人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第6課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（第6課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．了解切線長的概念．2．探索并證明切線長定理．3．理解三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心的概念，通過與三角形的外接圓進(jìn)行比較，明確“切”和“接”的含義，在對比中加深理解．教學(xué)重點(diǎn)切線長定理的探索及推導(dǎo)．教學(xué)難點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的概念．教學(xué)準(zhǔn)備2～3張半透明的紙．教學(xué)過程新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】過圓外一點(diǎn)可以作圓的幾條切線？【師生活動】學(xué)生獨(dú)立作答：經(jīng)過圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與圓相切．教師引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上畫出兩條切線，并引出切線長的定義．【新知】經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)切線這個知識點(diǎn)的同時(shí)，引出切線長的概念．【思考】切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別呢？【師生活動】學(xué)生分組討論，老師讓3～4位同學(xué)回答這個問題，然后得出結(jié)論：（1）切線是一條與圓相切的直線，不能度量；（2）切線長是線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．【思考】如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．在半透明的紙上畫出這個圖形，沿著直線PO將圖形對折，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？【師生活動】學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的半透明紙，按照要求操作，小組討論后初步得出結(jié)論：PA＝PB，∠APO＝∠BPO．教師展示動圖，學(xué)生通過觀看動圖進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)論．【問題】你會證明嗎？【答案】證明：如圖，連接OA和OB．∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又OA＝OB，OP＝OP．∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．【新知】切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．幾何語言：PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B【追問】（1）若連接兩切點(diǎn)A，B，AB交OP于點(diǎn)M．你能得出什么新的結(jié)論?【答案】OP垂直平分AB證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．∴△PAB是等腰三角形．PM為頂角的平分線，∴OP垂直平分AB．【追問】（2）若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連接CA，CB，你又能得出什么新的結(jié)論?【答案】CA＝CB證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．又∵PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴AC＝BC．【歸納】在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形．（1）分別連接圓心和切點(diǎn)；（2）連接兩切點(diǎn)；（3）連接圓心和圓上一點(diǎn)．【設(shè)計(jì)意圖】利用“思考”中的基本圖形和動圖，讓學(xué)生獨(dú)立探究切線長定理及其證明，并能解決有關(guān)圓的切線長的問題．【練習(xí)】PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，直線OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AB于C．（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中與∠OAC相等的角；（3）寫出圖中所有的全等三角形；（4）寫出圖中所有的等腰三角形．【答案】（1）OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP；（2）∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC；（3）△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP；（4）△ABP，△AOB．【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用切線長定理解決“練習(xí)”中的問題，讓學(xué)生明確切線長定理體現(xiàn)了圓的軸對稱性，為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)．【思考】如圖是一塊三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使截下來的圓與三角形的三條邊都相切？【師生活動】教師假設(shè)符合條件的圓作出，引導(dǎo)學(xué)生分析畫圓需滿足的條件：（1）圓心到三邊的距離相等，所以圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；（2）半徑即圓心到三邊的距離．學(xué)生根據(jù)分析的結(jié)果作圖：（1）分別作∠B，∠C的角平分線BM，CN，交點(diǎn)記為I；（2）過點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D；（3）以點(diǎn)I為圓心，ID為半徑作⊙I，⊙I就是所求的圓．【新知】與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心．【設(shè)計(jì)意圖】通過解決在三角形鐵皮中截取內(nèi)切圓的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生探究內(nèi)切圓的概念和作圖方法．【思考】對比三角形的外接圓和內(nèi)切圓，你發(fā)現(xiàn)了什么？【師生活動】學(xué)生獨(dú)立畫出三角形的外接圓和內(nèi)切圓，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論．外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．“接”或“切”是說明多邊形的頂點(diǎn)或邊與圓的位置關(guān)系：多邊形的頂點(diǎn)都在圓上叫“接”，多邊形的邊都與圓相切叫“切”．【設(shè)計(jì)意圖】通過對照圖形，明確“接”或“切”的含義，在對比中加深理解．二、典例精講【例1】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的長．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考，弄清解題思路，教師適時(shí)點(diǎn)撥，歸納解題方法，規(guī)范解題步驟．【答案】解：設(shè)AF＝x，則AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x．由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14．解得x＝4．∴AF＝4，BD＝5，CE＝9．【設(shè)計(jì)意圖】通過例題，讓學(xué)生理解切線長定理以及三角形內(nèi)切圓的應(yīng)用，得到三角形內(nèi)切圓半徑與三邊長之間的數(shù)量關(guān)系．【例2】如圖，已知四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA與⊙O分別相切于點(diǎn)L，M，N，P．求證：AD＋BC＝AB＋CD．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成，然后教師進(jìn)行講解．【答案】證明：由切線長定理，得AL＝AP，LB＝MB，NC＝MC，DN＝DP．∴AL＋LB＋NC＋DN＝AP＋MB＋MC＋DP，即AB＋CD＝AD