數(shù)列專題一等差數(shù)列知識點

數(shù)列專題一等差數(shù)列知識點第一篇：數(shù)列專題一等差數(shù)列知識點數(shù)列專題一等差數(shù)列知識點——等差、等比數(shù)列是重要的、基本的數(shù)列，許多其它數(shù)列要轉(zhuǎn)化成這種數(shù)列來處理，要站好這塊地盤一、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1．定義：an1and(常數(shù))(nN*)2．通項公式：ana1(n1)d，推廣：anam(nm)dd=ana1aam，d=n是點列（n，an）所在直線的斜率.n1nmddn(a1an)n(n1)na1dn2(a1)n2222變式：由于“mnpq,則amanapaq”，所以只要有pqn1，3．前n項的和：Sn則nan12224.等差中項：若a、b、c等差數(shù)列，則b為a與c的等差中項:2b=a+cSnn(apaq)，特別的，當n為奇數(shù)時，Sn5．性質(zhì):設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d,則(1)mnpq,則amanapaq(2)an,anm,an2m,組成公差為md的等差數(shù)列.(3)Sn,S2nSn,S3nS2n,組成公差為n2d的等差數(shù)列.6．等差數(shù)列的判定方法(n∈N*)(1)定義法:an+1-an=d是常數(shù)(2)等差中項法:2an1anan2(3)通項法:ana1(n1)d(4)前n項和法:SnAn2Bn7．a(chǎn)1,d,n,an,Sn知三求二,可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個基本量;或利用數(shù)列性質(zhì),三數(shù):ad,a,ad；四數(shù)：a3d,ad,ad,a3d8.會從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問題，等差數(shù)列性質(zhì)：單調(diào)性①當d0時，數(shù)列ana1(n1)d單調(diào)遞增，前n項的和Sn有最小值；②當d0時，數(shù)列ana1(n1)d單調(diào)遞減，前n項的和Sn有最大值；③當d0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列；④|an|的性質(zhì)。第二篇：數(shù)列四等差數(shù)列1、（2009湖北卷文）已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式：（Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝{bn}的前n項和Sn2、（重慶市重慶八中2011屆高三第四次月考理）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a11,an（1）求數(shù)列{an}的通項公式an;s11s22Snn2(n1),(nN).*b12b22b32...bn2n(n為正整數(shù))，求數(shù)列snn（2）是否存在正整數(shù)n使得....求出n值；n12011？若存在，若不存在，說明理由．3、（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列{an}中，a1bn1an(nN)．13，并且對任意nN,n2都有anan1an1an成立，令（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；ann（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項和Tn．4、（江蘇泰興市重點中學(xué)2011屆）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，cnanan1nN（1）判斷數(shù)列cn是否是等差數(shù)列，并說明理由；（2）如果a1a3a25130,a2a4a2614313kk為常數(shù)數(shù)列cn的通項公式；（3）在（2）的條件下，若數(shù)列cn得前n項和為Sn，問是否存在這樣的實數(shù)k，使Sn當且僅當n12時取得最大值。若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。，試寫出數(shù)列四大題練習(xí)第三篇：等差數(shù)列知識點精英輔導(dǎo)學(xué)校楊景勛專用2011年12月16日星期五（一）等差數(shù)列I1、等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005則n=_____2、等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10-a12的值為______3、等差數(shù)列{an}中，a1=-5，前11項的平均值為5，若從中抽出一項，余下的10項的平均值為4，則抽取的（一）等差數(shù)列II等差數(shù)列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是數(shù)列的前n項和，則（）A、S44、正項等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，有（）A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全國卷I）設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一個等差數(shù)列共10項；其中奇數(shù)項的和為125，偶數(shù)項的和為15，則第6項是_____7、已知數(shù)列{an}前四項為-1，3，-6，10，則{an}的一個通項式為_______________8、等差數(shù)列a-d，a，a+d的一個通項公式是____________9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為14的等差數(shù)列，則|m-n|=_______10、等差數(shù)列{an}中，若a1=25，從第10項開始小于1，則公差d的范圍是________11、（2006全國卷II）已知等差數(shù)列{an}中，a2=7,a4=15，則前10項的和S10=_______12、一個等差數(shù)列{an}中前4項和為40，最后4項的和為80，所有項和210，求項數(shù)n.13、等差數(shù)列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，問數(shù)列的前多少項之和最大，并求出最大值。3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d的取值范圍；②指出S1，S2…S12中哪一個值最大，說明理由。）4、（2004年重慶考試卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003?a2004<0，則使前n項和S>0成立的最大自然數(shù)n是（A、4005B、4006C、4007D=40085、（2004年福建卷試卷）若a5Sa=5，則求939S=_______56、（2001年上?？荚嚲恚┰O(shè)數(shù)列的通項為an=2n-7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=______n7、已知公差d>0，首項a1>0，Sn=1，則i1aiai1limSn=________n8、（2006北京卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn，（1）若a11=0，S14=98，求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項公式。/1）第四篇：等差數(shù)列數(shù)列練習(xí)題一、選擇題35241.已知為等差數(shù)列，1A.-1B.1C.3D.7aaa105,aaa699，則a20等于（）2.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知a23，a611，則S7等于()A．13B．35C．49D．633.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=6，a1=4，則公差d等于5C.-2D334.已知an為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,則公差d＝A．1B11C.D.2225.若等差數(shù)列{an}的前5項和S525，且a23，則a7()A.－2B.－A.12B.13C.14D.156.在等差數(shù)列an中，a2a84,則其前9項的和S9等于（）A．18B27C36D97.已知{an}是等差數(shù)列，a1a24，a7a828，則該數(shù)列前10項和S10等于（）A．64B．100C．110D．1208.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a11，S420，則S6（）2A．16B．24C．36D．489.等差數(shù)列an的前n項和為Sx若a21,a33,則S4＝（）A．12B．10C．8D．610.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9（）A．63B．45C．36D．2711.已知等差數(shù)列{an}中，a7a916,a41,則a12的值是（）A．15二、填空題B．30C．31D．6412.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S1221，則a2a5a8a1113.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S972,則a2a4a9=14.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a55a3則S9S515.等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且6S55S35,則a4已知等差數(shù)列{an}的公差是正整數(shù)，且a3a712,a4a64，則前10項的和S1016.三、解答題17.在等差數(shù)列an中，a40.8，a112.2，求a51a52a80.18、設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a312，S12>0，S13<0，①求公差d的取值范圍；②S1,S2,,S12中哪一個值最大？并說明理由.19、設(shè)等差數(shù)列{an}的前ｎ項的和為Sn,且S4=－62,S6=－75,求：（1）{an}的通項公式an及前ｎ項的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.20.已知等差數(shù)列{an}中，a3a716,a4a60求{an}前n項和sn.1第五篇：等差數(shù)列知識點解讀等差數(shù)列一、學(xué)習(xí)目標：等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項和求法。*1.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項公式；解：依題意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．因此，所求通項公式為bnSn-3n2n。2．設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為3．已知等差數(shù)列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a1a3a913．a(chǎn)2a4a1016【考點梳理】1.在解決等差數(shù)列問題時，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三個，可求其余兩個。2.補充的一條性質(zhì)s奇n1）項數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列有：ssana中，s2n1(2n1)ans偶n1奇偶sa2）項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an1an1and（定義）2an1anan23.等差數(shù)列的判定：{an}為等差數(shù)列anAnB（關(guān)于n的“一次函數(shù)”）SAn2Bn（缺常數(shù)項的“二次函數(shù)”）n即：｛an｝an1and(d為常數(shù)）2anan1an1(n2,nN*)anknbsnAn2Bn；4.三個數(shù)成等差可設(shè)：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；四個數(shù)成等差可設(shè)：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差數(shù)列與函數(shù)：1）等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點（n,an）均勻排列在一條直線上，由兩點確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項可以確定一個等差數(shù)列.k=d=ana1aam，d=n，由此聯(lián)想點列（n，an）所在直線的nmn1斜率.2）點(n,Sn)在沒有常數(shù)項的二次函數(shù)Snpn2qn上。其中，公差不為0.6.等差數(shù)列前n項和最值的求法（結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解）1）若等差數(shù)列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通項an，則Sn最大an0；a0n1q的非零自然數(shù)時Sn最大；2p2）若等差數(shù)列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，則當n取最靠近（?。┤粢阎梐n，則Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，則當n取最靠近q的非零自然數(shù)時Sn最小。2p題型1等差數(shù)列的基本運算例1在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．82a1aa14d103解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130．a(chǎn)a44d908451d3aaaa88方法2dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．nm4515332A212A12B84(2)不妨設(shè)Sn＝An＋Bn，∴2B1720A20B460∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)∴15＝1即a1＝－5而d＝613222618(aa)∴a8＝a6＋2d＝16S8＝1844又S6＝變式訓(xùn)練1設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列{的前n項和，求Tn.解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+Sn}nn（n－1）d.∵S7=7，S15=75，27a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴數(shù)列{n}是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為.n1n2n2129∴Tn=n－n.44∴小結(jié)與拓展：基本量的思想：常設(shè)首項、公差及首項，公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等。等差數(shù)列中，已知五個元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個，便可求出其余兩個.題型2等差數(shù)列的判定與證明*例2已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n項和為Sn，且a3＝5，S6＝36.求數(shù)列{an}的通項公式；解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列，設(shè){an}的首項為a1，公差為d，a1＋2d＝5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.6a1＋15d＝36變式訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.設(shè)bn＝n－1，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；nan＋12an＋2ann證明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．小結(jié)與拓展：證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法是：1）利用定義，證明an－an－1（n≥2）為常數(shù)；2）利用等差中項，即證明2an=an－1+an+1（n≥2）.題型3等差數(shù)列的性質(zhì)例3設(shè)等差數(shù)列an的首項及公差均是正整數(shù)，前n項和為Sn，且a11，a46，nanS312，則a2010答案：4020變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，則等差數(shù)列{an}的前13項的和S13＝________.答案：52解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8∴S13＝＝＝52.222小結(jié)與拓展：解決等差（比）數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：①基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d（q）的方程；②巧妙運用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡.題型4等差數(shù)列的前n項和及最值問題例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，S3，?，S12中哪一個最大，并說明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13