2021年高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)大全

知雙點(diǎn)卒游

升降皿第f常；三角函數(shù)

1.1.1佞度角

1、角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類:

2、象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（端點(diǎn)除外）

在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.

終邊一樣的角的表示：

所有與角。終邊一樣的角，連同。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={￡|=a+

k-360°,

公,即任一與角。終邊一樣的角，都可以表示成角a與整個(gè)周角的和.

注意:

(1)kCZ(2)。是任一角；

⑶終邊一樣的角不一定相等，但相等的角終邊一定一樣.終邊一樣的角有無限個(gè)，它們相差

360°的整數(shù)倍；

⑷角。+k?720°與角。終邊一樣，但不能表示與角。終邊一樣的所有角.

3、寫出終邊在y軸上的角的集合傭0°到360。的角表示).

解：{。|a=90°+n?180°,〃EZ}.

Ct

4、已知。角是第三象限角，則2%—各是第幾象限角？

2

解：???a角屬于第三象限，k?360°+180°<a<k^360°+270°(AeZ)

因此，2k?360°+360°<2a<2k-360°+540°(A￡Z)

即(24+1)360°<2a<(2A+1)360°+180°(AGZ)

故2。是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

a

又A?1800+90°<—<k-180°+135°(A￡Z).

2

a

當(dāng)々為偶數(shù)時(shí)，令A(yù)=2〃(〃￡Z),則〃?360°+90°<—</?-360c+135°(nez),

2

a

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令A(yù)=2"l(〃￡Z),則刀?360°+270°<—<n*3600+315°(n€Z),

2

因此上a屬于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

我們規(guī)定，長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧

度制.在弧度制下，1弧度記做lrad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

2、弧度制的性質(zhì)：

7rr_2w

----=27c.

①半圓所對(duì)的圓心角為〃’②整圓所對(duì)的圓心角為r

③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|二r?

3、弧長(zhǎng)公式

lai=-=>/=r-|a|

r弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積.

例6.利用弧度制證明扇形解只公鄭=出其中/是扇形弧長(zhǎng)R是圓的半徑

2—TlR2

證法一二?圓的面積為成，，圓心角為Irad的扇形面積為2兀,又扇形弧長(zhǎng)為1,半徑

為R,

—S=--R7=-lR

??.扇形的圓心角大小為Rrad,??.扇形面積R22

ll-7vR'

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為360,又此時(shí)弧長(zhǎng)

n7iR

/=w

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得

多.

扇形面積公式:S=^lR=^\a\R2

1.21隹直角的三角國(guó)政

1、三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)尸(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為

(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r(r=J|x|2+|y|2=^x2+y2>0),那么

(1)比值)叫做a的正弦，記作sina,即sina=?；

XX

(2)比值二叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=—；

y

(3)比值)叫做a的正切，記作tana,即tana=一；

xx

YX

(4)比值上叫做a的余切,記作cota,即cota=—；

yy

2.三角函數(shù)的定義域、值域

?函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaRL-1,U

71

y=tana{a|aw—+GZ}R

。*N典COS^tanxM后

3、求函數(shù)>----L+,----的值域

cosx|tanx|［

解：定義域：cosx^O?,.x的終邊不在x軸上又〈tanxM.,.x的終邊不在y軸上

?'?當(dāng)x是第I象限角時(shí)，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|/.y=2

..............II...............,x<0,y>0|cosx|—cosx|tanx|—tanxAy—2

..............HIIV...........,x>0,yv0Icosx|—cosx|tanx|=tanxAy=0

4、誘導(dǎo)公式

sin(2kr+a)=sina(keZ)

cos(24萬+a)=cosa(keZ)

tanQZi+a)=tana(ZGZ)

5、三角函數(shù)線的定義:

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與工軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P(x,y),

過尸作工軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(l,())作單位圓的切線，它與角。的終邊或其反向延

長(zhǎng)線交與點(diǎn)7.

(III)

由四個(gè)圖看出:

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OM=x,MP=y,于是有

vvxxVMPAT

sina=2=2=y=MP,cosa=-=-=x=OMftana=2=——=——=AT

r1r1JOMOA

我們就分別稱有向線段MROM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為0的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在

x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條

有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向0的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與二的終邊的交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與龍軸或)'軸同向的為正值，與1軸或丁軸反向

的

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

6、利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

一.2%一.4萬22兀-4冗

1°sin——與sin——2°tan——與tan——

3535

解：如圖可知:

.2%.4%7.7147r

sm——>sin——tan—<tan—

3535

1.22周角三角函數(shù)的基本免系

1、由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

(1)商數(shù)關(guān)系：tana=0■"(2)平方關(guān)系：sin2a+con2a=1

cona

12_

2、已知sina=—,并且。是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

解：sin~tz+cos-a=l/.cos2a=\—sin2a=\—(—)2=(—)2

1313

又是第二象限角，cosavO,即有cosa=,從而

13

sina1215

tana=------=-----cota=------=------

cosa59tana12

，、sina-4cosa

3、已知sina=2cosa,求--------------2

5sintz+2cosa2sin2a+2sinacosacosa.

cosx_1+sinx

4、求證:

1-sinxcosx

證法一：由題義知COSXW0,所以1+5皿工工0,1-5皿工工0.

?cosx(l+sinx)cosx(l+sinx)1+sinx...

??左邊二--------------------=---------：-------=----------=右邊.

(1-sinx)(l+sinx)cos~xcosx

???原式成立.

證法二：由題義知cosxwO,所以l+sinxwO,l-sinxwO.

又V(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x=cosx?cosx,

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

證法三：由題義知cosxw0,所以1+sinxw0,1-sinxw0.

cosx1+sinxcosx-cosx-(14-sinx)(l-sinx)_cos2x-l+sin2x

=0,

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx_1+sinx

??—

1—sinxcosx

1.3房尋公式

1、誘導(dǎo)公式（一）

sin(360%+a)=sinacos(360Qk+a)=cosatan(360Qk+a)=tana

誘導(dǎo)公式（二）

sin(180°+cr)=一sinacos(180°+a)=-cosatan(l80°+a)=tana

誘導(dǎo)公式（三）

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（冗一a）=sinacos(K—a)=~cosatan(九一a)=-tana

誘導(dǎo)公式（五）

sin(y-a)=cosa

誘導(dǎo)公式（六）

sin(]+a)=cos。

sin(21一a)cos(r+a)cos(—+a)cos(------a)

2、化簡(jiǎn)：-----------------------2----------2——

9萬

COSCT-a)sin(3乃-a)sin(-a-萬)sin(----Fa)

3、已知sin(a+%)=且sinacosav2sin(a乃)+3tan(3%^2的值

54cos(a—3%)

4、化簡(jiǎn):

tan(360°+a)

?sin(a-2%)?cos(2^-a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

5、

co：

I.4I正弦、余弦畫數(shù)的圖象

1、

正弦函數(shù)丫=55*的圖象和余弦函數(shù)丫飛05*的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

2、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)：

正弦函數(shù)y=sinx,xe[0,2冗]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)(y,1)(兀，0)

(孚，-1)(2九，0)

2

余弦函數(shù)產(chǎn)cosxxe[0,2捫的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1)(；,0)(n,-1)(當(dāng)，0)

22

(2K,1)

3、別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

(l)sinx>—;(2)cosx<—,(0<x<—).

1.4.2正弦、余弦函數(shù)的IB質(zhì)

奇偶性:y=cosx是偶函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。

單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[一巳+2々/-+2kn~\UGZ)上都是增函數(shù)，其值從一1

22

TT

增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間[一+2",二+2"](A￡Z)上都是減函數(shù)，其

22

值從1減小到一1.

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2—1)冗，2A%］(A￡Z)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1；

在每一個(gè)閉區(qū)間［24孫(24+1)乃］(AGZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一

1.

3、有關(guān)對(duì)稱軸

觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

冗

y=sinx的對(duì)稱軸為x=k/TT——k￡Zy=cosx的對(duì)稱軸為x=k兀kGZ

2

4、判斷下列函數(shù)的奇偶性

n

(1)/(x)="s|"c°S"；(2)f(x)=lg(sinx+Jl+sin%);

l+sinx+cosx

1.43正切圖數(shù)的嵯質(zhì)與圖象

TT

1、正切函數(shù)》=tanx的定義域是什么？x\x^—+k7r,kez?

2、y=tanxxeR,且不工乙+匕r(Awz)的圖象，稱“正切曲線

定義域：卜|X工5+&肛&Gz};

3、正切函數(shù)的性質(zhì)(1)

(2)值域：R觀察:當(dāng)無從小于公r+^kwz),x——>E+］時(shí)，tanx---->+oo

當(dāng)x從大于￡.卜府(攵wz),x---->E+QT時(shí)，tanx---->-oo

2o

(3)周期性：T=c

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

(5)單調(diào)性：在開區(qū)間/_工+攵匹工+/區(qū)卜WZ內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

(22

4、求下列函數(shù)的周期：

(九、/乃、71

(1)y=3tanx+—答：T=*,(2)y=tan3x---答：T=—。

k5J16；3

說明：函數(shù)的周期7

H,

5、求函數(shù)y=tan（3x-[]的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性，

\3）

7TJTK7T5乃

解：1、由3x------wk汽4—得XW-------1---所求定義域?yàn)?/p>

32318

1I-J口k冗54.

<X|XWR,且RW---1----，女WZ>

318

2、值域?yàn)镽,周期丁=工，3、在區(qū)間絲-2,三+3獲z）上是增函數(shù)。

31318318P，

I.5圖數(shù)方凡就?c+儂次摘w>0）的BE象

1、函數(shù)y=Asin（wx+（p）,（A>0,w>0）的圖像可以看作是先把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)

向左。>0）或向右（<pVO）平移|中|個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（w>l）或伸長(zhǎng)（0<w〈l）

到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（AX）或縮短（O<A<1）到原來的A

CD

倍，（橫坐標(biāo)不變）。即：平移變換一周期變換一振幅變換。

2、⑴函數(shù)y=sin2x圖像向右平移型個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為y=sin2（x-—）

1212

⑵函數(shù)y=3cos（x+2）圖像向左平移T個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為y=3cos（x+皆）

⑶函數(shù)y=21oga2x圖像向左平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2k>g.2（元+3）

⑷函數(shù)y=2tan⑵+中圖像向右平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為

冗

y=2tan[2(x-3)+y

3、函數(shù)y=Asin(wx+(p)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：

A:這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.

T：T=二往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間，稱為“周期”

co

f：/=4=多單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的火數(shù)，稱為“頻率”

T2不

以十°:稱為“相位”.

(P：后0時(shí)的相位，稱為“初相”.

4、y=Asin(ajx+g)(|(p|<乃)的表達(dá)式

解析：由圖象可知看2,

77乃)

T=----(---)=冗、

88

即二=肛.?.0=2.

CD

又(-g,0)為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn)

O

jrTT

因此2K(-三)+3=0,:.3二

o4

因此所求函數(shù)的表達(dá)式力，=2sin(2%+f).

4

1.6三角西政佛堂的畫單位用

1、畫出函數(shù)尸Isinxl的圖象并觀察其周期.

萍二章：平面向宣

2.1.1-2.1.2向It的物理背景與概念及向黃的幾何著帚

1、數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；B

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2、向量的表示方法：

①用有向線段表示；②用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；④向量A8的大小一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作

\AB\.

3、有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向一樣，這兩個(gè)向量就是

一樣的向量；

（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向一樣，也是不同

的有向線段.

4、零向量、單位向量概念：

①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作〃。的方向是任意的.注意。與0的含義與書寫

區(qū)別.

②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.我,

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

5、平行向量定義：

①方向一樣或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任一向量平行.

說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量a、6、c平行，記作a

//b//c.

2.1.3相等向量與共線向置

1、相等向量定義:

長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量叫相等向量.

說明：（1）向量a與6相等，記作a=6；（2）零向量與零向量相等；

（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)

無關(guān)

2、共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無

去）?

說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、判斷：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向一樣）

（4）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

4、下列命題對(duì)的是（）

A.&與6共線，6與c共線，則1與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有一樣起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩

個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊

形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向一樣或相反即可，與起點(diǎn)是否一樣無關(guān),

所以D不正確；對(duì)于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b

不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b

共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.

5、判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

①向量43與是共線向量，則AB、C、〃四點(diǎn)必在一直線上；

②單位向量都相等；

③任一向量與它的相反向量不相等;

④四邊形的是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC

⑤一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；

⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向一樣或相反即可，并不要求兩個(gè)向量A3、

元在同一直線上.

②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.

——4彳E

⑥不正確.如圖AC與3c共線，雖起點(diǎn)不同，但其J---------1---------終點(diǎn)卻一樣.

2.2.1向疊的加法運(yùn)牌友其幾何意義

1、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作43=a,BC=b,則向量4c叫做

a與b的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=AC,規(guī)定：a+0-=0+a

2、已知向量Z、bt求作向量3+1

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作。4=。AB=ht則OB=a+Z.

22.2向量的臧法運(yùn)算及其幾何意義

、作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)Q

作方二3~AB=b則或二a-b

即a-b可以表示為從向量，的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

注意：1。而表示a-5.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

2。用“相反向量”定義法作差向量，a-b=a^(-》

2.2.3向疊的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義

1、實(shí)數(shù)與向量的積的定義：

一般地，實(shí)數(shù)4與向量3的積是一個(gè)向量，記作；13,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:

（1）|疝=|刈￡|；

（2）當(dāng)；1>0時(shí)，的方向與2的方向一樣；

當(dāng)4<0時(shí)，的方向與［的方向相反；

當(dāng)2=0時(shí)，Aa=6.

2、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

（1）40。）=（，/）〃（結(jié)合律）；

（2）（丸+〃）。=九。+（第一分配律）；

(3)"a+b)=Aa+Ab(第二分配律)

3、計(jì)算：(1)(-3)x4〃；(2)3(a+5)-2(a-b)-a；

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

解：(1)原式二-12。；(2)原式=5萬；(3)原式二一a+5^-2c.

4、已知向量?滿足亨-?=2+2初求證：向量靜旗線.

5、證明三點(diǎn)共線的問題

跖=4記（正wO）=A、B、C三點(diǎn)共線.

231-2平面向it基本定理、平面向的正交分解

和坐標(biāo)裹帚

1、平面向量基本定理：加入［,1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

任一向量,，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入I,入2使2=入1%+入2g.

2、(1)我們把不共線向量e1、入叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底e】、的條件下進(jìn)行分解；

(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.入2是被落

G,e2唯一確定的數(shù)量

3、如圖，蘇、而不共線，且

AP=tAB(teR\用而，方表示麗.

本題實(shí)質(zhì)是已知O、A、8三點(diǎn)不共線，

若點(diǎn)尸在直線A8上，則而二加次+〃而，且加+九=1?

4、向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量2、b,作。5=〃，OB=b,則NA0B=6,叫向量后、

B的夾角，當(dāng)8=0：a＞很同向，當(dāng)。二180。，2、B反向，當(dāng)。=90。，M與石垂

直，記作行，〃。

6、正交分解：把向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量。

7、在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與工軸、）軸方向一樣的兩個(gè)單位向量八，作為基底.任

作一個(gè)向量4,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)久、yf使得a=xi+yj.......

O

我們把（ay）叫做向量。的（直角）坐標(biāo)，記作。=（乂y）...............（2

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.

2?3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)若。=(項(xiàng)，必),/?=(/,為)，貝汁a+b=a+々，必+為)，

a-b=(x]-x29y]-y2)

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

(2)若。=(x,y)和實(shí)數(shù)2,則及=(旗,辦0.

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

設(shè)基底為i>j,貝！1/izz=〃疝+切)=疝，+徹，即九r=

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

(3)若A(X[,yJB(x2,y2),則48=(冗2-%,為一%)

A.B—OB—OA=(X2,y2)—(xi,yi)=(X2—xi,y2—yi)

2、一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

3、思考：你能標(biāo)出坐標(biāo)為(X2-%,VLyi)的P點(diǎn)嗎？

向量薪的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是一樣的。

'?.....—?

4、已知三個(gè)力耳(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力6+K+K=0,求

元的坐標(biāo).

.■■—

解：由題設(shè)片+尸2+歹3=。得：⑶4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

3+2+x=0x=-5

即：《???F3(-5,1)

4-5+y=0Iy=[

5、若A@1),B(l,2),C(3,4),貝=

2.3.4平面向量若線的坐褲袤示

1、設(shè),二(X1,yi),b=(x2,y2)其中

一x1—/Lx2

由2=入B得，(xi,yi)=A,(x2,y2)=>\消去入，xiy2-x2yi=0

IM=辦2

a//b的充要條件是x1y2-x2yi=0

2、若向量7=(-1,x)與B=(-x,2)共線且方向一樣，求x

解：?；2=(T,x)與Z?=(-x,2)共線A(-1)X2-Af(-jr)=0

.\x=±V2?；G與B方向一樣***x=V2

2.4.1平面向量的數(shù)It機(jī)的物理背景及其含義

1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與6,它們的夾角是。，

則數(shù)量|a|㈤cos。叫a與6的數(shù)量積，記作ab,即有a?6二|a||“cos。,（0W6近"）.

并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.

?探究：1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量？它的符號(hào)什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？

2、兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別?

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos。的符號(hào)所決定.

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a6；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積aXb,而aA是兩

個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“?”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，

也不能用“X”代替.

(3)在實(shí)數(shù)中，若*0,且3以0,則反0；但是在數(shù)量積中，若今且8方。，不能推

出b=0.因?yàn)槠渲衏osS有可能為0.

(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(屏0),則ab=bc=a=c.但是a-b=be號(hào)

a=c

如右圖：a-b=|a\|Z?|cosp=12>||0A|,be=\b\|c|cosa=|b\|0A|

=>a-b-b-c但a工c

⑸在實(shí)數(shù)中，有(a6)c=a也。，但是但力)c工a(b-c)

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c。共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與。不

共線.

2、“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos。叫做向量5在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量;

當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。為直角時(shí)投影為0；

當(dāng)。=0。時(shí)投影為|引；當(dāng)9=180。時(shí)投影為-1引.

3、向量的數(shù)量積的幾何意義:

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與8在&方向上投影|b|cosO的乘積.

探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、6為兩個(gè)非零向量，

1、aLb=a"=0

2、當(dāng)a與。同向時(shí)，&b=|a||^|；當(dāng)a與。反向時(shí)，a-b=-\a\\b\.

特殊的aa二或|。|=\a-b\W\a\\b\cos9=“'

I?11*1

4、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.交換律：a-b=b'a

證：設(shè)a,b夾角為0,則a?力二||引cosO,b?a-\b\\a|cos9:?a,b=b?a

2.數(shù)乘結(jié)合律：（九a）/=入（a?b）=a（九力）

證：若入〉0,（入a）-b=\\a\|引cos。，X（ab）=Z|a||2?|cos0,a?（入b）

=X|a||ZJ|COS8,

若九＜0,（Xa）-b=|Xa||2?|COS（K-G）=-X|a||Z?|（-cos0）=X|a||b\cos0,九（ab）

=XIa||b\cos0,

a?（九力）=|a||XZ?|cos（7C-0）=-X\a\\b\（-cos0）=Z|a||^|cos0.

3.分配律：（a+8）-c=a-c+be

在平面內(nèi)取一點(diǎn)0f作Q4=a,AB=b,OC=c,'.?a+方（即。5）在c方向上的

投影等于3、b在c方向上的投影和，即|a+b|cosO=\a\cosOi+\b\cos02

/.Ic|\a+b\cosO=|c\\a\cosO.+|c\\b\cos02,Ac-（a+8）=c-a+ob即:（a

+b)-c-a-c+be

說明：（1）一般地，（a?b）c#a（6?c）

(2)a?c=b?cfcWOaa=b

(3)有如下常用性質(zhì)：a2=?，?2,

(a+b)(。+〃)=a?c+a?d-\-b?c+b?d

5、已知|a|=12,|引=9,M?B=-54后，求五與B的夾角。

6、已知|a|=6,|引=4,w與。的夾角為60°求：(1)(a+2b)?(a-3b).（2）|小?引與

\a-b\.

（利用1。1=后高）

7、已知|a|=3,|Z?|=4,且a與力不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直.

2.4.2平面向董數(shù)量機(jī)的坐褲衰示、稹、夾角

1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即〃?〃=x/2+My2

2、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

（1）設(shè)則|。|2=%2+）,2或g|=+12.

（2）加入表示向量〃的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（%2，%），

那么IQ|=-々）2+（必—%）2（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）

3、向量垂直的判定

設(shè)。二(?，必)，b=(x2,y2)t則。_1人<=>xtx2+y^y2=0

4、兩向量夾角的余弦（0<644）

ab可出+必力

COS0=

5、已知a=(l,V3),b=(A/3+1,V3-1),則a與b的夾角是幾？

分析：為求a與6夾角，需先求a?占及Ial?|加，再結(jié)合夾角。的范圍確定其值.

解：由a=(l,V3),b=(73+1,V3—1)

有a?b=V^+l+Q(g—1)=4,IaI=2,\b\=242.

jr

記a與b的夾角為8,又?：eWn,：.e=—

4

評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定.

6、在△37中，43=(2,3)AC=(1,A),且△放的一個(gè)內(nèi)角為直角，求A值.

—>—-3

解：當(dāng)4=90。時(shí)，ABAC=0,A2X1+3Xk=0：.k=--

2

當(dāng)8=90。時(shí)，AB,BC=0,BC=AC-AB=(1-2,h3)=(-1,狂3)

，2X(-1)+3X(h3)=0：.k=—

—1,3+A/13

當(dāng)C=90。時(shí)，ACBC=0,+A(h3)=0：.k—

25I平面幾何中的向量方法

例1.已知力。為。。的一條直徑，4ABe為圓周角.求證：ZABC=90°.

證明：設(shè)前=%=詬而=上p=w，

AB=AO+OB=。+8BC=a-b.

AB?BC=(a+b)?(a—b)=a—b=0,

??.AB±BC,ZABC=90"

2.5.2向童在物理中的應(yīng)用舉四

1、如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度4500叫一艘船從Z處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的速

度|彳|=10km/h,水流速度|彳|=2km/h,問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是幾（精確到0.1

min)?

A

圖2.5-4

圖2.5-5

解：ItiI=解vi|"一Isl'>/§5(km/h).

所以Z=T^7=--=；X60^3.l(min).

ps/96

答:行駛航程最短時(shí).所用時(shí)間是3.lmin.

第三束；三角懊等究除

3.1.1兩角差的余弦公式

1、兩角和差的余弦公式：cos(a±/8)=cosacosP+sinasin/7

2、利用和、差角余弦公式求cos75°、cos15的值.

解：分析：把75°、15構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.

cos75°=cos(450+30°)=cos45°cos30-sin45°sin30°=—x--—x—=~——

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cos15°=cos(45°-30°)=cos450cos300+sin45°sin30°=旦旦［L衛(wèi)

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