南京市秦淮區(qū)第一中學2023-2024學年九年級下學期期中數(shù)學試題（含解析）

第34頁/共34頁南京市秦淮區(qū)第一中學2023-2024學年下學期3月階段性復習卷九年級數(shù)學一．選擇題1.9的平方根是（）A. B. C.3 D.2.下列運算結果正確的是（）A. B. C. D.3.若銳角三角函數(shù)tan55°＝a，則a的范圍是（）A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜44.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（）A. B. C. D.5.如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（）A. B. C. D.6.如圖，在等腰直角三角形中，，．點是上一點，，過點作，交于點．則為（）A. B. C. D.二．填空題7.2016年南京實現(xiàn)約10500億元，成為全國第11個經濟總量超過萬億城市，用科學記數(shù)法表示10500是_________．8.分解因式的結果為_____．9.在和中，給出下列條件：①；②；③；④．則從中任取三個條件不能保證的是_____．（填寫序號即可）10.《九章算術》是中國古代數(shù)學著作之一，書中有這樣一個問題：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重．問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只雀的重量為斤，一只燕的重量為斤，則可列方程為________．11.如圖，在四邊形中，，連接對角線，F(xiàn)是對角線上一點，且滿足，連接和，則線段和之間的數(shù)量關系為_____．12.如圖，正方形ABCD的頂點B、C都在直角坐標系的x軸上，AC與BD交于點E，若點D的坐標是，則點E的坐標是______．13.若過點一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）的圖像與一次函數(shù)有交點，則k的取值范圍是______．14.已知實數(shù)a，b滿足，則的最大值為______．15.如圖，為的直徑，，點為上一動點，交于點．如果以，，為邊作三角形，則的取值范圍是______．16.如圖，在中，，，點關于的對稱點為點，點，，分別在，，上，則的最大值為______．三．解答題17.解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出該不等式組的最大整數(shù)解．18.先化簡：后，再選擇一個你喜歡的x值代入求值．19.如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．20.某“雙選”題的四個選項中有兩個正確答案，該題滿分為2分，得分規(guī)則是：選出兩個正確答案且沒有多選任何一個錯誤答案得2分；選出一個正確答案且沒有多選任何一個錯誤答案得1分；不選或所選答案中至少有一個錯誤答案得0分．（1）任選一個答案，得1分的概率是；（2）任選兩個答案，求得2分的概率；（3）如果只能確認四個選項中的某一個答案是正確的，此時的最佳答題策略是．A.只選確認的那一個正確答案B.除了選擇確認的那一個正確答案，再任意選擇剩下的三個選項中的一個C.上述兩種答題策略中任選一個．21.從2021年起，江蘇省高考采用“”模式：“3”是指語文、數(shù)學、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選科，“2”是指在化學、生物、思想政治、地理4科中任選2科．（1）若小麗在“1”中選擇了歷史，在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是________；（2）若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2中選化學、生物的概率．22.有一組數(shù)據(jù)：，，，…，，記，求的值．小明為了解決這個問題，首先將進行化簡，得到，然后根據(jù)化簡后的求出的值．請你根據(jù)小明的思路，先求出，的值，再求的值．23.如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距的觀測點B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD(參考數(shù)據(jù)：，，，，，）24.如圖，，，，，是五邊形的外接圓的切線，則______．請你用兩種不同的方法來求解．25.某企業(yè)接到一批電子產品的生產任務，按要求在30天內完成，約定這批電子產品的出廠價為每件70元．該企業(yè)第x天生產的電子產品數(shù)量為y件，y與x滿足如下關系式：（1）求該企業(yè)第幾天生產的電子產品數(shù)量為400件；（2）設第x天每件電子產品的成本是Р元，P與x之間的關系可用下圖中的函數(shù)圖像來表示．若該企業(yè)第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元？26.（1）如圖④，直線l與相切于點A，B是l上一點，連接，C是上一點．若的半徑r是與的比例中項，請用直尺和圓規(guī)作出點C．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖⑤，A是外一點，以為直徑的交于點B、C，與交于點D，E為直線上一點（點E不與點B、C、D重合），作直線，與交于點F，若的半徑是r，求證：r是與的比例中項．27.如圖，在?ABCD中，，，，點E為CD上一動點，經過A、C、E三點交BC于點F．【操作與發(fā)現(xiàn)】當E運動到處，利用直尺與規(guī)作出點E與點F；保留作圖痕跡在條件下，證明：．【探索與證明】點E運動到任何一個位置時，求證：；延伸與應用】點E在運動的過程中求EF的最小值．南京市秦淮區(qū)第一中學2023-2024學年下學期3月階段性復習卷九年級數(shù)學一．選擇題1.9的平方根是（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義計算即可．【詳解】解：，∴9的平方根為．故選：A．【點睛】本題考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2.下列運算結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪的運算性質以及完全平方公式進行判斷即可．【詳解】解：A．，故原選項計算錯誤，不符合題意；B．，故原選項計算錯誤，不符合題意；C．，故原選項計算正確，符合題意；；D．，故原選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了冪的運算和完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵．3.若銳角三角函數(shù)tan55°＝a，則a的范圍是（）A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4【答案】B【解析】【詳解】分析：首先明確tan45°=1，tan60°=，再根據(jù)正切值隨著角的增大而增大，進行分析解答即可．詳解：∵tan45°=1，tan60°=，∴1＜tan55°＜，∴1＜tan55°＜2.故選B點睛：本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，利用特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性是解決這類題目的基本思路.4.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖象，根據(jù)平行四邊形的性質即可解答．【詳解】如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∵，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中求點的坐標，及平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．5.如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，根據(jù)圓周角定理求得，再由三角形的外角性質即可得出結論．【詳解】解：如圖，作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，是正六邊形，，，，，A、B、C、D四個選項中，只有A選項符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形外接圓，圓周角定理，三角形的外角的性質，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．6.如圖，在等腰直角三角形中，，．點是上一點，，過點作，交于點．則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過E作于F，求得是等腰直角三角形，證明，可得，即，由，即得，從而利用可求解．【詳解】解：過E作于F，如圖：∵，，，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，而，∴，∴，即，∴，∴，而，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質及應用，涉及三角形相似的判定與性質，解題的關鍵是利用，結合是等腰直角三角形求出的長．二．填空題7.2016年南京實現(xiàn)約10500億元，成為全國第11個經濟總量超過萬億的城市，用科學記數(shù)法表示10500是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的含義進行解得即可．【詳解】解：；故答案為．【點睛】本題考查的是科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．8.分解因式的結果為_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為；．9.在和中，給出下列條件：①；②；③；④．則從中任取三個條件不能保證的是_____．（填寫序號即可）【答案】【解析】【分析】要使的條件必須滿足、、、，可據(jù)此進行判斷．【詳解】解：如圖：若取，滿足，能證明；若取，不能證明；若取，滿足，能證明；若取，滿足，能證明；故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是關鍵10.《九章算術》是中國古代數(shù)學著作之一，書中有這樣一個問題：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重．問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只雀的重量為斤，一只燕的重量為斤，則可列方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)五只雀、六只燕共重一斤可得，根據(jù)互換其中一只，恰好一樣重可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：設一只雀的重量為斤，一只燕的重量為斤，由題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．11.如圖，在四邊形中，，連接對角線，F(xiàn)是對角線上一點，且滿足，連接和，則線段和之間的數(shù)量關系為_____．【答案】或【解析】【分析】分當點F在左下角時，當點F在右上方時，兩種情況構造等邊三角形，建立手拉手模型，從而證明，再利用勾股定理即可得到結論．【詳解】解：①如圖，當點F在左下角時，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，將線段繞點C順時針旋轉得到線段，連接，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．②如圖所示，當點F在右上方時，作等邊三角形，連接．同理可證，∴．∵，∴，作交的延長線于點M，在中，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴．故答案為：或．【點睛】悲痛主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，旋轉的性質等等，正確作出輔助線構造手拉手模型是解題的關鍵．12.如圖，正方形ABCD的頂點B、C都在直角坐標系的x軸上，AC與BD交于點E，若點D的坐標是，則點E的坐標是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)D的坐標和C的位置求出，，根據(jù)正方形性質求出OB，即可求出答案．【詳解】解：過點E作軸于點F，的坐標是，B、C在x軸上，，，四邊形ABCD是正方形，，，在x軸的負半軸上，，為BD中點，，，，，．故答案為．【點睛】考查了正方形的性質和坐標與圖形性質，解此題的關鍵是求出DC、OC、OB的長度，題目比較好，難度不大．13.若過點的一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）的圖像與一次函數(shù)有交點，則k的取值范圍是______．【答案】或且【解析】【分析】先求解與坐標軸的交點坐標，再求解“當過，時，當過，時”的函數(shù)解析式，再結合圖象可得答案．【詳解】解：如圖，∵，∴當時，，當時，，∴，，而，當過，時，∴，解得：，當過，時，∴，解得：，一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）的圖像與一次函數(shù)有交點，則k的取值范圍是或且；故答案為：或且．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的交點問題，理解題意，畫出圖形，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．14.已知實數(shù)a，b滿足，則的最大值為______．【答案】22【解析】【分析】將化簡可得，將代入化簡結果可得原式，將兩邊加上，得到，根據(jù)平方的非負性解出的取值范圍，即可解答．【詳解】解：將代入得：原式，將兩邊加上，得：，即，，，即，，原式的最大值為22．故答案為：22．【點睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性質，根據(jù)完全平方公式得出的取值范圍是解題的關鍵．15.如圖，為的直徑，，點為上一動點，交于點．如果以，，為邊作三角形，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】連接，設，根據(jù)勾股定理用含的式子表示、，再根據(jù)三角形的三邊關系，列出不等式求解即可．【詳解】解：連接，設，直徑，，，，，，為邊作三角形，則，，解得：，的取值范圍是．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的三邊關系，解不等式，熟練掌握知識點并運用方程思想是解題的關鍵．16.如圖，在中，，，點關于的對稱點為點，點，，分別在，，上，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】如圖，連接、，過點作于點，利用對稱的性質可得，從而得到，要求的最大值，即求的最小值，由垂線段最短可得的最小值為，然后利用銳角三角函數(shù)求得，問題即可得到解決．【詳解】解：如圖，連接、，過點作于點，∵點關于的對稱點為點，∴垂直平分，∴，∵在中，，，∴，，∴，∴要求的最大值，即求的最小值，∵線段表示上一點到上一點的距離，又∵，∴的最小值為，在中，，，∴，∴的最小值為，即∴，∴，即的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱的性質，平行四邊形的性質，垂直平分線的性質，垂線段最短，銳角三角函數(shù)等知識點，運用了轉化的思想．將問題轉化為求的長是解題的關鍵．三．解答題17.解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出該不等式組的最大整數(shù)解．【答案】，圖見解析，最大整數(shù)解為1．【解析】【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解集，然后確定這個范圍內的最大整數(shù)解即可．【詳解】解：∵由得：，由得：，∴原不等式組解集是：，解集在數(shù)軸上表示為：其整數(shù)解為，0，1，故該不等式組的最大整數(shù)解為1．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．關鍵在于根據(jù)數(shù)軸寫出不等式的解集．18.先化簡：后，再選擇一個你喜歡的x值代入求值．【答案】，1【解析】【分析】先用分式的四則混合運算法則,把原式化為最簡分式,再把使原分式有意義的x的值代入求值.【詳解】解：=====.當x=1時,原式===1.19.如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)角平分線性質與平行線性質證明∠CDF=∠ABE，再根據(jù)平行四邊形性質證出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．【詳解】（1）∵∠ABD的平分線BE交AD于點E，∴∠ABE=∠ABD，∵∠CDB的平分線DF交BC于點F，∴∠CDF=∠CDB，∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CDF=∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，∠A=∠C，即，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四邊形DFBE是矩形．考點：1.平行四邊形的性質和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性質和判定20.某“雙選”題的四個選項中有兩個正確答案，該題滿分為2分，得分規(guī)則是：選出兩個正確答案且沒有多選任何一個錯誤答案得2分；選出一個正確答案且沒有多選任何一個錯誤答案得1分；不選或所選答案中至少有一個錯誤答案得0分．（1）任選一個答案，得1分的概率是；（2）任選兩個答案，求得2分的概率；（3）如果只能確認四個選項中的某一個答案是正確的，此時的最佳答題策略是．A.只選確認的那一個正確答案B.除了選擇確認的那一個正確答案，再任意選擇剩下的三個選項中的一個C.上述兩種答題策略中任選一個．【答案】（1）（2）（3）A【解析】【分析】（1）直接利用概率公式進行計算即可；（2）設四個選項分別為A、B、C、D，其中A、B為正確選項，再列表展示所有6種等可能的結果數(shù)，找出所占的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式進行計算即可；（3）易得只選確認的那一個正確答案可得1分，再計算除了選擇確認的那一個正確答案，再任意選擇剩下的三個選項中的一個所得的分數(shù)，然后比較兩個的得分，即可確認最佳答題策略．【小問1詳解】解：四個選項中有兩個正確答案，任選一個答案，得1分的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：不妨設四個選項分別為A、B、C、D，其中A、B為正確選項，列表如下：共有6種等可能的結果，其中占一個結果數(shù)，所以得2分的概率為，故答案為：；【小問3詳解】解：只選確認的那一個正確答案，則可得1分；若除了選擇確認的正確答案A，再從B、C、D中任意選擇剩下的三個選項中的一個，則再選正確答案的概率為，選錯誤答案的概率為，所以此時得分為：，所以此時的最佳答題策略是只選確認的那一個正確答案．故答案為：A．【點睛】本題考查了利用列表法或樹狀圖求概率及概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖求概率的方法是解題的關鍵．21.從2021年起，江蘇省高考采用“”模式：“3”是指語文、數(shù)學、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選科，“2”是指在化學、生物、思想政治、地理4科中任選2科．（1）若小麗在“1”中選擇了歷史，在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是________；（2）若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2中選化學、生物的概率．【答案】（1）；（2）圖表見解析，【解析】【分析】(1)小麗在“2”中已經選擇了地理，還需要從剩下三科中進行選擇一科生物，根據(jù)概率公式計算即可．（2）小明在“1”中已經選擇了物理，可直接根據(jù)畫樹狀圖判斷在4科中選擇化學，生物的可能情況有2種，再根據(jù)一共有12種情況，通過概率公式求出答案即可．【詳解】（1）；（2）列出樹狀圖如圖所示：由圖可知，共有12種可能結果，其中選化學、生物的有2種，所以，（選化學、生物）．答：小明同學選化學、生物的概率是．【點睛】本題考查了等可能概率事件，以及通過列表法或畫樹狀圖法判斷可能情況概率，根據(jù)概率公式事件概率情況，解題關鍵在于要理解掌握等可能事件發(fā)生概率．22.有一組數(shù)據(jù)：，，，…，，記，求值．小明為了解決這個問題，首先將進行化簡，得到，然后根據(jù)化簡后的求出的值．請你根據(jù)小明的思路，先求出，的值，再求的值．【答案】，【解析】【分析】通過探索數(shù)字變化的規(guī)律進行分析計算．【詳解】解：∵，又∵，∴，∴，∵，∴．∴，的值為【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，分式的加減運算，運用了裂項求和的思想．探索數(shù)字變化的規(guī)律是解題關鍵．23.如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距的觀測點B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD(參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】20km【解析】【分析】過點作，垂足為，通過解和得和，根據(jù)求得DH，再解求得AD即可．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理．作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．24.如圖，，，，，是五邊形的外接圓的切線，則______．請你用兩種不同的方法來求解．【答案】180，求解見解析【解析】【分析】解法1：連接，，，和，根據(jù)切線的性質及等腰三角形的性質，即可求解；解法2：連接，，，和，作直徑，連接，根據(jù)切線的性質及圓周角定理，即可求解【詳解】解法1：如圖：連接，，，和，，，，，是五邊形的外接圓的切線，，，，，，，，，，；解法2：如圖：連接，，，和，作直徑，連接，是五邊形的外接圓的切線，，，，是的直徑，，，，，，，，同理，，，，，，故答案為：180．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，多邊形的內角和公式，作出輔助線是解決本題的關鍵．25.某企業(yè)接到一批電子產品的生產任務，按要求在30天內完成，約定這批電子產品的出廠價為每件70元．該企業(yè)第x天生產的電子產品數(shù)量為y件，y與x滿足如下關系式：（1）求該企業(yè)第幾天生產的電子產品數(shù)量為400件；（2）設第x天每件電子產品的成本是Р元，P與x之間的關系可用下圖中的函數(shù)圖像來表示．若該企業(yè)第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元？【答案】（1）第20天；（2）第19天時，利潤最大，最大值為15210元【解析】【分析】（1）根據(jù)求得x即可；（2）先根據(jù)函數(shù)圖象求得P關于x的函數(shù)解析式，再結合x的范圍分類討論，根據(jù)“總利潤=單件利潤×數(shù)量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質求得最值即可．【詳解】解：（1）若，則，與不符，∴，解得，符合，故第20天生產了400件電子產品；（2）由圖像得，當時，；當時，設，把，代入得，，解得，∴．分三種情況：①當時，，當時，w有最大值，最大值為8600（元）；②當時，，當時，w有最大值，最大值為15050（元）；③當時，，當時，w有最大值，最大值為15210（元）．綜上，第19天時，利潤最大，最大值為15210元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函