2024學年初中數(shù)學能力提升題專項 勾股定理 練習(附答案)

2024學年初中名校數(shù)學能力提升題專項（勾股定理）練習

班級：姓名：得分:

注意事項：

本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（2023春?忻城縣期中）在Rt448C中，ZC=90°,且/3=10,BC=6,則NC等于（）

A.12B.8C.4D.2

2.（2023春?黔西南州期末）如圖，在△N2C中，/3=90°,AC='J2,則/加+臺^的值是（）

3.（2023秋?涕水區(qū)期中）在△N8C中，ZC=90°,N4,ZB,NC的對應邊分別是a,b,c,則下列式

子成立的是（）

A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2

4.（2023秋?西安月考）如圖，三個正方形圍成一個直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形4的

5.（2023春?合川區(qū)校級期中）平面直角坐標系內(nèi)，點P（1,V3）到原點的距離是（）

A.y/2B.2C.V3+1D.4

6.（2023春?中寧縣期末）如圖，在△48C中，AB=AC=4,ZB=15°,CD是腰N8上的高，則的長

A.4B.2C.1

7.（2023春?普陀區(qū)校級期末）如圖所示，以數(shù)軸上的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)1的點為

圓心、正方形的對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點則點4表示的數(shù)是（）

-1A1

A.-72B.1-72c.-1+72D.-1-'/2

點4,3都在格點上，若AC衛(wèi)磐，則3C

8.（2023春?蘭山區(qū)期末）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，

的長為（）

/人

__________

____N_______

一1______

Lxf11111

B

「

A\/13Rxfl3W15D.713

323

9.（2023秋?高新區(qū)校級月考）如圖,Rt44BC中,ZC=90°AC=6cm,BC=Scm,AD平分■/CAB,交

BC于D,DELAB于E,則CD等于（）

一

CDB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

10.（2023秋?海曙區(qū)期中）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一,在我國算術(shù)《周髀算經(jīng)》中早有記載.如

圖以直角三角形紙片的各邊分別向外作正三角形紙片,再把較小的兩張正三角形紙片按如圖的方式放置

在最大正三角形紙片內(nèi).若已知圖中陰影部分的面積,則可知（）

T

A.直角三角形紙片的面積

B.最大正三角形紙片的面積

C.最大正三角形與直角三角形的紙片面積和

D.較小兩個正三角形紙片重疊部分的面積

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2023秋?漂陽市期中）若直角三角形兩直角邊長分別為9和40,則斜邊長為.

12.（2023秋?天橋區(qū)校級月考）在如圖所示的方格紙中，建立直角坐標系，點N表示（3,4）,則04=

13.（2023秋?臨沐縣校級月考）在△/8C中，BC=6,2C邊上的高40=4,且AD=2,則△/CD的面積

為_______

14.（2023春?中山市期末）平面直角坐標系中有兩點/（機，-1）,B（3,4）,當加取任意實數(shù)時，線段

48長度的最小值為.

15.（2023秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，△N8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,若C”是△N8C的高線，

則CH=.

16.（2023秋?秦淮區(qū)期中）如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=4cm,分別以NC,8c為邊作正方

2

形，面積分別記為S2,則5[+邑=cm.

17.（2023秋?云巖區(qū)月考）如圖，在RtZX/BC中，ZABC^90°,/C=5,5c=<5，分別以△/2C的三

邊為直徑畫半圓，則兩個月形圖案（陰影部分）的面積之和是

18.（2023秋?仁壽縣校級月考）如圖，已知在中，ZACB=90°,/C=8,8c=16,。是/C上

的一點，CD=3,點尸從8點出發(fā)沿射線8c方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點尸的運動時間

為t.過點。作于點E.在點P的運動過程中，當f為時，能使DE=CZ）?

三、解答題（本大題共6小題，共66分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（2023秋?溫州期中）如圖，在△4BC中，AB=AC,4D平分/R4C,已知3c=10,AD=12,求NC

的長.

20.（2023秋?玉林期中）如圖，在△N8C中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分/ABC,若4D=6,求

□

線段CD的長.

21.（2023秋?碑林區(qū)校級期中）在△NBC中，/2=13,3c=14,NC=15,4D為2c邊上的高，求4D的

長.

22.（2023秋?蘇州期中）如圖1,將長為20+3,寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2

所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形.

（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；

（2）已知圖2中小正方形面積為36,求大正方形的面積？

2a+3

23.（2023春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某同學提出了

一種證明勾股定理的方法：如圖1點2是正方形/CDE邊CD上一點，連接/S得到直角三角形/C2,

三邊分別為a,b,c,將△NC8裁剪拼接至△/跖位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變

證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

CaBCaB

24.（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AB=10cm,AC：BC=3：4,動點P從

B出發(fā)沿射線BC以Icm/s的速度運動，設運動時間為t（s）.

（1）求8c邊的長.

（2）當△A8P為等腰三角形時，求f的值.

BP

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（20223春?忻城縣期中）在中，ZC=90#,且48=10,BC=6,則4c等于（）

A.12B.8C.4D.2

【詳細分析】由勾股定理可直接得出結(jié)果.

【過程解答】解：由勾股定理得：-<C=VAB2-BC2=V102-62=8'

故選:B.

2.（20223春?黔西南州期末）如圖，在中，Zfi=90°,AC=、2,則的值是（）

Ba---------

A.2B.3C.2V2D.4

【詳細分析】由勾股定理可直接得出結(jié)果.

【過程解答】解：由勾股定理得：

即川2用,2=（如）2s2,

故選：A.

3.（20223秋?涕水區(qū)期中）在△K8C中，ZC=90a,ZA,NB,NC的時應邊分別是a,b,c,則F列式

子成立的是（）

222222222

A.a+i=cB.a+<^=bC.a-b=c1D.i+c=o

【詳細分析】根據(jù)勾股定理進行過程解答即可.

【過程解答】解：；/。=90°,ZA.N8、NC的對應邊分別是a、b、c,

：.（f+b2=<^.

故選：A.

4.（20223秋?西安月考）如圖，三個正方形圍成一個直角二角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形/

的面積為（）

36

A.72B.64C.60D.54

【詳細分析】根據(jù)勾股定理和正方形面枳的公式直接可得答案.

【過程解答】解：由勾股定理得，圖形4的而枳為100-36=64,

故選：B.

5.（20223春?合川區(qū)校級期中）平面直角坐標系內(nèi)，點尸（1,“）到原點的距離是（）

A.V2B.2C.V3+1D.4

【詳細分析】直接利用兩點間的距離公式可得答案.

【過程解答】解：由兩點間距離公式得，＜?P=V12+（V3）2=21

故選：B.

6.（20223春?中宇縣期末）如圖，在△.48C中，.45=/C=4,Z5=15°.8是腰X8上的高，則8的

A.4B.2C.1D.—

2

【詳細分析】根據(jù)二角形外角的性質(zhì)得NR4c=30°,再利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得CO的

長.

【過程解答】解：ZB=15°,

.,.ZJCB=Z5=15°,

：.ZDAC=3Q°,

CD是腰.48上的高，

：.CD1AB.

：.CD=—AC=2,

2

故選:B.

7.（20223春?普陀區(qū)校級期末）如圖所示，以數(shù)軸上的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)1的點

為圓心、正方形的時角線及為半徑畫弧，交數(shù)軸丁點X,則點/表示的數(shù)是（

C.-1+V2D.-1-V2

【詳細分析】利用勾股定理求出正方形的時角線長，從而得出答案.

【11桂髀苔】*￥：.正力力的炫tc為I,

???對角線長為Y12+]2=&,

...點X表示的數(shù)是1-V2.

故選：B.

8.（20223春?蘭山區(qū)期末）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點4,8都在格點上，若AC一師,則

B?華

D.VI3

【詳細分析】根據(jù)勾股定理求得月8的長度，然后根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.

【過程解答】解：???/8=后:?=2疝，吐絲3一

：.BC=AB=AC=2>T\3-

33

故選：C.

9.（20223秋?高新區(qū)校級月考）如圖，RtZ\48C中，ZC=903,AC=6cm,BC=Scm,3平分NC48,

交BC于D.DELAB于E,則等于（）

DB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【詳細分析】首先利用勾股定理求出.48,然后利用角平分線的性質(zhì)得到。=OE,在中，利

用勾股定理建立方程求解即可.

【過程解答】解：是NC4B的平分線，DEVAB,ZC=90,

：.CD=DE,

在RtZUCD和RtA.4￡D中，

|AD=AD

ICD=ED'

)@RtZUEO(HL'),

?*?ACJ=AE=6cm9

?；4C=6cm,BC=8cm,

：.AB=y/^Q2+BC2=IOCTO.

.\BE=AB-AE=10-6=4(cm),

設Z)E=KCTM,則CD=xsnBD=(8-x)cm,

在RtADEB中，BD1=DE1+BE1,

:.(8-x)2=X2+42,

:?x=DE=3.

故選:B.

10.(20223秋?海曙區(qū)期中)勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國算術(shù)《周髀算經(jīng)》中早有記載.如

圖以直角三角形紙片的各邊分別向外作正三角形紙片，再把較小的兩張正三角形紙片按如圖的方式放置

在最大正三角形紙片內(nèi).若已知圖中陰影部分的面積，則可知()

A.宜角二角形紙片的面積

B.最大正三角形紙片的面積

C.最大正三角形與宜角三角形的紙片面積和

D.較小兩個正二角形紙片重疊部分的面積

【詳細分析】設三個正三角形而枳分別為Si，S2,S3,（不妨設Si>S2>S3）,由勾股定理和二角形面枳

可得S1=S2+S3，再由面枳和差關(guān)系即可求解.

【過程解答】解：如圖，設二個正二角形面積分別為Si，SA53,（不妨設Sl>S2>53），兩個小正三角

形的重疊部分的面積為54，

,.?△48C是直角三角形，ZJCB=90°,

：.ABZ=AC2+BC2,

l2

■:SI=華啟,S2=^-AC,SJ=^-BC.

AS2+S3=^-.4（^+—8（^=^-（AC2+BC2）=^-AB2,

4444

S]=S2+S3，

:.S用彩=S[-（S2+S3-S4）=S]-S2-S3+S4=SA，

故選：D.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案宜接填寫在橫線上

11.（20223秋?深陽市期中）若直角三角形兩直角邊長分別為9和40,則斜邊長為41

【詳細分析】利用勾股定理直接計算即可.

[過程解答]解：由勾股定理得，斜邊=>/92+4o2=4i.

故答案為：41.

12.（20223秋?天橋區(qū)校級月考）在如圖所示的方格紙中，建立直角坐標系，點上表示（3,4）,則。4=

5

【詳細分析】根據(jù)勾股定理直接計算即可.

【過程解答】解：由勾股定理得，0.4=7^42=5，

故答案為：5.

13.(20223秋?臨沐縣校級月考)在△.48C中，BC=6,BC邊上的高.40=4,且8。=2,則/MCO的面枳

為8或或.

【詳細分析】根據(jù)題意得出8的長度，再利用三角形面積公式求出的面積即可.

【過程解答】解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：

①如圖：

?:BC=6.,42)=4,5。=2,

：.CD^BC-BD=6-2=4,

??S^ACD=^^D9AD=~'K4X4=8,

②如圖：

V5C*=6?-4D=4?BD=2,

：.CD=BLHBC=S,

:?SUCD=gcD?AD=三X8X4=16.

故答案為：8或16.

14.(20223春?中山市期末)平面直角坐標系中有兩點乂(m,-1),B(3,4),當切取任意實數(shù)時，線段

.48長度的最小值為5.

［詳細分析］根據(jù)垂線段最短即可解決問題.

【過程解答】解：（m.-1）,

二點4在直線丁=-1上，

要使,45最小，

根據(jù)“垂線段最短”，可知：

過8作直線y=-1的垂線，垂足為即為4,

：.AB最小為5.

故答案為：5.

15.（20223秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，AJBC+，ZC=903,AC=4,BC=3,若。7是八45。的高線,

則CH=孕.

一5一

【詳細分析】先根據(jù)勾股定理求出.48的長，再由二角形的面積公式即可得出結(jié)論.

【過程解答】解：,.'RtAJBC4J..4C=4,BC=3.

.,..4B=7AC2+BC2=V42+32=5-

是ZXJBC的高線，

10

：.AB9CH=AC-BC,即5C"=4X3,解得CH=答.

5

故答案為：孕.

5

16.（20223秋?秦淮區(qū)期中）如圖，在Rt&lBC中，ZACB=90,AB=4cm,分別以/C,8C為邊作正方

【詳細分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出dd+BC2的值，根據(jù)Si，S2分別表示正方形面

積，求出S1+S2的值即可.

【過程解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90".AB=4cm,

由勾股定理得：

222

Uli]SI+S2=JC+BC=16（cm）,

故答案為：16.

17.（20223秋?云巖區(qū)月考）如圖，在RtZMBC中，ZABC=90s,AC=5,BC=V5.分別以△KBC的二

邊為直徑畫華畫，則兩個月形圖案（陰影部分）的面積之和是5.

【詳細分析】由勾股定理得/6+8~=/已.43=2巡，設以.48、BC、XC為直徑的半圓分別為①、②、

?③，則ST+SZ=SA,而S耍彭=S[+SZ+SJ48C-5尊=5之或'，即可解決問題.

【過程解答】解：???/48C=90°,

J.AB^BC2=心.48=JAC2-BC2=^52-（75）2=2遙，

設以.45、BC、4c為直徑的半網(wǎng)分別為①、②、③，

22

???&=4nX（坐）=2LA3,

228

同理：52=專8d,53=-^-^,

12

?'?附+$2=《（.AB^+BC）=-^-^C=Ss,

8o

:?S國彰=SB+SN+S-sc--Si=S^5C=="*^*^C='yX2V5XV5=5?

即兩個月形圖案（陰影部分）的面積之和是5,

故答案為：5.

18.（20223秋?仁壽縣校級H考）如圖，已知在RtZ\4BC中，ZACB=90a,JC=8,BC=16,。是/C上

的一點，8=3,點尸從8點出發(fā)沿射線8c方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點尸的運動時間

為t.過點D作DEVAP丁點E.在點P的運動過程中，當t為5或11時,能使DE=CD?

B

（詳細分析］根據(jù)動點運動的不同位置利用勾股定理即可求解.

【過程解答】解：①點尸在線段8C上時，過點。作。心于￡如圖1所示:

圖1

則/.4。=/尸。=90",

:.NPED=NACB=90°,

平分/WPG

NEPD=4CPD,

又,：PD=PD,

二△尸Z>E絲△PDC(AAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=\6-2t,

：.AD=AC-8=8-3=5,

?*?A￡=At

W=4H+PE=4+16-2f=20-It,

在RtA4PC中，由勾股定理得：82+(16-2r)2=(20-2，)2.

解得：，=5；

②點尸在線段8C的延長線上時，過點。作丁E,如圖2所示:

S2

同①得：XPDE9XPDC(A.4S),

：.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4.

：.AP=AE+PE=4+2f-\6=2t-12,

在RtA4PC中，由勾股定理得：鏟+（2r-16）2=（2r-12）2,

解得：r=ll.

綜上所述，在點尸的運動過程中，當，的值為5或11時，能使。E=8.

三、過程解答題（本大題共6小題，共66分.過程解答時應篤出文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（20223秋?溫州期中）如圖,在AlffC中，48=/C,平分NH4C,已知8c=10,."）=12,求/C

的長.

【詳細分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【過程解答］解：'：AB=AC,平分NA4C,

：..ADA.BC,BD=CD=^-BC=S,

2

'：AD=12,

222=1

：.AC=VAD-K：D2=712+5^

故4C的長為13.

20.（20223秋?玉林期中）如圖，在△48C中，NC=90°,ZABC=60u,8。平分N4BC,若WD=6,

求線段。的長.

【詳細分析】由『NC=90",ZABC=603,可以得到N4=30’，又由8。平分N.4BC,可以推出二

CBD=ZABD=ZA=30,,8。=4。=6,M利用“30”角所對的宜角邊等f?斜邊的一半”即可求出結(jié)

果.

【過程解答】解：VZC=90G,ZJ5C=60°,

AZJ=30°,

,.?8。平分NHBC,

ZCBD=^ABD=ZJ=30°,

??BD=AD=6,

6X=3.

22

故線段CO的長為3.

21.（20223秋?碑林區(qū)校級期中）在△/8C中，X8=13,8c=14,AC=15,/。為8。邊上的高，求.4。的

長.

【洋細分析】由題意知，BD+DC=14,設8D=x,則CZ）=I4-x,在直角△48D中，.45是斜邊,根據(jù)

勾股定理HMJWJB），在直角入4。。中，根據(jù)勾股定理4c2=X爐+C。2.列出方程組即可計算x的

值，即可求得.10的長度.

【過程解答】解：VBC=14,&BC=BD+DC.

12.UU=X,則〃L=14-X,

則在宜角￡^.4BD中,AB1=AD2+BD2,

即132=/D2+），

在直角中，/C^/zZ+CZ/,

即152=^0?+（14-x）2,

整理計算汨x=5,

22.（20223秋?蘇州期中）如圖1,將長為2/3,寬為2。的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖

2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形.

（1）用關(guān)于。的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長：

（2）已知圖2中小正方形面枳為36,求大正方形的面枳？

【詳細分析】（I）觀察圖形，用直角-：角形較長的直角邊栽去較短的宜角邊即可:

（2）根據(jù)正方形的面積=邊長的平方列出代數(shù)式，把。=3代入求值即可.

【過程解答】解：（1）???宜角三角形較短的宜角邊=5X2a=a,

2

較長的直角邊=2o+3,

；?小正方形的邊長=20+3-o=o+3：

（2）小正方形的面積=（?+3）2=36,

：.a=3（負值舍去），

:.大正方形的面積=92+32=90.

23.（20223春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很