嵌入式幾何水平集

20/24嵌入式幾何水平集第一部分嵌入式幾何水平集概述 2第二部分水平集方程推導 4第三部分幾何水平集演化方程 7第四部分平滑度指示函數(shù)的構(gòu)建 10第五部分進場和出場條件的處理 13第六部分邊界條件的設(shè)定 15第七部分數(shù)值方法與穩(wěn)定性分析 18第八部分應(yīng)用實例和前景 20

第一部分嵌入式幾何水平集概述關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點嵌入式幾何水平集概述

主題名稱：基本概念

1.水平集方法是一種基于歐幾里得距離的隱式表面表示方法，它將表面表示為連續(xù)函數(shù)的等值面。

2.嵌入式水平集方法在表面之外嵌入了一種附加的位移場，該位移場提供法向信息和表面位置。

3.水平集函數(shù)通常使用符號距離函數(shù)（SDF）來定義，它表示到表面最近點的距離，正值表示表面內(nèi)側(cè)，負值表示表面外側(cè)。

主題名稱：表面演化

嵌入式幾何水平集概述

引言

嵌入式幾何水平集是一種數(shù)學框架，用于描述和追蹤復雜幾何形狀的演化。它在計算機圖形學、圖像處理和計算流體力學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

基本概念

嵌入式幾何水平集的關(guān)鍵概念是一個嵌入函數(shù)φ，它定義了幾何形狀的隱式表示：

*φ(x)>0表示點x在幾何形狀內(nèi)部。

*φ(x)<0表示點x在幾何形狀外部。

*φ(x)=0表示點x位于幾何形狀的邊界上。

水平集方程

嵌入式幾何水平集的演化由水平集方程描述，該方程是偏微分方程：

```

?φ/?t+F|?φ|=0

```

其中：

*t表示時間。

*F是一個速度函數(shù)，控制幾何形狀的運動。

*?φ表示函數(shù)φ的梯度。

追蹤邊界

水平集方程通過將邊界限制在φ=0等值線上來追蹤幾何形狀的邊界。隨著時間的推移，等值線會移動，反映幾何形狀的變形或運動。

數(shù)值方法

求解水平集方程需要使用數(shù)值方法，例如：

*快速行進方法(FMM)：計算距離函數(shù)的數(shù)值近似。

*有限差分法(FDM)：將偏微分方程離散化到網(wǎng)格上。

*有限元法(FEM)：使用網(wǎng)格近似函數(shù)φ。

應(yīng)用

嵌入式幾何水平集在以下應(yīng)用中得到了廣泛使用：

*計算機圖形學：形狀建模、動畫和流體模擬。

*圖像處理：圖像分割、去噪和紋理合成。

*計算流體力學：湍流模擬、界面追蹤和多相流。

優(yōu)點

嵌入式幾何水平集具有以下優(yōu)點：

*隱式表示：允許任意形狀的幾何形狀。

*拓撲魯棒性：可以處理拓撲變化，例如分裂和合并。

*易于實現(xiàn)：水平集方程可以高效地實現(xiàn)。

缺點

嵌入式幾何水平集也有一些缺點：

*計算成本：數(shù)值求解可能在大型幾何形狀上變得昂貴。

*精度：數(shù)值方法可能會引入近似誤差。

*重新初始化：當幾何形狀變得高度變形時，可能需要重新初始化嵌入函數(shù)。

結(jié)論

嵌入式幾何水平集是一種強大的數(shù)學工具，用于描述和追蹤復雜幾何形狀的演化。它具有廣闊的應(yīng)用范圍，并不斷在各種領(lǐng)域中探索新的可能性。第二部分水平集方程推導關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點主題名稱：幾何流方程

1.幾何流方程是一類由偏微分方程組成的幾何演化方程，它們描述了曲面或流形在時間演化下的行為。

2.水平集方程是幾何流方程中的一類重要方程，它描述了曲面或流形在法線方向上的演化。

3.幾何流方程可以用于解決圖像分割、形狀建模和醫(yī)學成像等領(lǐng)域的各種問題。

主題名稱：水平集方法

水平集方程推導

水平集方法是一種描述和跟蹤運動界面演化的強大技術(shù)。它基于以下假設(shè)：運動界面可以表示為一個或多個嵌入在更高維歐幾里得空間中的平滑流形。

一、水平集表述

假設(shè)運動界面由光滑函數(shù)φ(x,t)的零水平集表示，即：

```

```

其中：

*x是d維歐幾里得空間中的位置向量（d≥2）

*t表示時間

φ(x,t)被稱為“水平集函數(shù)”。通過求解水平集函數(shù)的偏微分方程可以跟蹤界面Γ(t)的演化。

二、速度場

界面運動的速度由一個速度場V(x,t)給出，該速度場正交于界面：

```

V(x,t)·?φ(x,t)=0

```

該條件確保水平集φ(x,t)=0沿著Γ(t)移動。

三、水平集方程推導

水平集方程是一個描述水平集函數(shù)演化的偏微分方程。它可以從界面運動的守恒定律推導出。

界面運動的守恒定律指出，封閉界面Γ(t)內(nèi)部的體積變化率等于速度場V(x,t)穿過Γ(t)表面的通量：

```

```

其中：

*Ω(t)是封閉界面Γ(t)內(nèi)部區(qū)域

*dS表示界面Γ(t)上的微分表面積

*?n為界面Γ(t)的外法線單位向量

1.體積變化率

封閉界面Γ(t)內(nèi)部的體積變化率可以用以下形式表示：

```

```

其中，?φ/?t是水平集函數(shù)的時間導數(shù)。

2.通量

速度場V(x,t)通過界面Γ(t)表面的通量可以用以下形式表示：

```

```

使用速度場的正交性條件，可以得到：

```

\nablaφ·V(x,t)=-V(x,t)·\partial_t\nablaφ(x,t)

```

3.水平集方程

將體積變化率和通量代入守恒定律，得：

```

```

由于該方程對于任意區(qū)域Ω(t)都成立，可以得到水平集方程：

```

```

四、邊界條件

水平集方程通常與邊界條件一起求解，以指定界面運動的特定行為。常見邊界條件包括：

*Dirichlet邊界條件：在邊界上指定水平集函數(shù)的值。

*Neumann邊界條件：在邊界上指定水平集函數(shù)法線導數(shù)的值。

*周期性邊界條件：假設(shè)計算域在某個方向上是周期性的，即在該方向上的水平集函數(shù)值在邊界處是相等的。

水平集方法是一種功能強大的技術(shù)，用于模擬各種涉及運動界面的問題，包括圖像分割、流體動力學和晶體生長。通過求解水平集方程，可以跟蹤界面的演化，并了解它們的幾何、拓撲和物理特性。第三部分幾何水平集演化方程關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點主題名稱：幾何水平集

1.幾何水平集是用隱式函數(shù)表示物體的邊界。

2.幾何水平集演化方程可用于跟蹤物體的運動和變形。

3.幾何水平集方法是一種有效的數(shù)值方法，可用于解決流體力學、圖像處理和材料科學中的各種問題。

主題名稱：幾何水平集演化方程

幾何水平集演化方程

幾何水平集方法是一種跟蹤復雜幾何形狀演化的強大技術(shù)，廣泛應(yīng)用于圖像處理、計算機圖形學和科學計算中。其核心思想是利用距離函數(shù)（水平集函數(shù)）來表示幾何形狀，并通過求解偏微分方程（演化方程）來演化該距離函數(shù)，從而實現(xiàn)幾何形狀的演化。

幾何水平集演化方程的一般形式為：

```

??/?t=F|??|+V

```

其中：

*?(x,t)為距離函數(shù)，其值為x點到最近目標邊界點的距離。

*F為速度函數(shù)，控制形狀的運動。

*V為外力項，可以表示外部力或曲率力等。

速度函數(shù)

速度函數(shù)F控制形狀演化的速度和方向。常見的速度函數(shù)包括：

*均值曲率運動：F=κ，其中κ為目標邊界的曲率。該函數(shù)驅(qū)動形狀向其均值曲率流動，從而平滑邊界并消除尖角。

*法線運動：F=V?n，其中V為邊界法線方向的運動速度，n為邊界法線。該函數(shù)驅(qū)動形狀沿法線方向移動。

*壓力力：F=-p??，其中p為壓力項。該函數(shù)驅(qū)動形狀向區(qū)域壓力梯度方向移動。

外力項

外力項V可以表示多種外部力或曲率力。常見的外部力包括：

*重力：V=-mg，其中g(shù)為重力加速度。該力驅(qū)動形狀向重力方向下降。

*流體動力：V=u，其中u為流場速度。該力驅(qū)動形狀受流場影響而移動。

曲率力

曲率力是指形狀邊界上由于曲率變化而產(chǎn)生的力。它可以表示為：

```

V=κ??

```

其中：

*κ為目標邊界的曲率。

*??為距離函數(shù)的梯度。

曲率力驅(qū)動形狀向曲率大的區(qū)域移動，從而消除尖角和光滑邊界。

求解方法

幾何水平集演化方程可以通過數(shù)值方法來求解。常見的求解方法包括：

*有限差分法：將演化方程離散化到規(guī)則網(wǎng)格上，并使用有限差分格式求解。

*有限體積法：將演化方程離散化到控制體積上，并使用有限體積格式求解。

*有限元法：將演化方程離散化到有限元網(wǎng)格上，并使用有限元格式求解。

優(yōu)點

幾何水平集方法具有以下優(yōu)點：

*可以處理拓撲變化復雜（如斷裂、合并）的形狀。

*適用于高維空間中的形狀演化。

*可以與其他技術(shù)（如有限元法）相結(jié)合。

局限性

幾何水平集方法也存在一些局限性：

*對時間步長有顯式限制，以保持數(shù)值穩(wěn)定性。

*距離函數(shù)可能會出現(xiàn)重初始化問題，需要定期重新計算。

*對于具有細尺度特征或拓撲變化非常劇烈的形狀，計算量可能很大。第四部分平滑度指示函數(shù)的構(gòu)建關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點非參數(shù)平滑度指示函數(shù)

1.利用高斯核對圖像進行卷積，平滑原始圖像，得到平滑后的圖像。

2.求取原始圖像和平滑圖像的絕對差值，得到圖像的梯度幅值。

3.根據(jù)梯度幅值的大小，判斷圖像中的點是否位于邊緣位置，從而構(gòu)造非參數(shù)平滑度指示函數(shù)。

參數(shù)化平滑度指示函數(shù)

1.將圖像梯度幅值擬合為一個單峰函數(shù)，得到參數(shù)化的平滑度指示函數(shù)。

2.常見的擬合函數(shù)包括高斯函數(shù)、拉普拉斯函數(shù)和雙拋物線函數(shù)。

3.參數(shù)化的平滑度指示函數(shù)具有更精確的邊緣定位能力。

多尺度平滑度指示函數(shù)

1.在不同尺度上進行圖像處理，得到不同尺度的平滑度指示函數(shù)。

2.通過將不同尺度的平滑度指示函數(shù)融合，得到多尺度平滑度指示函數(shù)。

3.多尺度平滑度指示函數(shù)可以捕獲圖像中不同尺度的邊緣信息。

自適應(yīng)平滑度指示函數(shù)

1.根據(jù)圖像的局部特性，動態(tài)調(diào)整平滑度指示函數(shù)的參數(shù)。

2.自適應(yīng)平滑度指示函數(shù)可以更準確地反映圖像中邊緣的局部變化。

3.常用的自適應(yīng)調(diào)節(jié)方法包括局部統(tǒng)計分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

學習平滑度指示函數(shù)

1.利用機器學習技術(shù)，從訓練圖像數(shù)據(jù)中學習平滑度指示函數(shù)。

2.學習的平滑度指示函數(shù)可以更好地泛化到新的圖像。

3.常用的學習算法包括卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機。

平滑度指示函數(shù)的前沿發(fā)展

1.基于深度學習的平滑度指示函數(shù)研究。

2.可解釋性和魯棒性平滑度指示函數(shù)的探索。

3.平滑度指示函數(shù)在圖像分割和目標檢測中的應(yīng)用研究。平滑度指示函數(shù)的構(gòu)建

平滑度指示函數(shù)用于區(qū)分水平集函數(shù)中平滑區(qū)域和陡峭區(qū)域。它是一個重要的工具，可用于各種圖像處理和計算機視覺應(yīng)用中。

方法

構(gòu)建平滑度指示函數(shù)的方法有多種，其中最常見的方法是基于梯度信息。梯度幅度可以反映圖像中邊緣和紋理的存在，而梯度方向可以指示邊緣的方向。

基于梯度幅度的平滑度指示函數(shù)

基于梯度幅度的平滑度指示函數(shù)通常定義為：

```

I_s(x,y)=g(|\nablaf(x,y)|)

```

其中，\(f(x,y)\)是水平集函數(shù)，\(\nablaf\)是其梯度，\(g\)是一個單調(diào)遞減函數(shù)。\(g(t)\)函數(shù)通常選擇為高斯函數(shù)或雙曲線正切函數(shù)。

基于梯度方向的平滑度指示函數(shù)

基于梯度方向的平滑度指示函數(shù)通常定義為：

```

```

其中，\(p_i\)是八個預定義的方向矢量，\(h_i\)是一個測量梯度與方向矢量之間相似性的函數(shù)。常用的\(h_i\)函數(shù)包括高斯函數(shù)或雙曲線正切函數(shù)。

基于梯度幅度和方向的平滑度指示函數(shù)

基于梯度幅度和方向的平滑度指示函數(shù)結(jié)合了上述兩種方法的優(yōu)點。它定義為：

```

```

參數(shù)選擇

平滑度指示函數(shù)的性能取決于所使用的參數(shù)。對于基于梯度幅度的函數(shù)，高斯函數(shù)的標準差通常是重要的參數(shù)。對于基于梯度方向的函數(shù)，方向矢量的數(shù)量和\(h_i\)函數(shù)的形狀是重要的參數(shù)。

應(yīng)用

平滑度指示函數(shù)在圖像處理和計算機視覺中有著廣泛的應(yīng)用，包括：

*邊緣檢測

*圖像分割

*形狀匹配

*紋理分析

通過對水平集函數(shù)應(yīng)用平滑度指示函數(shù)，可以有效地區(qū)分平滑區(qū)域和陡峭區(qū)域，從而提高圖像處理和計算機視覺任務(wù)的精度和魯棒性。第五部分進場和出場條件的處理關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點【進場條件】：

1.由于幾何水平集方程的非線性特征，取值范圍無法保證在特定的界限范圍內(nèi)，導致進場條件難以準確定義。

2.目前常見的進場條件處理方法包括：使用Heaviside函數(shù)、tanh函數(shù)、符號距離函數(shù)等非光滑函數(shù)進行平滑處理，以控制解的取值范圍。

3.這些方法雖然能夠有效控制解的取值范圍，但可能會引入額外的數(shù)值誤差和不穩(wěn)定性。

【出場條件】：

進場和出場條件的處理

在幾何水平集中，進場和出場條件用于控制前向傳播過程。它們分別指定前向傳播何時開始和結(jié)束。

進場條件

進場條件決定了是否將新點包含到前向傳播中。常見的進場條件有：

*最大曲率條件：當點處的曲率大于給定閾值時，該點進入前向傳播。

*最大距離條件：當點到零水平集的距離小于給定閾值時，該點進入前向傳播。

*梯度條件：當點處梯度方向與法線方向之間的角度小于給定閾值時，該點進入前向傳播。

出場條件

出場條件決定了何時停止對點的傳播。常見的出場條件有：

*最大曲率條件：當點處的曲率小于給定閾值時，該點退出前向傳播。

*最小距離條件：當點到零水平集的距離大于給定閾值時，該點退出前向傳播。

*梯度條件：當點處梯度方向與法線方向之間的角度大于給定閾值時，該點退出前向傳播。

處理方法

通常，進場和出場條件通過以下方法處理：

*直接法：直接檢查每個點的條件，如果滿足則進行相應(yīng)的處理。

*隊列法：將滿足條件的點放入隊列中，然后逐個處理。

*優(yōu)先隊列法：將點放入優(yōu)先隊列中，優(yōu)先處理條件最嚴格的點。

*搜索樹法：將點組織成搜索樹，根據(jù)條件進行搜索。

參數(shù)設(shè)置

進場和出場條件的閾值參數(shù)需要根據(jù)特定的問題進行調(diào)整。太嚴格的條件可能導致前向傳播過早停止或遺漏重要區(qū)域，而太寬松的條件可能會導致過多的噪聲和計算開銷。

影響

進場和出場條件的處理對幾何水平集的準確性和效率有重要影響。選擇合適的條件可以優(yōu)化前向傳播過程，提高檢測和分割的性能。

具體例子

最大曲率進場條件示例：

```

if(curvature(x,y)>threshold)

mark_as_entered(x,y)

```

最小距離出場條件示例：

```

if(distance(x,y)>maximum_distance)

mark_as_exited(x,y)

```

通過設(shè)置合適的閾值，這些條件可以有效地控制前向傳播過程。第六部分邊界條件的設(shè)定關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點【迪里克雷邊界條件】

1.在邊界上將水平集函數(shù)固定為已知值。

2.用于描述邊界明確已知的幾何界面。

3.適用于靜止或運動緩慢的界面。

【諾依曼邊界條件】

嵌入式幾何水平集

邊界條件的設(shè)定

邊界條件在水平集方法中起著至關(guān)重要的作用，因為它影響著演化方程的解。在嵌入式幾何水平集中，通常使用以下幾種邊界條件類型：

1.狄利克雷邊界條件

狄利克雷邊界條件指定了邊界上的水平集函數(shù)值。它通常用以下形式表示：

```

φ(x)=g(x)onΓ

```

其中，x∈Γ是邊界點，g(x)是給定的函數(shù)。狄利克雷邊界條件常用于指定目標形狀，或者在求解偏微分方程時需要指定的邊界條件。

2.諾伊曼邊界條件

諾伊曼邊界條件指定了水平集函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)。它通常用以下形式表示：

```

?φ(x)·n(x)=f(x)onΓ

```

其中，n(x)是邊界點x處的法向單位向量，f(x)是給定的函數(shù)。諾伊曼邊界條件常用于指定物體的速度或流量邊界條件。

3.混合邊界條件

混合邊界條件是狄利克雷邊界條件和諾伊曼邊界條件的結(jié)合。它在邊界上的不同部分指定了不同的邊界條件?；旌线吔鐥l件通常用以下形式表示：

```

φ(x)=g(x)onΓ_D

?φ(x)·n(x)=f(x)onΓ_N

```

其中，Γ_D和Γ_N分別是邊界上滿足狄利克雷邊界條件和諾伊曼邊界條件的部分。混合邊界條件常用于處理復雜的幾何形狀或邊界條件。

4.周期性邊界條件

周期性邊界條件假設(shè)計算域在指定方向上是周期性的。它通常用以下形式表示：

```

φ(x+l)=φ(x)onΓ_p

```

其中，x∈Γ_p是邊界點，l是周期性長度。周期性邊界條件常用于處理無限域或具有重復結(jié)構(gòu)的域。

邊界條件的選擇

邊界條件的選擇取決于具體問題和所使用的水平集方法。以下是選擇邊界條件時需要考慮的一些因素：

*問題陳述：邊界條件應(yīng)該與問題的物理或數(shù)學描述相一致。

*求解方法：不同的水平集方法可能對邊界條件的處理方式不同。

*計算效率：復雜或高度非線性的邊界條件可能會增加計算成本。

*穩(wěn)定性：邊界條件應(yīng)確保水平集方法的穩(wěn)定性和精度。

嵌入式幾何水平集中邊界條件的實現(xiàn)

嵌入式幾何水平集中，邊界條件通常通過使用分段函數(shù)或近似技術(shù)來實現(xiàn)。例如，狄利克雷邊界條件可以通過以下分段函數(shù)來實現(xiàn)：

```

1,ifφ(x)<0

-1,ifφ(x)>0

}

```

其中，B(x)是重力函數(shù)，它用于區(qū)分水平集函數(shù)內(nèi)部和外部區(qū)域。近似技術(shù)，例如泰勒展開或多項式擬合，也可以用于實現(xiàn)邊界條件。

邊界條件的設(shè)定是嵌入式幾何水平集中一個重要的方面。通過仔細選擇和實現(xiàn)適當?shù)倪吔鐥l件，可以確保水平集方法的準確性和效率。第七部分數(shù)值方法與穩(wěn)定性分析關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點主題名稱：有限差分格式

1.有限差分格式將偏微分方程離散化為有限個代數(shù)方程。

2.精度取決于離散步長，步長越小，精度越高，但計算量也越大。

3.穩(wěn)定的有限差分格式可以確保數(shù)值解不會隨時間發(fā)散或產(chǎn)生振蕩。

主題名稱：有限元方法

數(shù)值方法與穩(wěn)定性分析

引言

嵌入式幾何水平集方法是一種強大的工具，用于解決涉及復雜幾何特征的偏微分方程。數(shù)值方法在這些問題的求解中起著至關(guān)重要的作用，它們的穩(wěn)定性至關(guān)重要，以確保準確和可靠的解。本文概述了用于嵌入式幾何水平集方法的數(shù)值方法和穩(wěn)定性分析。

數(shù)??值方法

1.有限差分法:

在有限差分法中，求解域被離散化成網(wǎng)格，偏微分方程用有限差分方程近似。差分方程通常通過顯式或隱式時間積分法求解。

2.有限體積法:

有限體積法是一種基于積分保守定律的數(shù)值方法。求解域被劃分為一系列控制體積，并且方程以積分形式在每個體積上求解。

3.有限元法:

有限元法是一種基于加權(quán)殘差法的數(shù)值方法。求解域被離散化成單元，并且方程投射到一組加權(quán)函數(shù)上。解通過最小化加權(quán)殘差來近似。

穩(wěn)定性分析

1.Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)條件:

CFL條件是顯式時間積分法穩(wěn)定性的必要條件。它限制了時間步長，以確保傳播波在每個時間步長中不超過網(wǎng)格間隔。

2.vonNeumann分析:

vonNeumann分析是數(shù)值方法穩(wěn)定性的線性質(zhì)量分析。它涉及將誤差模式應(yīng)用于離散方程，并確定誤差是否隨著時間而增長或衰減。

3.能量方法:

能量方法是一種穩(wěn)定性分析技術(shù)，涉及對離散方程的能量估計。它提供了關(guān)于解的規(guī)范和時間演化的信息。

具體數(shù)值方法與穩(wěn)定性考慮

1.LevelSet方法:

Levelset方法使用嵌入函數(shù)來表示界面。顯式時間積分法（如WENO和ENO）用于求解水平集方程。穩(wěn)定性通過適當?shù)臅r間步長限制來保證。

2.相場方法:

相場方法使用相場參數(shù)來表示界面。Implicit-Explicit(IMEX)時間積分法用于求解相場方程。穩(wěn)定性通過確保相場參數(shù)保持在特定范圍內(nèi)來實現(xiàn)。

3.體素方法:

體素方法將求解域離散成體素。顯式時間積分法通常用于求解演化方程。穩(wěn)定性通過確保體素容量守恒來保持。

4.截斷方法:

截斷方法使用簽名的距離函數(shù)來表示界面。顯式或隱式時間積分法用于求解截斷方程。穩(wěn)定性通過確保簽名的距離函數(shù)保持在一定范圍內(nèi)來實現(xiàn)。

結(jié)論

數(shù)值方法和穩(wěn)定性分析在嵌入式幾何水平集方法中至關(guān)重要。通過仔細考慮這些方面，可以確保準確和可靠的解，從而解決涉及復雜幾何特征的偏微分方程。第八部分應(yīng)用實例和前景應(yīng)用實例

嵌入式幾何水平集因其在圖像處理、計算機視覺和科學計算中的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注。以下列出了一些具體的應(yīng)用實例：

圖像分割：

*醫(yī)學圖像分割：從醫(yī)學掃描（如MRI和CT）中提取解剖結(jié)構(gòu)。

*自然圖像分割：分離圖像中的不同對象。

*視頻對象分割：從視頻序列中分離移動對象。

圖像修復：

*圖像去噪：去除圖像中的噪聲。

*圖像修復：修復損壞或模糊的圖像。

*圖像融合：融合來自不同源的圖像。

形狀分析：

*形狀表示：使用水平集函數(shù)表示和分析復雜形狀。

*形狀匹配：比較和匹配不同的形狀。

*形狀優(yōu)化：優(yōu)化形狀以滿足特定的設(shè)計目標。

計算流體力學：

*流體與結(jié)構(gòu)相互作用：模擬流體與彈性結(jié)構(gòu)之間的相互作用。

*兩相流：模擬不同密度流體的相互作用，如水和空氣。

*自由表面流動：模擬液體表面的演化，如波浪和滴落。

其他應(yīng)用：

*材料科學：建模材料的晶體結(jié)構(gòu)和相變。

*電化學：模擬電池和燃料電池中的電化學過程。

*計算機輔助設(shè)計：設(shè)計和建模復雜形狀。

前景

嵌入式幾何水平集技術(shù)仍處于不斷發(fā)展和改進的階段，未來前景廣闊。以下列出了一些潛在的研究方