高考大題訓(xùn)練(數(shù)列教師版)共47題王斌高考總復(fù)習(xí)高考最后沖刺

高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)名師講解希望大家高考順利1.（2010山東理）（18）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以有，解得，所以?=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。2.(2009山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，,則相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2009全國(guó)卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由，．．．①則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②②－①得又，是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．，評(píng)析：第（I）問(wèn)思路明確，只需利用已知條件尋找．第（II）問(wèn)中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．總體來(lái)說(shuō)，09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國(guó)I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。4.（2009湖北卷文）已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55,a2+a7(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn解（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得將其代入②得。即（2）令兩式相減得于是=-4=.5．（2008四川卷）．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式解由題意知，且兩式相減得即①（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由①知于是又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，即當(dāng)時(shí)，由由①得因此得.6．（2008湖北）.已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類討論的思想，考查綜合分析問(wèn)題的能力和推理認(rèn)證能力，（滿分14分）（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列.(Ⅱ)解：因?yàn)閎n+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(λ+18),所以當(dāng)λ＝－18，bn=0(n∈N+),此時(shí)｛bn｝不是等比數(shù)列：當(dāng)λ≠－18時(shí)，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<當(dāng)a<b3a時(shí)，由－b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn7.（江蘇泰興市重點(diǎn)中學(xué)2011屆）（16分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）如果，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，若數(shù)列得前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。答案3．解：（1）設(shè)的公差為，則 數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列…………4分（2） 兩式相減： …………6分 …………8分 …………10分（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大 …………12分 即 …………15分.8．（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2011屆高三文理）已知數(shù)列的首項(xiàng)（是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。（1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的最小項(xiàng).（提示：當(dāng)時(shí)總有）答案14．（14分）解：（1）∵∴(n≥2)由得，，∵，∴，即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當(dāng)n≥2時(shí)，∵是等比數(shù)列,∴(n≥2)是常數(shù)，∴，即。（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為或；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為或；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為。9.(四川省綿陽(yáng)市2010年4月高三三診文科試題)（本小題滿分12分）數(shù)列{an}中，a1=1，且an+1=Sn（n≥1，n∈N*），數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（I）由已知有，即，∴{Sn}是以S1=a1=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴Sn=．由得……………4分∵b3，b7+2，3b9成等比數(shù)列，∴(b7+2)2=b3·3b9，即(1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d)，解得d=1或d=(舍)，∴．…………7分（II）Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×20+3×21+…+n×，設(shè)T=2×20+3×21+…+n×，∴2T=2×21+3×22+…+n×，相減得-T=2+21+22+…+-n·，即T=(n-1)·，∴Tn=1+(n-1)·(n∈N*)．……………12分10.（池州市七校元旦調(diào)研）在數(shù)列中，,（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得=11.（三明市三校聯(lián)考）（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（為正整數(shù)）（Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，.②由①-②，得..又，，解得.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（為正整數(shù)）……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由題意可知，對(duì)于任意的正整數(shù)，恒有，.數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，必有，即實(shí)數(shù)的最大值為1………………（13分）12．（安慶市四校元旦聯(lián)考）（本題滿分16分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有；⑴求常數(shù)的值；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1）由及，得：（2）由①得②由②—①，得即：由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是（3）由，得：13.（祥云一中二次月考理）（本小題滿分12分）在數(shù)列（1）（2）設(shè)（3）求數(shù)列解（1）（2）證法一：對(duì)于任意=，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.證法二：（等差中項(xiàng)法）（3）由（2）得，，即設(shè)則兩式相減得，整理得，從而14．（2009濱州一模）已知曲線過(guò)上一點(diǎn)作一斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)，點(diǎn)列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中．（I）求與的關(guān)系式；（II）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）若（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。解：過(guò)的直線方程為聯(lián)立方程消去得∴即（2）∴是等比數(shù)列，;（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．ⅰ。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ<（）n－1恒成立．又（）n－1的最小值為1．∴λ<1． 10分ⅱ。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ>－（）n-1恒成立，又－（）n－1的最大值為－，∴λ>－． 11分即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數(shù)，∴λ＝－1，使得對(duì)任意n∈N*,都有． 12分.15．（2009臺(tái)州市第一次調(diào)研）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和.（Ⅰ）求證：;（Ⅱ）記，為的前n項(xiàng)和，求的值.解：（1）由①，得②，②-①得：. 4分（2）由求得. 7分∴， 11分∴. 14分16.（2009上海青浦區(qū)）設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，一般地，（）．（1）求；（2）求；（3）求和：．（1）；……3分（2）當(dāng)時(shí)，（），……6分所以，（）．……8分（3）與（2）同理可求得：，……10分設(shè)=，則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得，所以．……14分17.（2009廣州一模）已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，且a1=1.(1)求證：數(shù)列{an－×2n}是等比數(shù)列；(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)(1)證法1：∵an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，∴……2分由an+an+1=2n，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.……4分證法2：∵an，an+1是關(guān)于x的方程x2－2nx+bn=0(n∈N*)的兩根，∴……2分∵，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.……4分(2)解：由(1)得，即，∴……6分∴Sn=a1+a2+a3+…+an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+(－1)2+…+(－1)n]，……8分要使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，即對(duì)任意n∈N*都成立.①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，即，∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.……10分①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，即，∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.……10分②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，即，∵2n－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.……12分綜上所述，存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).……14分.18．（2009廣東三校一模）,是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)記=,求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：(1)由.且得2分,4分在中,令得當(dāng)時(shí),T=,兩式相減得,6分.8分(2),9分,,10分=2=,13分14分19．（2009江門一模）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列，，．⑴求、；⑵對(duì)，試比較、的大??；⑶設(shè)的前項(xiàng)和為，是否存在常數(shù)、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：⑴由，得-------1分由且得----2分所以，-------4分⑵顯然，時(shí)，；時(shí)，，，-------5分時(shí)，-------6分-------7分因?yàn)?、，所以時(shí)，-------8分⑶-------9分，恒成立，則有-------11分，解得，-------12分，-------13分所以，當(dāng)，時(shí)，恒成立-------14分.20．（2009汕頭一模）在等比數(shù)列｛an｝中，an＞0(nN＊），公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2aa3與as的等比中項(xiàng)為2。（1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)最大時(shí)，求n的值。解：（1）因?yàn)閍1a5+2a3a5+a2a8＝25，所以，+2a3a5+＝25又an＞o，…a3＋a5＝5，…………2分又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，所以，a3a5＝4而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，…………6分（2）bn＝log2an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，所以，{bn}是以4為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列。。。。。。。。。9分所以，所以，當(dāng)n≤8時(shí)，＞0，當(dāng)n＝9時(shí)，＝0，n＞9時(shí)，＜0，當(dāng)n＝8或9時(shí)，最大?！?2分21．（2009深圳一模文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且對(duì)任意正整數(shù),點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說(shuō)明理由.（Ⅲ）求證：.解：(Ⅰ)由題意可得：①時(shí),②……1分①─②得，……3分是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，………………4分（Ⅱ）解法一:………………5分若為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列,………………6分得………………8分又時(shí)，，顯然成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.………………9分解法二:………………5分……………7分欲使成等差數(shù)列,只須即便可.……………8分故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.………………9分（Ⅲ）……10分…………11分…………12分又函數(shù)在上為增函數(shù)，，…………13分，．………14分22.（2009龍巖一中）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，有．（I）求、的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)；(Ⅲ)記，證明，對(duì)任意，.解（Ⅰ）時(shí)，，由已知，得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，同理………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：?！?分證明：①時(shí)，命題成立；②假設(shè)當(dāng)與時(shí)成立，即，?！?分于是，整理得：，……………5分由歸納假設(shè)得：，…6分因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即當(dāng)時(shí)命題仍成立。綜上：由知①②知對(duì)于，有成立．………………7分(Ⅲ)證明：由③得④③式減④式得⑤…9分⑥⑤式減⑥式得…11分…………13分則．……………………14分23.（2009常德期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足且．（１）求的通項(xiàng)公式；（２）求證：數(shù)列為等比數(shù)列;（３）求前n項(xiàng)和的最小值．解：(1)由得,……2分∴……4分(2)∵,∴,∴;∴由上面兩式得,又∴數(shù)列是以-30為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.…8分(3)由(2)得，∴=，∴是遞增數(shù)列………11分當(dāng)n=1時(shí),<0；當(dāng)n=2時(shí),<0；當(dāng)n=3時(shí),<0；當(dāng)n=4時(shí),>0，所以,從第4項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于0,故前3項(xiàng)之和最小.且…………13分24.（2010江蘇卷）19、（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。[解析]本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：，，化簡(jiǎn)，得：，當(dāng)時(shí)，，適合情形。故所求（2）（方法一），恒成立。又，，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對(duì)滿足題設(shè)的，，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。25.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足－=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問(wèn)>的最小正整數(shù)是多少?解（1）,,,.又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列，，所以；又公比，所以；又,,；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，，當(dāng)，；()；（2）；由得，滿足的最小正整數(shù)為112.26.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得=評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。.27．（2009江蘇卷）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)椋?，即，又由得，解得?(2)（方法一）=,設(shè)，則=,所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。28.（2009山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記證明：對(duì)任意的，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，,則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式..29．(2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。解（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，，..又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。（2）假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜想也成立綜合（1）（2）可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)30.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；解（I）當(dāng)時(shí)，又∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)∴∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立?！?分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.31．（四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2011屆高三10月文）（12分）數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的，總有成等差數(shù)列，又記。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，并求使Tn＞對(duì)都成立的最大正整數(shù)m的值。答案6．解：（1）∵，相減得，∴（2）∴Tn==∵＞1∴＞∴最小值∴＞∴＜10∴最大正整數(shù)=932.（四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2011屆高三10月文）（14分）設(shè)，且有唯一解，，。（1）求實(shí)數(shù)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，記，求的前n項(xiàng)和。答案7．解：（1）∴有唯一解∴（2）∴∴∴（3），又∴∵∴33.（浙江省吳興高級(jí)中學(xué)2011屆高三文）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求使成立的的最大值.答案9．解：（Ⅰ）由題意得，則所以…………………5分又所以………7分（Ⅱ）因?yàn)樗浴?分則所以得……14分所以使成立的的最大值為9.…15分34.（河北省唐山一中2011屆高三理）已知數(shù)列滿足=-1，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，.（3）求證：當(dāng)時(shí)，答案12.解：（1）由題意，即………………4分（2）當(dāng)時(shí)，平方則疊加得……8分（3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)命題成立假設(shè)時(shí)命題成立，即當(dāng)時(shí)，=即時(shí)命題也成立綜上，對(duì)于任意，………………12分35.（福建省四地六校聯(lián)考2011屆高三文）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，（I）求證數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求.答案14．(本小題滿分12分)證明：（I）由得即……………4分是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列……………6分（II）由（I）得…………12分36.（廣東省惠州市2010屆高三第三次調(diào)研理科）（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，.（1）寫出的值（只寫結(jié)果）并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）∵∴……………2分當(dāng)時(shí)，，∴，∴…5分當(dāng)時(shí)，也滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為…6分（2）…8分令，則，當(dāng)恒成立∴在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，……………11分要使對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則須使，即，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍為…14分另解：∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，∴37.（四川省自貢市2010屆高三三診理科試題）（本小題滿分14分） 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意，都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和。 （I）求證：； （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （III）若（為非零常數(shù)，），問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解：(Ⅰ)證明：在已知式中，當(dāng)時(shí)，＝，∵＞0，∴＝1，……(1分)當(dāng)時(shí)，+++…+＝①+++…+＝②①－②得＝………(2分)∵＞0，∴＝，即＝2－∵＝1適合上式，………(3分)∴＝2－（）………(4分)(Ⅱ)解由(Ⅰ)知＝2－（）③當(dāng)時(shí)，④………(5分)③－④得－－+＝+……(6分)∵+＞0，∴－＝1………(7分)∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得＝………(8分)（Ⅲ）解∵＝，∴＝，………(9分)∴=2·……(10分)若，則⑤當(dāng)＝2，時(shí)，⑤式即為⑥依題意，⑥式對(duì)都成立，∴＜1；………(12分)當(dāng)＝2，時(shí)，⑤式即為⑦依題意，⑦式對(duì)都成立∴＞－∴－＜＜1，又≠0，∴存在整數(shù)＝－1，使得對(duì)任意，都有?！?14分)38.（馬鞍山學(xué)業(yè)水平測(cè)試）（本題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有（1）求常數(shù)的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1）由及，得：……………………3分（2）由①得②由②—①，得即：由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即……6分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是……………7分（3）由，得：……………………9分………………12分39.（岳野兩校聯(lián)考）(本題滿分13分)已知數(shù)列中，，．且k為等比數(shù)列，(Ⅰ)求實(shí)數(shù)及數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若為的前項(xiàng)和，求；(Ⅲ)令數(shù)列｛｝前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意，都有＜3.【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，，即，故時(shí)……………1分有，而……2分，從而……4分(Ⅱ)記則相減得：…………7分……………9分(Ⅲ)……11分時(shí)，……12分而……13分40.（祥云一中月考理）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，…．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（Ⅰ），，，又，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，……………6分．………………7分設(shè)…，①………………8分則…，②……9分由①②得…，…………10分．又…．…………11分41.（祥云一中二次月考理）（本小題滿分12分）、已知是正整數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為對(duì)任何正整數(shù)，等式都成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)比較的大小.解(1)當(dāng)時(shí)，由解得當(dāng)，解得即因此，數(shù)列是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列。，即；數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），令，則上兩式相減：即.（3），.的值最大，最大值為0，因此，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，42.（2009杭州高中第六次月考）已知數(shù)列中，（1）求的值；（2）求證：（3）求的值．（1）------------------------4分（2）由可得 ------------------------6分 所以-------