2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)育英學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)育英學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共8小題，每小題3分。共24分）1．（3分）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：13．（3分）關(guān)于的敘述正確的是（）A．在數(shù)軸上不存在表示的點(diǎn) B． C． D．與最接近的整數(shù)是44．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則線段OA的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．35．（3分）下列條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD∥BC C．AB∥CD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B＝∠D6．（3分）估計(jì)的值應(yīng)該在（）A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則AC邊上的高BD的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．58．（3分）如圖，在?ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值是（）A．4 B． C． D．3二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）9．（2分）要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10．（2分）命題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的逆命題是．11．（2分）如圖，在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)觀湖亭，為測(cè)定它們之間的距離．小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為50米，則A，B之間的距離應(yīng)為米．12．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交CD和AB于點(diǎn)E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么圖中陰影部分的面積為．13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為．14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，則＝．15．（2分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．16．（2分）圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，設(shè)AB＝4，則圖中陰影部分面積為．三、解答題：（本大題共10小題，第17題8分，第18-21題每小題8分，第22-25題每小題8分，17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．19．（5分）如圖，在?ABCD中，M，N是AD，BC上的兩點(diǎn)且DM＝BN，連接CM，AN．請(qǐng)寫出線段CM和AN的關(guān)系，并證明．20．（5分）已知，如圖點(diǎn)M為∠BAC的邊上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)N為∠BAC內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，連接MN，在∠BAC的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵設(shè)計(jì)的一種尺規(guī)作圖過(guò)程．①連接AN；②作線段AN的垂直平分線m，交AN與點(diǎn)O；③連接MO，并延長(zhǎng)MO至P，使得PO＝MO；則點(diǎn)P即為所求．根據(jù)小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形．（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：連接AP、PN，∵直線m為線段AN的垂直平分線，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四邊形AMNP為平行四邊形（填推理依據(jù)），∴∠APN＝∠AMN（填推理依據(jù)）．21．（5分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，請(qǐng)標(biāo)出頂點(diǎn)位置，并判斷△ABC形狀為三角形．22．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，已知CD＝6，AD＝10．請(qǐng)判斷線段AD和BD的大小，并說(shuō)明理由．23．（6分）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E．使BE＝AB，連接BF、CE．（1）求證：BF∥EC；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的長(zhǎng)．24．（6分）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16∵∴將這①②兩式相加可得解得x＝﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是原方程的解．請(qǐng)你學(xué)習(xí)小明的方法，解下列方程：（1）方程的解是（直接寫出答案）；（2）解方程．25．（6分）在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果．例如，比較和的大小．我們可以把a(bǔ)和b分別平方．∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：（1）比較，的大?。?）猜想之間的大小，并證明．（3）化簡(jiǎn)＝（直接寫出答案）．26．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定線段MN和圖形F，給出如下定義：平移線段MN至M'N'，使得線段M'N'上的所有點(diǎn)均在圖形F上或其內(nèi)部，則稱該變換為線段MN到圖形F的平移重合變換，線段MM'的長(zhǎng)度稱為該次平移重合變換的平移距離，其中，所有平移重合變換的平移距離中的最大值稱為線段MN到圖形F的最大平移距離，最小值稱為線段MN到圖形F的最小平移距離．如圖1，點(diǎn)A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）（1）①在圖1中作出線段OA到線段PQ的平移重合變換（任作一條平移后的線段O'A'）；②線段OA到線段PQ的最小平移距離是，最大平移距離是．（2）如圖2，作等邊△PQR（點(diǎn)R在線段PQ的上方），①求線段OA到等邊△PQR最大平移距離．②點(diǎn)B是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，線段OB的長(zhǎng)度為1，線段OB到等邊△PQR的最小平移距離的最大值為，最大平移距離的最小值為．

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)育英學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共8小題，每小題3分。共24分）1．（3分）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、＝|b|，被開方數(shù)中含能開得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2．（3分）在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根據(jù)以上結(jié)論即可選出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，即∠A和∠C的度數(shù)相等，∠B和∠D的度數(shù)相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．3．（3分）關(guān)于的敘述正確的是（）A．在數(shù)軸上不存在表示的點(diǎn) B． C． D．與最接近的整數(shù)是4【分析】直接利用的性質(zhì)，分別分析得出答案．【解答】解：A、在數(shù)軸上存在表示的點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、與最接近的整數(shù)是，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確掌握實(shí)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則線段OA的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：OA＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．5．（3分）下列條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD∥BC C．AB∥CD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B＝∠D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定（①有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，②有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）判斷即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)AB＝CD，AD∥BC可能得出四邊形是等腰梯形，不一定推出四邊形ABCD是平行四邊形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形的判定定理有：①有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，②有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．6．（3分）估計(jì)的值應(yīng)該在（）A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間【分析】先利用乘法分配律，進(jìn)行計(jì)算，然后再估算出的值，即可解答．【解答】解：＝3×﹣×＝3﹣3，∵25＜27＜36，∴5＜＜6，∴5＜3＜6，∴2＜3﹣3＜3，∴估計(jì)的值應(yīng)該在2到3之間，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，估算無(wú)理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則AC邊上的高BD的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【分析】過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理計(jì)算出底邊上的高AE的長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，再以AC為底，利用三角形的面積計(jì)算出AC邊上的高BD即可．【解答】解：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝CB＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴△ABC的面積為?BC?AE＝×6×4＝12，∴?AC?BD＝12，5×BD＝12，解得BD＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形底邊上的高和中線重合．8．（3分）如圖，在?ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值是（）A．4 B． C． D．3【分析】找出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DQ交AC于P，則DQ就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：在?ABCD中，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACD，∴AD＝DC，∴?ABCD是菱形，連接DQ交AC于P，連接DB，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD＝PB，∴PQ+PB＝PQ+PD＝DQ，即DE就是PB+PQ的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，當(dāng)DQ⊥AB時(shí)，DQ的值最小，此時(shí)AQ＝BQ，在Rt△ADE中，DQ＝＝2．∴PB+PE的最小值為2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）9．（2分）要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥3．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣3≥0，再求出答案即可．【解答】解：要使二次根式有意義，必須x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案為：x≥3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，能熟記二次根式有意義的條件（式子中a≥0）是解此題的關(guān)鍵．10．（2分）命題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的逆命題是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【分析】把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論互換就可得到它的逆命題．【解答】解：“平行四邊形對(duì)角線互相平分”的條件是：四邊形是平行四邊形，結(jié)論是：四邊形的對(duì)角線互相平分．所以逆命題是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．11．（2分）如圖，在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)觀湖亭，為測(cè)定它們之間的距離．小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為50米，則A，B之間的距離應(yīng)為100米．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝100（米），故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交CD和AB于點(diǎn)E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么圖中陰影部分的面積為7．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進(jìn)而可求出結(jié)果．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴S△DEO＝S△BOF，∴陰影部分面積等于△ACD的面積，即為?ABCD面積的一半，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥CD于點(diǎn)P，∵CD＝AB＝7，∠DAB＝60°，∴CP＝3.5，BP＝，∴S平行四邊形ABCD＝CD?BP＝，∴陰影部分面積為7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為3﹣4或3+4．【分析】當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝3，當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BP＝6，BC＝6，∴CP＝＝＝3，∴AP＝CP﹣AC＝3﹣4；當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BP′＝6，BC＝3，∴CP′＝3，∴AC+CP′＝4+3，綜上所述，線段AP的長(zhǎng)為3﹣4或3+4；故答案為：3﹣4或3+4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，則＝+2．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)可得b+1＝0，a﹣2＝0，則b＝﹣1，a＝2，將原式化簡(jiǎn)為+，代入計(jì)算即可．【解答】解：＝+，∵+|a﹣2|＝0，∴b+1＝0，a﹣2＝0，∴b＝﹣1，a＝2，∴+＝+2．故答案為：+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是4．【分析】結(jié)合數(shù)軸得出：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，故a﹣b＜0，a+2＞0，b﹣2＜0，則＝b﹣a+a+2+2﹣b＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．16．（2分）圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，設(shè)AB＝4，則圖中陰影部分面積為16+8．【分析】設(shè)小直角三角形的較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為a，較小直角邊長(zhǎng)為b，根據(jù)題意求出b的值，再根據(jù)圖形表示出陰影部分的面積即可求解．【解答】解：設(shè)小直角三角形的較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為a，較小直角邊長(zhǎng)為b，則a﹣b＝4，∵直角三角形的一個(gè)銳角為30°，∴a＝b，∴b＝2+2，由圖②可知，陰影部分的面積＝[]×4＝2b2＝2（2+2）2＝16+8，故答案為：16+8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共10小題，第17題8分，第18-21題每小題8分，第22-25題每小題8分，17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的除法和乘法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+2＝6；（2）原式＝2+3+2﹣＝2+3+2﹣＝4+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．【分析】根據(jù)x＝+1，y＝﹣1，可以得到xy和x+y的值，然后將所求式子變形，再將xy和x+y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴xy＝1，x+y＝2，∴+＝＝＝＝＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．19．（5分）如圖，在?ABCD中，M，N是AD，BC上的兩點(diǎn)且DM＝BN，連接CM，AN．請(qǐng)寫出線段CM和AN的關(guān)系，并證明．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，根據(jù)線段的和差求出AM＝CN，進(jìn)而推出四邊形ANCM是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：CM＝AN，CM∥AN，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DM＝BN，∴AM＝CN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴CM＝AN，CM∥AN．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（5分）已知，如圖點(diǎn)M為∠BAC的邊上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)N為∠BAC內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，連接MN，在∠BAC的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵設(shè)計(jì)的一種尺規(guī)作圖過(guò)程．①連接AN；②作線段AN的垂直平分線m，交AN與點(diǎn)O；③連接MO，并延長(zhǎng)MO至P，使得PO＝MO；則點(diǎn)P即為所求．根據(jù)小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形．（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：連接AP、PN，∵直線m為線段AN的垂直平分線，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四邊形AMNP為平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（填推理依據(jù)），∴∠APN＝∠AMN平行四邊形對(duì)角相等（填推理依據(jù)）．【分析】（1）按照要求作圖即可．（2）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得答案．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：連接AP、PN，∵直線m為線段AN的垂直平分線，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四邊形AMNP為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∴∠APN＝∠AMN（平行四邊形對(duì)角相等）．故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對(duì)角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的作法是解答本題的關(guān)鍵．21．（5分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，請(qǐng)標(biāo)出頂點(diǎn)位置，并判斷△ABC形狀為等腰直角三角形．【分析】先找到A，B，C的位置，再判斷三角形形狀．【解答】解：如圖：∵AB＝AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝10+10＝20，BC2＝20，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的判定，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是求解本題的關(guān)鍵．22．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，已知CD＝6，AD＝10．請(qǐng)判斷線段AD和BD的大小，并說(shuō)明理由．【分析】先判斷，然后根據(jù)勾股定理可以求得AE、BE和BD的長(zhǎng)，然后即可判斷AD和BD的大小．【解答】解：AD＜BD，理由：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，CD＝6，∴DE＝DC＝6，∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠DEB＝90°，∴AE＝＝＝8，在△DCB和△DEB中，，∴△DCB≌△DEB（AAS），∴BC＝BE，設(shè)BC＝x，則AB＝x+8，∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即（10+6）2+x2＝（x+8）2，解得x＝12，即BE＝12，∴BD＝＝＝6，∵10＜6，∴AD＜BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23．（6分）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E．使BE＝AB，連接BF、CE．（1）求證：BF∥EC；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，且AB＝DC，再證CF＝BE，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理推出四邊形BECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H．解直角三角形得到BH＝CB＝2，CH＝2，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∵F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝CD，又∵BE＝AB，∴CF＝BE，∵CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形，∴BF∥EC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H．在?ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∴∠CBE＝∠A＝60°．∵AB＝6，AD＝4，∴CD＝AB＝6，CB＝AD＝4，在Rt△BCH中，∠BCH＝90°﹣∠CBE＝30°，∴BH＝CB＝2，∴CH＝＝＝2，由（1）可知，四邊形BECF是平行四邊形，∴BE＝CF＝CD＝3，∴EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，在Rt△CHE中，根據(jù)勾股定理得：CE＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（6分）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16∵∴將這①②兩式相加可得解得x＝﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是原方程的解．請(qǐng)你學(xué)習(xí)小明的方法，解下列方程：（1）方程的解是x＝（直接寫出答案）；（2）解方程．【分析】（1）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（+）（﹣）＝4，則可得到﹣＝1，再利用加減法得到2＝5，然后解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程即可；（2）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（﹣）（+）＝12x，則+＝6x，再利用加減法得到＝3x+1，然后解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程即可．【解答】解：（1）∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝x+6﹣（x+2）＝4，而+＝4①，∴﹣＝1②，①+②得2＝5，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝是原方程的解；故答案為：；（2）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9x2+8x﹣3﹣（9x2﹣4x﹣3）＝12x，而﹣＝2①，∴+＝6x②，①+②得2＝6x+2，即＝3x+1，兩邊平方得9x2+8x﹣3＝9x2+6x+1，解得x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程：解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解．在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法；用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來(lái)消去方程中的根號(hào)）來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．25．（6分）在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果．例如，比較和的大?。覀兛梢园補(bǔ)和b分別平方．∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：（1）比較，的大小．（2）猜想之間的大小，并證明．（3）化簡(jiǎn)＝（直接寫出答案）．【分析】（1）利用平方法，通過(guò)比較c2與d2的大小得到c與d的大?。唬?）先計(jì)算出m2和n2的平方得到m2＝26+4，n226+4，然后比較與的大小得到m與n的大??；（3）利用完全平方公式表示原式變形為＝+2，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到原式＝|﹣1|+2+2，接著進(jìn)行討論：當(dāng)1≤p≤2時(shí)，原式＝1﹣+2+2；當(dāng)p＞2時(shí)，原式＝﹣1+2+2，最后合并即可．【解答】解：（1）∵c＝4，d＝2，∴c2＝（4）2＝32，d2＝（2）2＝28，∵32＞28，∴c＞d；（2）m＜n．理由如下：∵m＝2+，n＝2+，∴m2＝（2+）2＝20+4+6＝26+4，n2＝（2+）2＝12+4+14＝26+4，∵4＜4，∴m2＜n2，∴m＜n；（3）＝+2＝+2＝+2＝|﹣1|+2|+1|＝|﹣1|+2+2，∵p﹣1≥0，∴p≥1，當(dāng)1≤p≤2時(shí)，原式＝1﹣+2+2＝+3；當(dāng)p＞2時(shí)，原式＝﹣1+2+2＝3+1，綜上所述，原式＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．（8分