江蘇省2025屆高三云帆杯8月學情調(diào)研考試數(shù)學試卷（2024.08.07）

2024年云帆杯8月學情調(diào)研考試數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A.10 B. C.5 D.3.已知空間向量，，若,則（）A.4 B.6 C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.7.銳角中，，，，則AB邊上的高CD長為（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足，，記為數(shù)列的前n項和。數(shù)列滿足，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.，C.， D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知函數(shù)，則下列函數(shù)為周期函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.“大鵬曲線”的方程為，其圖像因為形似一只展翅高飛的大鵬而得名。直線與C的交點可能個數(shù)的集合記為，下列選項正確的是（）A.B.C.“”的充要條件是“且”D.“”的充分條件是“，或”11.如圖，平面m與平面n交線為，空間內(nèi)有另一條直線，記，的夾角為，與平面m的夾角為，與平面n夾角為，二面角為，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項式中展開式中x項的系數(shù)為______13.拋物線的焦點為F，A為C上第一象限的一點，B為A在C的準線上的垂足，直線BF在第四象限交拋物線C于點D，若F為BD中點，則______14.已知一正五棱錐，其頂點與各側(cè)棱中點合計11個點。從這11個點中任選4個點，這四個點不共面的概率為______四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）為推進鄉(xiāng)村振興計劃，某鎮(zhèn)通過實地考察當?shù)貭顩r，大力推廣當?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品.為了統(tǒng)計甲村，乙村生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)對甲乙兩村各隨機選取300件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量如下：合格不合格合計甲村27030300乙村29010300合計56040600（1）分析能否有99%的把握認為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？（2）該鎮(zhèn)通過線上平臺對鄉(xiāng)村生產(chǎn)的產(chǎn)品進行售賣，經(jīng)統(tǒng)計，該產(chǎn)品在2024年上半年的月銷量符合正態(tài)分布，鄉(xiāng)鎮(zhèn)人員現(xiàn)從2024年的前6個月中隨機選取三個月的銷量數(shù)據(jù)，其中銷量數(shù)據(jù)不低于290的記為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望。附：，0.10.050.01k2.7063.8416.63516.（15分）已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，求a的最小整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)：）17.（15分）三棱柱中，，，P，Q分別為線段AB，BC上面的點，且，.（1）證明：；（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值.18.（17分）雙曲線的離心率為，等邊三角形ABC的頂點A在y軸上，點BC在即的右支上，當軸時，.（1）求W的方程；（2）設直線BC交y軸于點D，證明：以AD為直徑的圓過定點.19.（17分）設n為正整數(shù)，數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列和均為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“五彩的”（1）判斷下列兩個數(shù)列是否為“五彩的”，并說明理由；①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2 ②無窮數(shù)列，通項公式為（2）若數(shù)列為“五彩的”且嚴格單調(diào)遞增.（i）證明：數(shù)列和公差相等；（ii）證明：數(shù)列一定為等差數(shù)列.

2025年普通高等學校統(tǒng)一招生模擬考試（云帆杯）數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1-4BCCB 5-8ADDD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.ABD 10.BD 11.AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12. 13.2 14.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）解：（1）設零假設：有99%的把握認為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量沒有差異故零假設所不成立所以有99%的把握認為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量有差異（2）由題意，月銷量符合正態(tài)分布則由題意，的取值為0，1，2，3，，，的分布列如下表：0123P數(shù)學期望16.（15分）解：（1）設，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，即故在單調(diào)遞減.（2）即原題等價于有兩個零點，設，當時，，則在定義域單調(diào)遞增，最多有一個零點，與題意不符。當時，令即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當，，，由于有兩個零點，則這等價于①注意到時①式不成立，而時成立，故a的最小整數(shù)值為2.17.（15分）解：（1）過A作BC的平行線AD，且，連接，CD。則有且故四邊形為平行四邊形.且，，又，平面，平面又因為平面，（2）由題意，，，∴由勾股定理知又因為平面DPAQ平面ABCD，DA，DC兩兩垂直，以D點為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。，，，，設為平面的法向量則有，取，則平面的一個法向量為而可以為平面的一個法向量即平面與平面的夾角的余弦值為18.（17分）解：（1）由題知……①當軸時，不妨設直線BC：與雙曲線聯(lián)立知又因為……②又因為A在BC的中垂線上，故……③將③代入①②知，.即雙曲線W方程為：（2）由題意知直線BC的斜率存在，不妨設BC：設，，，直線BC與雙曲線聯(lián)立，取BC中點為P，則易知，，又因為可以設直線AP的方程為：由于為等邊三角形，.設以AD為直徑的圓的圓心為O，則則以AD為直徑的圓的方程為④由于故④化簡得令，解得∴以AD為直徑的圓過定點，證畢。19.（17分）（1）①不是②是證明過程略（2）（i）對正整數(shù)n，設，，其中d，為正整數(shù)，