第8章立體幾何5 相關(guān)概念定理命題的判斷-新教材高中數(shù)學(xué)必修（第二冊）常考題型練習

相關(guān)概念定理命題的判斷

【知識總結(jié)】

1、線、面平行的判定定理與性質(zhì)定理:

文字語言圖形語言符號語言

判不在平面內(nèi)的一條直線與

此平面內(nèi)的一條直線平--1IQa]

定

行，則該直線與此平面平aua>n/〃a

定

行（簡記為線線平行今線面L_/I//a.

平行）

直線與平理

面平行

性一條直線與一個平面平

行，則過這條直線的任一a//a

質(zhì)

平面與此平面的交線與該0alib

定直線平行（簡記為線面平行

理臺線線平行）

判aua、

一個平面內(nèi)的兩條相交直

bua

定線與另一個平面平行，則

/^7aC\b=P

定這兩個平面平行（簡記為線

a//P

面平行n面面平行）

理b//p>

平面與平

面平行

性%『

如果兩個平行平面同時和a///3、

質(zhì)

第三個平面相交，那么它(jSyy~~ci=4〃b

定

們的交線平行

理7

2、線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:

X文字語言圖形語言符號語言

判

一條直線與平面內(nèi)的兩條相交a,bua

直

定aC\b=O

直線都垂直，則該直線與此平面

線>=>/_La

定l-La

垂直

與

理

平

面性

垂質(zhì)垂直于同一個平面的兩條直線

>=>〃〃b

直定平行

理

判

平

定一個平面過另一^T*平面的一條/u夕

=>a_Ln

面定垂線，則這兩個平面互相垂直/_L?

與

理

平

性

面兩個平面互相垂直,則一個平面

質(zhì)/u夕

垂內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另

定an°=:a

直

一個平面

理

【鞏固練習】

1、(Db是平面a外的一條直線，下列條件中可得出6口々的是()

A.6與a內(nèi)的一條直線不相交B.b與a內(nèi)的兩條直線不相交

C.b與a內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D.6與a內(nèi)的所有直線不相交

⑵直線/是平面a外的一條直線，下列條件中可推出〃/a的是()

A./與a內(nèi)的一條直線不相交B./與a內(nèi)的兩條直線不相交

C./與a內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D./與a內(nèi)的任意一條直線不相交

【答案】(1)D(2)D

【解析】(1)8是平面a外的一條直線，要使6口1,則b與平面1無公共點，即人與a內(nèi)

的所有直線不相交.故選D

(2)對于選項A,/與平面1內(nèi)的一條直線不相交，則直線/ua、/與a相交以及〃/tz都有

可能，A選項不正確；

對于B選項，/與a內(nèi)的兩條直線不相交，則直線/ua、/與a相交以及〃/a都有可能,

B選項不正確；

對于C選項，若/與。內(nèi)的無數(shù)條平行直線平行時，則/ua或〃/a,C選項不正確；

對于D選項，〃/a,根據(jù)直線與平面平行的定義，可知直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線

都不相交，D選項正確.故選：D.

2.已知兩個不同的平面a,B和兩條不重合的直線m,n,有下列四個說法：

(l)若m〃a,n〃a,則m〃n；(2)若m〃a,n〃a,m,nuB,則&〃8；

(3)若m〃n,nca,則m〃a；(4)若a〃B,mua,則m〃B.

其中正確說法的個數(shù)為個.

【答案】1

【解析】說法(1)中，m/7a,n〃Q,則m〃n或m與n相交或m與n異面，故(1)錯；說法

(2)中，由面面平行的判定定理，當m與n相交時，可得a〃B,故(2)錯；說法⑶中，由

線面平行的判定定理，當m在a外時，可得m〃a,故⑶錯；說法⑷中，由面面平行的性

質(zhì)知，(4)正確，即正確說法只有一個，故填1.

3.下列三個命題在“”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中

/,加為直線，a,〃為平面)，則此條件是.

lUmmuaI.Lm

①加口口卜=/口°；②/□加卜=/口°；③機

【答案】Iaa

【解析】①/〃加，機//an///。或/ua,由

②lya,mua,I//m^l/la-

③/_L機，m1a=111a或Iua,由/n=>Illa.

故答案為：lUa.

4、平面。〃平面少的一個條件是()

A.存在一條直線ma//a,a〃B

B.存在一條直線a,〃ua,a//P

C.存在兩條平行直線〃、b、aua,bu0,a〃.，b//a

D.存在兩條異面直線〃、b,aua,Z?u夕，a//P，b//a

【答案】D

【解析】對于選項A,當a、尸兩平面相交，直線a平行于交線時，滿足要求，故A不對；對于B,兩

平面a、￡相交，當a在平面a內(nèi)且a平行于交線時，滿足要求，但a與,不平行；對于C,同樣在a

與,相交，目a,。分別在a、￡內(nèi)且與交線都平行時滿足要求；故只有D正確，因為a、。異面，故在

B內(nèi)一定有一條直線a'與a平行且與匕相交，同樣，在a內(nèi)也一定有一條直線V與匕平行且與a*皎，

由面面平行判定的推論可知其正確.

5、已知a,￡是兩個不重合的平面，在下列條件中，可確定a〃6的是（）

A.a,4都平行于直線/

B.a內(nèi)有三個不共線的點到￡的距離相等

C./,/w是a內(nèi)兩條直線，且/〃￡,機〃￡

D./,7"是兩條異面直線，旦1〃3,m〃B，I//a,m//a

【答案】D

【?】對選項在6有兩條直線/,“滿足/'/〃，m'tlm,又Ma,mHa,：.r

Ila,m,lla,又/與冊異面，所以?與加相交，所以a〃￡.

6、過平面a外的直線/,作一組平面與a相交，如果所得的交線為a、b、c、…，那么這些

交線的位置關(guān)系為（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一點

C.都相交但不一定交于同一點

D.都平行或交于同一點

【答案】D

【解析】若〃/平面a,則交線都平行；若6平面a=A,則交線都交于同一點A.

【易錯易混】（1）定理中有三個條件：①"〃3②an即b；③au/3.三個條件缺一不

可.

(2)若“〃a,則。平行于a內(nèi)的無數(shù)條直線，但。不能與。內(nèi)所有直線平行.

(1)如果直線?！ㄆ矫鎍,在平面a內(nèi)，除了與直線。平行的直線外，其余的任一直線

都與。是異面直線.

(2)線面平行的性質(zhì)定理的條件有三：①直線。與平面a平行，即〃〃如②平面a、P

相交于一條直線，即an/=b；③直線。在平面廳內(nèi)，即。p.三個條件缺一不可.

(3)線面平行的性質(zhì)定理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想，線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行.

7、已知桃〃是兩條不同的直線，怎乃是兩個不重合的平面，給出下面三個結(jié)論：

①)若a〃/3jnua,nu)3,則〃，口〃；

②若m,nua,m///3,n///3,則a///3；

③若桃〃是兩條異面直線，旦m〃a,m〃B，n//,則。〃夕.

其中正確結(jié)論的序號為()

A.①②B.①③C.②③D.③

【答案】D

【解析】由題意，若?！ㄓ茫琺ua,nu0,則相與〃平行或異面，故①錯誤；

若m，nua,m///3,n///3,則a與6可能平行也可能相交，故②錯誤；

若7",〃是兩條異面直線，且加〃a,m///3,n//a,n///3,則tz〃尸，故③正確.

故正確的結(jié)論只有③，故選D.

8、a,B,丫為三個不重合的平面，a,b,c為三條不同的直線，則有下列說法，不正確

的是()

aDcaDy

?bnc=a〃b；②>=a〃b；

b□上

aQcaDy

>=a〃8④>=>a〃B

pQcpay.

aOcaQv

⑤>a〃a；1=>a〃a

aDcaDy

A.④⑥B.②③⑥

C.②③⑤⑥D(zhuǎn).②③

【答案】C

【解析】

由公理4及平行平面的傳遞性知①④正確.舉反例知②③⑤⑥不正確.②中a,b可以相交,

還可以異面；③中a,B可以相交；⑤中a可以在a內(nèi)；⑥中a可以在a內(nèi)；故選C.

9.平面a與平面，平行的條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)多條直線都與月平行

B.直線aua,0u〃，且a///7,A//tz

C.直線a//a,a//月，且直線a不在a內(nèi)，也不在，內(nèi)

D.一個平面a內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面，

【答案】D

【解析】對于A,a內(nèi)有無數(shù)多條直線都與，平行，則。、分可能相交，A錯;

對于3,直線au。，bu0,且。〃〃，bUa,則。、〃可能相交，B錯;

對于C,直線?？凇??？凇?，且直線a不在a內(nèi)，也不在，內(nèi)，，則。、〃可能相交，C錯；

對于。，一個平面內(nèi)兩條不平行的直線必相交,根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知D正確.

故選D.

11.平面a〃平面，，直線aua,，那么直線a與直線6的位置關(guān)系一定是（）

A.平行B.異面C.垂直D.不相交

【答案】D

【解析】由題平面a〃平面P,直線au。，bu/3

則直線a與直線匕的位置關(guān)系平行或異面，即兩直線沒有公共點，不相交.故選D.

12.設(shè)平面a與平面/相交于直線a,平面，與平面7相交于直線b,則“”是“a///3”

的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.

【答案】必要不充分

【解析】因為平面a與平面7相交于直線平面，與平面/相交于直線b,

若則a〃尸或a與￡相交,即由“。〃0”不能推出“。〃尸”；

若?！āǎ鶕?jù)面面平行的性質(zhì)，即可得出?！ㄈ耍从伞?。〃尸”能推出

故答案為：必要不充分

13、已知a是平面a外的一條直線，過a作平面僅使萬口。，這樣的夕（）

A.只能作一個B.至少有一個C.不存在D.至多有一個

【答案】D

【解析】由題意，直線。是平面a外的一條直線，所以。口?；騛與a相交.

當?？?時，根據(jù)面面平行的判定定理，可得只有一個平面夕，使得分口。，

當。與a相交時，不存在平面夕，使得一口。.故選D.

14、a,b,c為三條不重合的直線，a,（3,7為三個不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個命題:

①若?！╟,c,則?！ㄘ埃?/p>

②若a//Y，b//y,則?！╞；

③若tz〃c,c,則（Z〃尸；

④若a〃7,p//y,則?！ā辏?/p>

⑤若a〃c,a//c,則。口1；

⑥若a〃7，a//y,貝iJaDa.

其中真命題是（填序號）.

【答案】①④

【解析】由題意，根據(jù)平行于同一直線的兩直線是平行的，可知①正確；

兩條直線同時平行于一平面，這兩條直線可能相交、平行或異面，故②錯誤；

兩平面同時平行于一直線，這兩個平面可能相交或平行，故③錯誤；

由平行于同一個平面的兩個平面是平行的，可知④正確；

直線a和平面a同時平行于直線c,則。口1或au。，故⑤錯誤；

直線。和平面a同時平行于平面7,則0口0或auo,故⑥錯誤.

15、設(shè)。、尸為兩個不同平面，若直線/在平面&內(nèi)，則“?！?/”是“/，尸”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】結(jié)合面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

若直線Jua,且由判斷定理得

所以直線lua,且￡可得aLP.即必要性成立.

若a，￡，直線Jua,則直線￡,或直線1//￡,或直線1與平面￡相交，或直線1在平

面￡內(nèi).即充分性不成立.

所以“是“的必要不充分條件.

故選：B.

16.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑;

④正六邊形的兩條邊，那么能保證該直線與平面垂直的是（）

A.①③B.②

C.②④D.①②④

【答案】A

【解析】①③能保證這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，②④中的兩條直線有可

能是平行的.

17、已知a,b,c是直線，a,P是平面，下列條件中，能得出直線a_La的是（）

A.aVb,a_Lc,且匕ua,cuaB.a_Lb,b//a

C.a_L/,a//PD.a//b,b_La

【答案】D

【解析】如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故選

D.

18、己知a,匕是平面1內(nèi)的兩條直線，/是空間中的一條直線.則''直線/La且/1b”

是“Ua”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】/_Lc,a,bua=>"/_La,/_!_b"，反之不一定成立，例如a//b時.

“直線/la且是“/La”的必要而不充分條件.故選：B.

19.如果直線/,“2與平面。，尸，/滿足/=分？/,/口。，mua,mVy,那么必有（）

A.且/_￡mB.aP7且機口小

C.HI口分且D.a〃/?和a_17

【答案】A

【解析】：加鞠/"Zy,：.aLy「：m人y,/3?yI,：.mLI,故選A.

20.設(shè)a,力為兩個不同的平面，7篦，〃為兩條不同的直線，則下列判斷正確的是（）

A.若〃_La,mLa,貝U"?_L"

B.若?！āǎ琺la,則根_L〃

C.若cr_L尸，aC\j3=l,mil,則小_L，

D.若mUa,貝（|九口1

【答案】B

【解析】A選項不正確，根據(jù)垂直于同一個平面的兩個直線平行，可得加口〃；B選項正確，

若（/〃0,則存在aua,Z?ua,acZ?,在平面方內(nèi)存在。'〃。力'〃。,。'八|//,由加_La,

可得〃7_1_。,相」匕=>〃7_1優(yōu),機_1_”,由線面垂直的判定定理可得a_L/?；C選項不正確，

因為根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上“加在平面。內(nèi)或者平行于這個條件，才能

判定機，尸；D選項不正確，直線〃可能在平面戊上.

21、已知a,6是兩條不重合的直線，。，力是三個兩兩不重合的平面，則下列假設(shè)成立的是

（）

A.若a_L〃，則a〃￡

B.若a_L7,丫，。，則a〃〃

C.若m//a,m//P,則a//P

D.若aCl6=/，aua,buB,a_L/,則a_L6

【答案】A

【解析】垂直于同一條直線的兩個平面平行.

22、已知三條相交于一點的線段P4,PB,PC兩兩垂直，尸打，平面ABC于點H,則垂足X

MAABC的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

【答案】C

【解析】'：PA1PB,PA1PC,PBCPC=P,二力1平面PBC,：BCu平面PBC,：.PA1BC.,：PH

1平面HBC,...■PH1BC.又PACPH=P,：.BC_L平面PAff,：.BCL1H.同理可證XBlCff,AC1

BH,為A4BC的垂心.

23、如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，出，底面48C。，且底面各邊都相等，M是PC上

一動點.當點M滿足時，平面平面PCD.（只要填寫一個你認為正確的條

件即可）

題圖答圖

【答案】

【解析】連接.4C,貝”BOJUC.由R41底面.4BCD,可知3O1R4,所以BDj_平面R4C,所以

PC,所以當DMlPC（或3A/J_PC）時，即有PC1平面M8D.而PC平面PCD,所以平面一1以。1平面

PCD.

24、下列命題中錯誤的是（）

A.如果平面a_L平面那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面產(chǎn)

B.如果平面a不垂直于平面那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面￡

C.如果平面aJ_平面丫，平面6_L平面丫，aCB=l,那么/_L平面丫