2024屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)梳理

專題01常用邏輯用語(yǔ)

1、四種命題的真假關(guān)系

①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有的真假性.

②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性

例如：BtGRt2—2t-a<0是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

2、充分條件、必要條件與充分必要條件的概念

若pnq,則"是q的___________條件，q是2的—______條件

p是q的—___________________條件pAq且q0p

p是q的—___________________條件p=>q且q￡p

p是q的—___________________條件poq

p是q的—____________________條件p臺(tái)q且qbp

3、含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題命題的否定

Vx￡M,p(x)

3xo￡M,p(xo)—

4、真值表中“2且q”全真,一假“2或q”全假一真

5、“或”“且”聯(lián)結(jié)詞的否定形式："2或q”的否定是“"；

“P且q”的否定是“

專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)單調(diào)性：（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)八幻的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)

定義

自變量的值XI,X2

當(dāng)X1VX2時(shí)，都有________,那么就說當(dāng)X1<X2時(shí)，都有_________,那么就說函

函數(shù)人防在區(qū)間。上是增函數(shù)數(shù)7（X）在區(qū)間。上是減函數(shù)

（2）函數(shù)單調(diào)性的兩種等價(jià)形式設(shè)任意xi,X2^［a,/且xi〈X2,那么

①"?。┮?加OQO）在5句上是增函數(shù)；

—黑2

②fg）-f（xz）0Q"）在加上是減函數(shù).

X±—X2

③（XI—X2）［/（X1）—/（X2）］>O經(jīng)/（x）在［。，上是函數(shù)；

④y（X2）］V0u^a）在［a,加上是函數(shù).

2.討論分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意的函數(shù)值.

3.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)八工）的定義域內(nèi)任意一個(gè)工,都

偶函數(shù)有__________,關(guān)于一____對(duì)稱

那么函數(shù)而0是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)兀￥）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都

奇函數(shù)關(guān)于一______對(duì)稱

有_____________,那么函數(shù)人乃是奇函數(shù)

4.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)如果一個(gè)奇函數(shù)人x)在原點(diǎn)x=0處有定義，即10)有意義，那么一定有式0)=.

(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有的單

調(diào)性.

5.有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論

①若函數(shù)y=*x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=?x)關(guān)于對(duì)稱.

若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=?r)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

②若fix)=fi2a—x),則函數(shù)於)關(guān)于____________對(duì)稱；

若火。+x)=/(a—x),則函藪於)關(guān)于對(duì)稱.

若fi2a+x)=X—x),則函數(shù)人》)關(guān)于對(duì)稱.

③若?x)+火2。-x)=0,則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

若?x)+式2。-x)=2b，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱?

若次a+x)+j(a—x)=2b,則函數(shù)兀r)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

(即括號(hào)內(nèi)和定體現(xiàn)對(duì)稱性)

6.函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),

都有4%+7)=兀0,那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.

①若"x+a)=/a+6),則函數(shù)人x)的周期為T=.

②若在定義域內(nèi)滿足次x+a)=—/(x),則函數(shù)_/(x)的周期為T=

③若在定義域內(nèi)滿足次x+a)=—於)，則函數(shù)/U)的周期為T=

④若在定義域內(nèi)滿足次x+a)/x)=k(k為常數(shù))函數(shù)人x)的周期為T=

⑤若在定義域內(nèi)滿足兀1+。)=六，則函數(shù)九x)的周期為T=

⑥若在定義域內(nèi)滿足於+a)火x)=l函數(shù)加)的周期為T=

⑦若在定義域內(nèi)滿足；(x+a)=—六(a>0),則函數(shù);(x)的周期為7=

⑧若在定義域內(nèi)滿足於+a)於尸k(k為常數(shù))函數(shù)於)的周期為丁=

⑨若在定義域內(nèi)滿足人x+a)?x+O)=k(k為常數(shù))函數(shù)火x)的周期為T=

⑩若在定義域內(nèi)滿足"x+a)Mx+")=k(k為常數(shù))函數(shù)/(x)的周期為T=

(即括號(hào)內(nèi)差定體現(xiàn)周期性)

7.對(duì)稱性與周期的關(guān)系：

(1)若函數(shù)於)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)#x)的周期為7=，

(2)若函數(shù)於)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(40)對(duì)稱，則函數(shù)/U)的周期為T=,

(3)若函數(shù)加0的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=6對(duì)稱，則函數(shù)兀0的周期為T=

8.掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)

(1)函數(shù)為函數(shù)，函數(shù)“x)=〃-q-x為函數(shù)；

6rx-Qx層了一1

(2)函數(shù)次%)=為十x=0+](。>。且存1)為函數(shù)；

b—x

(3)函數(shù)式x)=log用G為函數(shù)；

(4)函數(shù)/%)=10ga(、/?TliX)為函數(shù).

9.一元二次不等式恒成立的條件

⑴“小+fec+cXX存0)恒成立”的充要條件是.

(2)“加+fcc+c〈0(存0)恒成立”的充要條件是.

(3)。次x)恒成立QaN,空/㈤恒成立=aW.

(4)a豕x)有解=。之,a^x)有解=。4.

10.募函數(shù)圖象的性質(zhì)a<0,在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞的.

a>0,y=都在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞的.

1K.(1)怖=[n為盤⑵(缶廣—___(注意a必須使彷有意義).

In為偶數(shù)，

12.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<a<la>l

圖象

定義域：__________

值域：____________

過定點(diǎn)__________

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，_____________；當(dāng)x>0時(shí)，____________；

當(dāng)x<0時(shí)，_____________當(dāng)x<0時(shí)，_____________

在R上是_____函數(shù)在R上是_____函數(shù)

13.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①alogW=;②logaqN=0>0,且存1)；③零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則(a>0,且分1,M>0,N>0)

①log。(跖TV)=；

M

②log%=

③lOga〃"=("GR).

⑶對(duì)數(shù)的重要公式

①換底公式：logW=a,人均大于零且不等于1)；

②log/=

(4)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：ax=N^x=

(5)對(duì)數(shù)運(yùn)算的一些結(jié)論：

n

(T)logamb=(2)logaZ?-logfttZ=,?\ogabAogbcAogcd=

14.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=logaXa>l0<a<l

圖象

定義域

值域

過點(diǎn)________,即x=____時(shí)，y=______

當(dāng)X>1時(shí)，________；當(dāng)X>1時(shí)，________；

性質(zhì)當(dāng)0<%<1時(shí)，_________.當(dāng)0<%<1時(shí)，_________.

在(0,十◎上是___函數(shù)在(0,+oo)上是—函數(shù)

導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

⑴定義：稱函數(shù)尸危)在x=xo處的瞬時(shí)變化率〃黑-"久°)=]西生為函數(shù)7=兀0在x=xo處的

導(dǎo)數(shù)，記作了(xo)或y|x=xo,

即片硼=眄充=皿刈>。+,力⑹

(2)幾何意義：函數(shù)兀0在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)/(xo)的幾何意義是在曲線y=?x)上點(diǎn)處

的,相應(yīng)地，切線方程為

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

?=c(c為常數(shù))尸(x)=_____________

_Ax)=y(〃?Q*)/(x)=_____________

fix)—sinx尸(X尸_____________

fix)=cosX/(x)=_______________

J(x)=ax(〃>0且〃彳1)尸(X)二_____________

外)=e*尸(X尸_____________

J(x)=logax(x>0,a>0且存1)/(x)=______________

J(x)=lnx(x>0)尸(X)二______________

3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(D[/(x)±g(x)y=.

(2)[Ax>g(x)Y=.

[f(%)"I

(3)Lr(^rj,=(gQN°)?

4.⑴含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法

?a>f(X)在X?。上能成立，則<2>/(X)min；

@a<f(x)在Xe￡)上能成立，則tz</(x)max.

⑵含全稱、存在量詞不等式能成立問題

①存在X1?A,任意X2?3使兀￥1)泌(X2)成立，則Hx)max漣(x)max；

②任意X1GA,存在X2?_8,使兀n)Ng(X2)成立，則y(X)min*(x)min.

5.常見構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種類型

(1)出現(xiàn)/(X)+4’(X),構(gòu)造E(x)=

(2)出現(xiàn)了(x)-n''(X),構(gòu)造E(x)=

(3)出現(xiàn)/(x)+f(x),構(gòu)造/(x)=

(4)出現(xiàn)/(x)-f'(x),構(gòu)造F(x)=

(5)對(duì)于不等式/(x)+g，⑴>0,構(gòu)造函數(shù)"x)=

(6)對(duì)于不等式r(x)—g，㈤>0,構(gòu)造函數(shù)"x)=

特別地，對(duì)于不等式尸。)>左，構(gòu)造函數(shù)"x)=,

(7)對(duì)于不等式r(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

(8)對(duì)于不等式r(x)g(x)—/(x)g0:)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

(9)對(duì)于不等式xf'(x)+nf(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.

(10)對(duì)于不等式r(x)+軟x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.

6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)丁=①/),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為即y對(duì)x的

導(dǎo)數(shù)等于—的導(dǎo)數(shù)與

7.求曲線)=式幻的切線方程

若已知曲線y=/(x)過點(diǎn)P(xo，泗)，求曲線過點(diǎn)P的切線方程.

(1)當(dāng)點(diǎn)P(xo,泗)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為

(2)當(dāng)點(diǎn)P(xo,")不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步完成：

第一步：設(shè)出第二步：寫出;

第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(xo,yo)代入切線方程求出；

第四步：可得過點(diǎn)P(x。，加)的切線方程.

8.函數(shù)大幻在某個(gè)區(qū)間(用田內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系

(1)若尸(x)>0,則Xx)在這個(gè)區(qū)間上是的；

(2)若尸(x)<0,則人x)在這個(gè)區(qū)間上是的；

(3)若/(x)=0,則人勸在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是.

9、f，(x)>0與式x)為增函數(shù)的關(guān)系

r(x)>0能推出兀0為增函數(shù)，但反之不一定?如函數(shù)八%)=%3在(一co,+oo)上是增函數(shù)，但尸(x)N0,

所以/(x)>0是1x)為增函數(shù)的條件.

10、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

⑴求;(2)在定義域內(nèi)解不等式；

⑶根據(jù)結(jié)果確定五x)的單調(diào)區(qū)間.

11、與單調(diào)性有關(guān)的結(jié)論

⑴可導(dǎo)函數(shù)八》)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為(或)

問題，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，要注意“=''是否取至U.

⑵可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為（或）在該區(qū)間

上，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題.

⑶若已知而0在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出五X）的單調(diào)區(qū)間，令/是其單調(diào)區(qū)

間的—，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

⑷若已知兀0在［a,匕］上不單調(diào)，可轉(zhuǎn)化為.

12、對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)4%），/（xo）=O是函數(shù)?c）在x=xo處有極值的條件.

13、若函數(shù)人外在開區(qū)間（a,份內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)

f'（x）的點(diǎn)

專題03三角函數(shù)與三角恒等變換

知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：

角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為無軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊（除端點(diǎn)外）

在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

（3）所有與角a終邊相同的角，構(gòu)成的角的集合是S=｛用囚=左360。+%kGZ］.

2、弧度制

定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|。|=:（弧長(zhǎng)用1表示）

角a的弧度數(shù)公式

①?！?/p>

角度與弧度的換算1180g1rad—Q)

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

11

扇形面積公式S=]/r=引創(chuàng)產(chǎn)?

知識(shí)點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）,那么

定義

》叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa初做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號(hào)

III一一+

IV—+—

N01斗(助八認(rèn)沛(L0)_

三角函數(shù)線

有向線段“尸為正弦線有向線段0M為余弦線有向線段AT為正切線

知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、平方關(guān)系：sin2a+cos2ot=l.

2、商數(shù)關(guān)系：=tan/+kit，%￡Z).

CObCX、乙y

3、基本關(guān)系式的幾種變形

(1)sin2a=1—cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

(3)sina=tanacos《期配+爭(zhēng)AGZ).

4、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

71

角2E+a(%￡Z)兀+。~a7i—a匹]+_La

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana—tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

確定函數(shù)名：奇變偶不變。確定符號(hào)：符號(hào)看象限(角的象限)

注意：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍,

變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-份cos(?—yS)=cosacos￡+sinasinp

C(a+.)cos((z+4)=cosacos^—sinasin夕

S(a-份sin(?—yff)=sinacos^—cosocsin^

S")sin(a+份=sinacos夕+cosasin夕

tana—tan§

tan(aB)[+tan函口p，

T(a-0

變形：tana-tan夕=tan(a一份(1+tanatanP)

tana+tan

tan(a+W)——tanatan/

T(a+0

變形：tana+tanJ3=tan(a+/S)(l—tanatan份

.TT

【注意】在公式T(a坳中a,B，。土我都不等于fai+](%￡Z),即保證1211。一@11￡,12113必者8有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2。=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a；

C2a+1+cos2a,1—cos2a

：cos9a2，sin9ex?

與2tana

T2atan2Q—.2

1—tanot

3、輔助角公式

一般地，函數(shù)y（a）=asina+bcosa（a,b為常數(shù)）可以化為y（a）=/i^Psin（a+9）（其中tan0=，

專題04解三角形

一、正弦定理

(1)正弦定理

①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

②符號(hào)語(yǔ)言：在人鉆0中，若角A、3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b及c,

a_b_c

貝。有sinAsinBsinC

(2)正弦定理的推廣及常用變形公式

在AABC中，若角A、3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b及c,其外接圓半徑為R,則

，=上=上=2R

①sinAsinBsinC

②asin5=Z?sinA.Z?sinC=csinB.asinC=csinA.

③sinA:sin5:sinC=a:b:c

a_b_c_a+b+c_a+b_a+c_b+c

④sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化)

,“a.b.「c

sinA=——sinB=——sinC=——

⑥2R,2R,2R(可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化)

二、余弦定理

（1）余弦定理

①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

②符號(hào)語(yǔ)言：在A"。中，內(nèi)角AB。，所對(duì)的邊分別是名"°,則:

a2=b2+c2-26ccosA.b2=a2+c2-2QCCOSB/二4+/一2abeosC

（2）余弦定理的變形

a2+c2-b1a+b2-c2

cosAJ、JcosB=--------------cosC=--------------

2bc.2ac2ab

三、面積公式

三角形面積的計(jì)算公式:

S=—absinC=—acsinB=—bcsinA

222

專題05平面向量

一、向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作|4冽.

（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.。與任意向量平行.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.（同向或者反向）

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.（等大同向）

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.（等大反向）

二'向量的線性運(yùn)算（向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算）

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

廠丁

①交換律

a+b-b+a

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

②結(jié)合律

a〃

3+〃)+C=Q+3+C)

首尾相連：三角形法則

共起點(diǎn)：平行四邊形法則

減一個(gè)向量等于加上它

減法ci—b=Q+(―Z?)

的相反向量（轉(zhuǎn)化加法）

a

三角形法則

\Aa\=]A\\a\

向量的數(shù)乘：九14(/za)=

求實(shí)數(shù)2與向量4

數(shù)乘(2+=Xa+jua

的積的運(yùn)算當(dāng)4>0時(shí)，勿與。的方向相同；

當(dāng)；1<0時(shí)，Aa與a的方向相反；丸(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)彳=0時(shí)，Aa=0

注：①向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

②兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直

線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(2)向量的三角形不等式

由向量的三角形法則，可以得到

①當(dāng)a力不共線時(shí)，|。+切<|。|+|6；

②當(dāng)同向且共線時(shí)，。+仇。/同向，則|a+6|=|a|+|6|；

③當(dāng)a力反向且共線時(shí)，若|。|>|切，則a+6與a同向，|a+/=|aH切；若1。1<1。1，則a+b與6同向，

\a+b\^b\-\a\.

三、向量共線定理和性質(zhì)

(1)共線向量定理

如果a=/lb(XeR),則a//6；反之，如果a//6且人力0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)2,使。=勿.

(2)三點(diǎn)共線定理

若A、B、C三點(diǎn)共線o存在唯一的實(shí)數(shù)幾，使得AC=2AB

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得OC=(1-/1)04+202

o存在實(shí)數(shù)尢〃，使0c=彳。4+〃。8,其中2+4=1,O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

(3)中線向量定理

在△ABC中，若點(diǎn)。溟邊BC的中點(diǎn)，則中線向量AD=g(AB+4C),反之亦正確.

四、平面向量的數(shù)量積

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與」,我們把數(shù)量|a||5|cos。叫做a與斐的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作“?/>,即a=|聞cos。.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)投影向量

設(shè)a,5是兩個(gè)非零向量，如圖(1)(2),次表示向量a,彷表示向量方，過點(diǎn)A作時(shí)所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)4.

上述由向量a得到向量Ct的變換稱為向量a向向量b投影，向量況1稱為向量a在向量b上的投影向量.

b

=|a|cos。血.

圖⑴圖⑵

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)X,貝!J：①ab=ba；?(2a)-b=A(ab)=a-(2ft)；(3)(a+byc=ac+bc.

(4)數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)Q、)都是非零向量，e是與〃方向相同的單位向量，。是。與e的夾角，則

@e-a=a-e=\a\cos0.

②a_Lboa?5=0.

③當(dāng)。與力同向時(shí)，ab^a\\b\；當(dāng)Q與)反向時(shí)，a-b=-\a\\b\.

特別地，a?a=|Q『或|a|=Naa.

④cosO=,(|a||ft0).

⑤|a?川日a||6|.

【常用結(jié)論】

兩個(gè)向量a,6的夾角為銳角F仍＞。且a,?不共線；

兩個(gè)向量a,B的夾角為鈍角u?為＜0且a,6不共線

五'平面向量基本定理(力的分解)

如果e；,e；是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4，使

a=,稱4弓+402為《滓？的線性組合.

①其中q,02叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；

②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量q,e；的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.

這說明如果a=4弓+%e2且，那么4=4'，4=4’.

③當(dāng)基底e；,e；是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平

面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

六'平面向量的坐標(biāo)表示

(1)正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

(2)平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、J作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向

量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使得a=xz'+9.這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由

唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x,y),x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a

在y軸上的坐標(biāo).把a(bǔ)=(x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示.

(3)---對(duì)應(yīng)：向量。=(x,y)―一對(duì)應(yīng)■向量OA―對(duì)應(yīng)?點(diǎn)A(x,y).

七'平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算

已知向量。=(芯,％),b=(x2,y2),則，①。土人=(尤［土尤2，X±%).②彳。=(彳尤1，2%).

(2)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量a=(x”M),b=(x2,y2),6為向量。、。的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=yja'a|a|=次+_/

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0ab-xrx2+y{y2

八ab…”一把2

夾角cose=-----

Hl網(wǎng)"x；+y；-/x；+￡

a_L6的充要條件ab=0Xi9+%為=°

。〃力的充要條件a-AbCbw0)元以一%x=0

\a-b\^a\\b\

|a.川與|a||Z>|的關(guān)系1%9+yty2WM+y：-Jx；+y；

(當(dāng)且僅當(dāng)。〃)時(shí)等號(hào)成立)

(3)、設(shè)4(占,,)，B(x2,y2),則AB=OB-Q4=(%-%，%-%)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的

終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).IAB\=Jo?—芯)2+(%-%產(chǎn)

專題06復(fù)數(shù)

一、復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義

復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi(其中a,bGR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，

通常用z表示，即z=a+bi(a,bGR),a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)z的虛部。

復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)a+陽(yáng)處"e尺卜虛數(shù)仍豐0)；當(dāng)口=0時(shí)為純虛數(shù))

注：(1)當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，z為實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z為實(shí)數(shù)0；

(3)當(dāng)bWO時(shí)，z為純虛數(shù)。

(4)當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)可以比較大??；當(dāng)bWO時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)不能比較大小。

復(fù)數(shù)相等：若兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di(a,b,c,ddR)相等：

則它們的實(shí)部相等且虛部相等，即a+bi=c+di=a=c且b=d.

復(fù)數(shù)的兩種幾何意義：

(1)復(fù)數(shù)z=a+加6復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

(2)復(fù)數(shù)z=a平面向量反

向量勺模稱為復(fù)巍=a+加(a,beR)的模,記作|z|或|a+加||z|=|a+bi|

=J.2+：2.

注：兩個(gè)復(fù)數(shù)一般不能比較大小，但是?？梢员容^大小。

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

復(fù)數(shù)的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

復(fù)數(shù)的減法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

復(fù)數(shù)的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

復(fù)數(shù)的運(yùn)算律：(1)交換律：zl?z2=z2?zl

結(jié)合律：(zl,z2),z3=zl,(z2?z3)

乘法對(duì)加法的分配律：zl,(z2+z3)=zl,z2+zl,z3

共軌復(fù)數(shù)：實(shí)部相同，虛部相反的復(fù)數(shù)互為共軌復(fù)數(shù)例：a+bi和a-bi

注意：互為共輾復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)，等于這個(gè)復(fù)數(shù)(或其共輾復(fù)數(shù))模的平方。即z=a+bi

(a,beR),貝y/二⑶-二七/二片+戶。

復(fù)數(shù)的除法：

計(jì)算￡±2時(shí)，通常把分子和分母同乘分母。+力?的共軌復(fù)數(shù)。一左，即

c+di

a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdad-be.

c+di(c+di)(c—di)c?+d2

專題07解析幾何

知識(shí)點(diǎn)i直線的方程

1、直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線/與無軸相交時(shí)，取無軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/的傾斜

角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.

(2)范圍：直線/傾斜角的取值范圍是［0,兀).

2、直線的斜率

(1)定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母女表示，即左=tan_a,傾斜角

是］的直線沒有斜率.

（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)B（尤1，yi）,尸2（x2,>2）（xMx2）的直線的斜率公式為左二鋁1

%2—X1

3、直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)（%o，yo）,斜率ky—yQ=k(x—xo)與X軸不垂直的直線

斜截式縱截距6,斜率Ay=kx+b與X軸不垂直的直線

y—y\x-x\與尤軸、y軸均不垂直的

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)（xi，%）,3，yi）

yi-y\xi—xx直線

不含垂直于坐標(biāo)軸和過原

截距式橫截距a,縱截距6-+^■=1

ab點(diǎn)的直線

Ax+By+C^O平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直

一般式

(A2+BVO)線

【注意】“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2兩條直線的位置關(guān)系

1、兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

①對(duì)于兩條不重合的直線/i，li，若其斜率分別為后，k2,則有/1〃/2。拓=小

②當(dāng)直線/i，b不重合且斜率都不存在時(shí)，h//h.

（2）兩條直線垂直

①如果兩條直線/1，/2的斜率存在，設(shè)為所，k2,則有丘42=-1.

②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，Zi±Z2.

2、兩條直線的交點(diǎn)的求法

直線/i：Aix+3iy+G=0,I2：A2x+B2y+Q=0(Ai，C\,A2，C2為常數(shù)),

A\x~\~Ci=Of

則Zi與h的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

、A2X+82、+C2=0

3、三種距離公式

（1）平面上的兩點(diǎn)Pl（xi，yi）,P［（X2,丁2）間的距離公式|尸1尸2|=。（》2—尤1）2+任2—巾）2.

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)尸（尤，y）的距離|0P|=yd+y2.

\Axo-\-C\

(2)點(diǎn)P（x0,州）到直線/：Ax~\~By~\~C=0的距禺d=

y/A2+B2

(3)兩條平行線Ax+5y+G=0與Ar+5y+G=0間的距離

4、直線系方程的常見類型

（1）過定點(diǎn)尸（的，兆）的直線系方程是：y一州=左。一的）（左是參數(shù)，直線系中未包括直線x=%o），也就是平常所提到

的直線的點(diǎn)斜式方程；

(2)平行于已知直線Ax+2y+C=0的直線系方程是：Ar+2y+%=0僅是參數(shù)且及。；

(3)垂直于已知直線Ax+By+C=O的直線系方程是：&一為+/=0。是參數(shù))；

(4)過兩條已知直線/1：Aix+8iy+G=0和氏A2x+&y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程是:

4x+5y+G+〃A2x+&y+C2)=0(/ieR,但不包括/2).

知識(shí)點(diǎn)3圓的方程

1、圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2-\-(y—b)2=r2(r>0)圓心：(a,b)半徑：r

圓心：CP-f)

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2~4F>0)

半徑：i+L

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(xo，刃)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(無一。戶+?-6)2=產(chǎn).

理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系

(M)—a)2+(jo-bp三戶0點(diǎn)在圓上

2

三種情況(xo—a)+(yo—Z?)22r20點(diǎn)在圓外