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換可得定點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形函數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，因為點在角的終邊上，所以.故選：A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)圖象的平移變換，考查了三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式，得.之后由與間關(guān)系可得答案.【詳解】解不等式，得.因，則若，則.但若，則故“”是“”的必要不充分條件.故選:B4.已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將兩邊平方求出，然后由投影向量公式可得.【詳解】因為，，所以，得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實數(shù)（）A.－1 B.－1或3 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程，即可求得答案.【詳解】由題意知：，即，解得或，∴當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，不合題意;當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，符合題意,∴,故選：C6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】由空間中線面垂直、面面垂直、線面平行的的性質(zhì)以及線線、線面、面面的位置關(guān)系即可得出.【詳解】因為是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，對于A，若，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故A正確.對于B，若，則由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)得或，故B錯誤.對于C，若，則與相交、平行或，故C錯誤.對于D，若，則與相交或平行，故D錯誤.故選：A7.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為８小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75【答案】B【解析】【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出．【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為：．故選：B．8.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，，，則的取值范圍是A.(0,+∞) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，由函數(shù)有3個零點，，，可得,,，,可得答案.【詳解】解：如圖所示，函數(shù)有3個零點，，，可得=0，如圖可得，可得，為函數(shù)：與y=a的交點橫坐標(biāo)，易得，,==，故的取值范圍為，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，則（）A.是奇函數(shù)B.的最小正周期是C.圖象的一個對稱中心是D.上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】由三角恒等變換化簡解析式，由定義判斷A；由周期公式判斷B；由性質(zhì)判斷CD.【詳解】，對于A：，即是奇函數(shù)，故A正確；對于B：的最小正周期是，故B錯誤；對于C：令，當(dāng)時，圖象對稱中心是，故C正確；對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：AC10.對于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在1,2上單調(diào)遞減，則（）A.f3=0C. D.在上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的對稱性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別判斷各個選項即可.【詳解】令，因為是奇函數(shù)，所以，即的圖象關(guān)于點對稱．令，因為是偶函數(shù)，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱．A選項，由，令，可得，由，令，可得，故A正確．B選項，由，令，可得，故B正確．C選項，由，令，可得，故C正確．D選項，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合的圖象關(guān)于點對稱，可知在上單調(diào)遞減，由可知在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于直線對稱，則在上單調(diào)遞增，故D錯誤．故選:ABC．11.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點，則下列說法正確的有（）A.直線與直線為異面直線B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的平面角余弦值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】證明，說明四點共面，即可得A；找到直線與平面所成角，解直角三角形可得其正弦值，即可得B；作出二面角的平面角，計算其余弦值，即可得C；作出過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，求其面積即可得D.【詳解】對于A，連接，則為矩形，則，而點E，G分別是棱AD，CD的中點，故，則四點共面，故直線，不是異面直線，故A錯誤；對于B，由于平面，故即為直線與平面所成角，而，則，故，故B正確；對于C，連接交于點O，連接，平面平面，故，又平面，故平面，即為二面角的平面角，又，故，故C正確；對于D，連接，則，則梯形即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，故D正確，故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.抽取某校高一年級10名女生，測得她們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：163165161157162165158155164162，據(jù)此估計該校高一年級女生身高的第25百分位數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】計算，確定從小到大第個數(shù)即可.【詳解】，第25百分位數(shù)是從小到大第個數(shù)為.故答案為：13.《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）．已知四面體為鱉臑，平面，且，若此四面體的體積為1，則其外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】由已知，可根據(jù)題意，設(shè)，然后根據(jù)體積為1，求解出，然后把鱉臑的外接球可還原在以為長寬高的長方體中，可根據(jù)長方體的外接球半徑是其體對角線的一半求解出外接球半徑，從而求解外接球表面積.【詳解】由已知，因為平面，可令，所以，所以，所以，由已知，鱉臑的外接球可還原在以為長寬高的長方體中，設(shè)其外接球半徑為，所以其外接球的半徑，所以其外接球的表面積.故答案為：.14.函數(shù)（）的所有零點之和為________．【答案】36【解析】【分析】令，得到，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，由圖象得到函數(shù)的零點有關(guān)于對稱的6對求解.【詳解】解：令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：函數(shù)的零點有關(guān)于對稱的6對，所以函數(shù)（）的所有零點之和為，故答案：36四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值.【答案】（1），（2）最大值，最小值為.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）由x的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】，所以函數(shù)f(x)的最小正周期；令得，所以函數(shù)的對稱中心為；【小問2詳解】因為，所以，所以，則，所以當(dāng)或時，即或時，，當(dāng)，即時，.即函數(shù)的最大值為，最小值為.16.已知的內(nèi)角所對的邊分別為．（1）求；（2）為外心，的延長線交于點，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡求出余弦值，結(jié)合角的范圍即可求出角；（2）先根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑，再應(yīng)用余弦定理求邊長，最后面積公式計算即可得.【小問1詳解】，在中，由正弦定理得，又，則，即，，即，，，；【小問2詳解】由（1）得，設(shè)的外接圓的半徑為，在中，由正弦定理得，解得，則，在中，由余弦定理得，，，，在中，由正弦定理得，，即是等邊三角形，的面積為.17.某地區(qū)對初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績進行分析，將得分分成8組（滿分150分）：，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求第七組的頻率；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該地500名學(xué)生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從的兩組中抽取5個人進一步做調(diào)查問卷，再從這5個人中隨機抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率．【答案】（1）（2）102分（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)各組的頻率和為1求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解；（3）利用分層抽樣的定義結(jié)合已知條件求出從的所抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：；【小問2詳解】用樣本數(shù)據(jù)估計該地500名學(xué)生這次考試成績的平均分為：（分）；【小問3詳解】由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取5人，則在分別抽取3人和2人，記這組三人的編號為這組兩人的編號為，故從5人隨機抽取2名，共10種情況，為：設(shè)事件“從5個人中隨機抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”則，共6種情況．故，即從這5個人中隨機抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為．18.如圖1，在中，，D為的中點，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)E為的中點，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求解出的長度，由此判斷出的位置關(guān)系，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直并結(jié)合面面垂直的判定定理完成證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量夾角的余弦值計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，，∴，∵D為中點，∴，又∵，∴，∴，∴.∵二面角為直二面角，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（2）以B為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，過點B且垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可求得，，因為E為的中點，，所以，，∴，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則得，∴取，得，∴取，∴，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，其中涉及了面面垂直的證明、二面角的向量求法，難度一般.（1）面面垂直的證明思路：先證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理完成證明；（2）利用向量法求解二面角的余弦值時，要注意結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是鈍角還是銳角.19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的圖象過點．（Ⅰ）求的表達式；（Ⅱ）若方程，恰有個互異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合；（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先利用已知條件得到的值，再利用奇函數(shù)得到，進而得到的值，經(jīng)檢驗即可得出結(jié)果；（Ⅱ）先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，再利用奇偶性和單調(diào)性得到，把在恰有個互異的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為在恰與軸有兩個交點，求解即可；（Ⅲ）先利用函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，得到，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，令，利用二次函數(shù)的圖像特點求解即可.【詳解】（Ⅰ）由