2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破二次函數(shù)與等腰三角形問題

專題1二次函數(shù)與等腰三角形問題

考法綜述，

IJ

數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的

觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，抓住運動過

程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程（組）、函數(shù)關(guān)系問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)

問題。

在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等幾何變化

相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動點

產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點和難點在于應(yīng)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進行準確的分類.

方法揭秘.

在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類.

如果A/BC是等腰三角形，那么存在①②BA=BC,③C4=C8三種情況.

解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快.

幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算.哪些題目適合用幾何法呢？

如果的4/（的余弦值）是確定的，夾44的兩邊N3和NC可以用含x的式子表示出來，那么就

用幾何法.

①如圖1,如果AB.=/C,直接列方程；②如圖2,如果氏4=2。，那么」/C=48cosN4③如圖3,

2

如果G4=C8,那么=/CeosN4

2

代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗.

如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間

的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來.

22222222

AB=(xA-xs)+(yA-yJ3),AC=(xA-xc)+(yA-yc),BC=(xB-xc)+(yB-yc/

然后根據(jù)分類：AB=AC,BA=BC,CA=CB列方程進行計算.

典例剖析“

【例1】(2022?百色)已知拋物線經(jīng)過/(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)三點，O為坐標原點，拋物

線交正方形08DC的邊8。于點E,點M為射線2。上一動點，連接。交BC于氤F.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：ABOF=乙BDF；

(3)是否存在點使△血尸為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求ME的長.

【分析】(1)把/(-1,0)、8(0,3)、C

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出乙。5C,BD=OB,再由8尸=8/，得出△BO尸三△5。尸，最后利

用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

(3)分兩種情況討論解答，當(dāng)M在線段AD的延長線上時，先求出4再利用解直角三角形得出結(jié)果,

當(dāng)M在線段8。上時，得出乙B(W=30°,類比①解答即可.

【解答】(1)解：設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+bx+c,

把/(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)代入

0=a-b+ca=~l

得：，3=c，解得,b=2，

10=9a+3b+c、c=3

?,?拋物線的表達式為：y=-X2+2X+3；

(2)證明：?.■正方形03DC,

ZOBC=/LDBC,BD=OB,

-：BF=BF,

/\BOF^/\BDF,

：.乙BOF=2BDF；

(3)解：；拋物線交正方形OBDC的邊BD于點E,

.,.令y=3,貝?。?=-X2+2X+3,解得：Xi=0,X2=2,

■■E(2,3),

當(dāng)M在線段BD的延長線上時，ABDF為銳角,

乙陽河為鈍角，

???不為等腰三角形，

：.DF=DM,

乙M=乙DFM,

：.ABDF=乙乙DFM=2乙M,

■■-BM//OC,

2M=乙MOC,

由(2)得乙ABDF,

：.ABDF+AMOC=3AM=90°,

AZM=30°,

在Rt/\BOM中，

BM=——口員—=3^,

tan30

:.ME=BM-BE=3正-2；

②如圖，

當(dāng)“在線段上時，4為鈍角，

???平為等腰三角形，

：.MF=DM,

：.2BDF=2MFD,

：.2BMO=乙BDF+2MFD=22BDF,

由(2)得乙BOF=ABDF,

???乙BMO=2乙BOM,

ABOM+ABMO=3ABOM=90°,

ABOM=30°,

在RtABOM中,

5M=tan300-08=5/3,

：.ME=BE-BM=2-正，

綜上所述，ME的值為：3%-2或2-正.

【例2】(2022?河池)在平面直角坐標系中，拋物線力：y=ax2+2x+6與x軸交于兩點/,B(3,0),與y

軸交于點C(0.3).

(1)求拋物線辦的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點。的坐標；

(2)如圖，連接AD,若點E在線段AD上運動(不與2,D重合)，過點E作瓦Ux軸于點足設(shè)EF

=%，問：當(dāng)加為何值時，△8FE與△OEC的面積之和最??；

(3)若將拋物線。繞點2旋轉(zhuǎn)180。得拋物線上，其中C,。兩點的對稱點分別記作M,N.問：在拋

物線上的對稱軸上是否存在點P,使得以8,M,尸為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出

所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出a,b的值即可；

(2)如圖1中，連接BC,過點C作CH1BD于點H.設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點T.首先證明乙DCB

=90°,利用面積法求出CH,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(3)如圖2中，由題意拋物線上的對稱軸x=5,朋'(6,-3).設(shè)尸(5,加)，分三種情形：當(dāng)BP=BM

=3加時，當(dāng)尸8=尸加■時，當(dāng)8"=尸河時，分別構(gòu)建方程求解即可.

［解答］解：(1),.J=ax2+2x+b經(jīng)過2(3,0),C(0,3),

.fb=3

l9a+6+b=0

.(a=~l

lb=3,

.,?拋物線的解析式為y=-，+2x+3,

'-'y="(x-1)2+4,

r.拋物線的頂點。(1,4)；

(2)如圖1中，連接8C,過點C作于點設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點7.

圖1

?■-C(0,3),B(3,0),0(1,4),

：.BC=3y[2,CD=y[2,BD=M2+&2=2遙,

：.BC2+CD2=BD2,

ABCD=90°,

■■■—-CD-CB=—?BD-CH,

22

.CH-^2X3V2,3V5

2V55

,.,￡F_Lx軸，Z>7_Lx軸，

：.EF//DT,

.EF=BE=BF

"DTBDBT'

.m=BE=BF

?72V5虧

BE=^-^-m,BF=—m,

22

ABFE與ADEC的面積之和S=工x(2V5-恒"7)XXX工加=▲(加-3)2+毀，

225224216

—>0,

4

??.s有最小值，最小值為空■,此時機=3,

162

m=3時，&BFE與4DEC的面積之和有最小值.

2

解法二：求兩個三角形面積和的最小值，即就是求四邊形OCEF面積的最大值.求出四邊形OCE尸的面

積的最大值即可.

(3)存在.

理由：如圖2中，由題意拋物線〃的對稱軸尤=5,M(6,-3).

?4

設(shè)P（5,m）,

當(dāng)3尸=BM=3加時，22+%2=（3企）2,

■■m=士V14，

■■Px（5,V14）,P2（5,-V14）,

當(dāng)尸8=尸〃時，22+冽2=12+（根+3）2,

解得，m=-1,

■■Pi(5,-1),

當(dāng)3"=產(chǎn)”時，(3&)2=12+(洸+3)2,

解得，m=-3±A/17,

■■■P4(5,-3+717),尸5(5,-3-V17),

綜上所述，滿足條件的點尸的坐標為尸1(5,Jii),尸2(5,-V14),ft(5,-1),尸4(5,-3+JT7),

尸5(5,-3-717).

【例31(2022?山西)綜合與探究

如圖，二次函數(shù)〉=-4/+當(dāng)什4的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點。.點

42

P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為九過點P作直線軸于點。，作

直線BC交PD于點、E.

(1)求/,8,C三點的坐標，并直接寫出直線8c的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)△(7￡「是以尸￡為底邊的等腰三角形時，求點尸的坐標；

(3)連接NC,過點尸作直線/〃NC,交y軸于點足連接。色試探究：在點P運動的過程中，是否存

在點匕使得C￡=ED,若存在，請直接寫出加的值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由了=-4"/+小+4得，/(-2,0),8(8,0),C(0,4),用待定系數(shù)法可得直線BC

42

解析式為》=--x+4,

2

22

(2)過C作CG_LP。于G,設(shè)尸(加，-l-m+—m+4),可得尸D=--Lm+—m+4,DG=OC=4,CG

4242

=OD=m,PG=PD-DG=-工加2+國加，而“)=CE,CGLPD,即得GE=PG=-工加2+反加，證明△

4242

123

CGE-ABOC,可得典-----即可解得P(4,6)；

84

2

(3)過C作CHLPD于H,設(shè)P(m,-Xm+lm+4),根據(jù)PF//AC,設(shè)直線PF解析式為y=2x+b,

22

可得直線尸尸解析式為y=2x-上加2-上加+4,從而產(chǎn)(0,.JLW-AW+4),OF=\-^m-^m+4\,證

424242

明RtZkCT/E/RtaOO/CHZ),可得乙//CE=2尸。0,即得乙尸Z>0=ZCBO,tan乙包)O=tanaCBO,故

----------------=—.可解得m=2"/5—2或加=4.

m---8

【解答】解:(1)在尸-工/+當(dāng)+4中,

42

令x=0得y=4,令y=0得％=8或x=-2,

'-A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

設(shè)直線BC解析式為^=履+4,將5(8,0)代人得:

8左+4=0,

解得左=-工

2

，直線2C解析式為丁=+4；

PD=--m2+—w+4,

42

ZCOD=APDO=Z_CGD=90°,

四邊形CODG是矩形，

:.DG=OC=4,CG=OD=m,

：.PG=PD-DG=-工加2+3〃?+4-4=_工加2+3機，

4242

：CP=CE,CG1PD,

：.GE=PG=-

42

???ZGCE=乙OBC,乙CGE=90°=乙BOC,

：.ACGE—ABOC,

4

.CG=GE即m=奉24m

OB0C'84'

解得m=0(舍去)或機=4,

■.P(4,6)；

(3)存在點尸，使得CE=FD,理由如下：

過C作C"_LP。于//,如圖：

由/(-2,0),C(0,4)可得直線NC解析式為y=2x+4,

根據(jù)PF//AC,設(shè)直線PF解析式為y=2x+b,將P(加，-+當(dāng)〃+4)代人得.

42

--m2+—m+4=2m+b,

42

i1

:?b=--m91-—m+4,

42

直線PF解析式為y=2x-1加2-/加+4,

令1=0得,=--m2-—m+4,

42

.?.F(0,-—m2-—m+4),

42

OF=I--m2-—m+41,

42

同(2)可得四邊形C。?！笔蔷匦?，

：.CH=OD,

?：CE=FD,

..RtAC/ffi^RtADOF(HL),

/.(HCE=乙FDO,

???乙HCE=ACBO,

乙FDO=乙CBO,

tan乙FDO=tan乙CBO,

.,OF=OC,即上立二二吧■=),

0DOBm8

解得m=2A/5-2或加=-2^5-2或加=4或加=-4,

?.J在第一象限，

，加=2立-2或加=4.

【例4】(2022?賀州)如圖，拋物線y=-f+6x+c過點/(-I,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)△PC8是以2C為底邊的等腰三角形時，求點尸的坐標；

(3)在(2)條件下，是否存在點M為拋物線第一象限上的點，使得SpcM=S"若存在，求出點"

的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由交點式可直接得出拋物線的解析式；

(2)設(shè)尸(1,m),根據(jù)尸3=PC列出方程，進而求得點尸坐標；

(3)作尸0〃8C交y軸于0,作跖V〃BC交y軸于N,先求出P。的解析式，進而求得四V的解析式,

進一步求得結(jié)果.

【解答】解：(1)由題意得：尸-(x+1)?(x-3),

..y=-/+2x+3;

(2)設(shè)尸(1,m),

■：PB2=PC2,

(3-1)2+m~=1+(m-3)2,

...加=1,

??.p(1,1);

(3)假設(shè)存在M點滿足條件，

作尸?！?c交y軸于。，作交y軸于N,

,；尸。的解析式為y=-x+1,

-Q(0,2),

C(0,3),SABCM=S^BCP,

??.N(0,4),

.?.直線MN的解析式為：尸-x+4,

由-X2+2X+3=-x+4得,

3±-/5

2，

M點橫坐標為旦大5或上近

22

滿分訓(xùn)練.

__________--

1.(2022春?豐城市校級期末)如圖，已知二次函數(shù)y=ox2+6x+c的圖象與x軸相交于/(.1,o),B(3,

0)兩點，與了軸相交于點C(0,-3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若尸是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PHLx軸于點X,與交于點連接PC.

①求線段尸”的最大值；

②當(dāng)△尸CM是以為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標.

(2)①根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【解答】解：（1）將/,B,C代入函數(shù)解析式得,

a-b+c=O

（9a+3b+c=0,

、c=-3

a=l

解得"b=-2，

c=-3

.?.這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=--2x-3;

(2)①設(shè)BC的解析式為y=Ax+6,

將瓦C的坐標代入函數(shù)解析式得，

j3k+b=0

(b=-3，

解得[I

[b=-3

?e-BC的解析式為y=x-3,

設(shè)〃-3),P(n,層-2〃-3),

PM=(〃-3)-(〃2-2〃-3)=-層+3〃=-(n-—)2+—,

24

當(dāng)幾=-1"時，PM最大=

24

線段尸w的最大值旦；

4

②解法一：當(dāng)PM=PC時，(-n2+3n)2=層+(n2-2n-3+3)2,

解得m=〃2=0(不符合題意，舍)，〃3=2,

n2-2n-3=-3,

尸(2,-3).

當(dāng)尸時,（■居+3〃）2=w2+（H-3+3）2,

解得m=0（不符合題意，舍），n2=3-V2,〃3=3+（不符合題意，舍）,

n2-2n-3=2-4、叵,

尸（3-加，2-472）.

綜上所述：尸（3-&,2-4&）或（2,-3）.

解法二：當(dāng)9=尸。時，

..BC：y=x-3,

AABC=45°,

：PHLAB,

:?乙BMH=^CMP=45°,

.?.9=尸。時，尸河為等腰直角三角形，。尸〃x軸，

設(shè)尸（孔，層-2〃-3）,貝!]CP=幾，

MP=-n2+3n,

n=-層+3〃，

解得n=0（舍去）或幾=2,

???尸（2,-3）,

當(dāng)尸W=CM時，設(shè)P（〃，n2-2n-3\

則Jj+n?="川+3〃，

心口=-層+3”，

.”>0,

yj~2^=-n2+3n,

解得n=3-V2,

.?.尸（3-加，2-472）,

綜上所述：尸（3-&，2-4加）或（2,-3）.

2.（2022?嵐山區(qū)一模）已知拋物線y=ox2+bx+8與*軸交于/（-3,0）,3（8,0）兩點，交y軸于點C,

點P是拋物線上一個動點，且點P的橫坐標為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點尸在8C上方的拋物線上運動（不與3、C重合），過點尸作x軸的垂線，垂足為￡,

交于點。，過點尸作2C的垂線，垂足為。，若LPQD"八BED,求”的值；

（3）如圖2,將直線3C沿y軸向下平移5個單位，交x軸于點交y軸于點N.過點P作x軸的垂

線，交直線"N于點。，是否存在一點P,使是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的機

的值；若不存在，請說明理由.

(3)分三種情況：①當(dāng)=時，②當(dāng)=時,③當(dāng)MD+BD時，由兩點間的距離公式列出關(guān)

于m的方程可得出答案.

【解答】解：(1)???拋物線產(chǎn)辦2+&+8與x軸交于/(-3,0),2(8,0)兩點,

.(9a~3b+8=0

l64a+8b+8=0'

(1

a=-7

解得，?J,

b至

I3

?,?拋物線的解析式為尸-A2A8；

3X+3X+

(2)拋物線的解析式為y=-?1/+%+8,

33

令x=0,y=8,

.,.C(0,8),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

8k+m=0

in=8

解得:k=-l

in=8

直線5C的解析式為二-x+8(0<x<8),

設(shè)尸(冽),則。(冽,-m+8),E(m,0),

-BD=VDE2+BE2=V(-m+8)2+(8-m)2=^2(8-m),

又PD=--^m2-H|-m+8-(■冽+8)=-仔加，

*/&PQD"l\BED,

??.PD=BD,

2m

V2(8-w)=--1-m+^，

解得，mi=3V2,/2=8(舍去)，

■■-m的值為3&;

(3)由(2)可知直線5c的解析式為y=-x+8,向下平移5個單位得到y(tǒng)=-x+3,

當(dāng)y=0時，x=3,

0),

當(dāng)x=0時，y=3,

??.N(0,3),

由題意得尸

'.'MB=8-3=5,D(m,-m+3),

；.MD2=(m-3)2+(-m+3)2,BD2=(8-m)2+(-m+3)2,

若是等腰三角形，可分三種情況：

①當(dāng)=時，

(m-3)2+(-m+3)2=25,

解得m\=3+-^A/2，加2=3--|^/2，

②當(dāng)=時，

(8-m)2+(-m+3)2=25,

解得，mi=3(舍去)，加2=8(舍去)，

③當(dāng)時，

(8-m)2+(-m+3)2=(m-3)2+(-m+3)2,

解得，加=5.5.

綜上所述，m的值為3+>|/或3-"jq5或5.5時，△8WD是等腰三角形.

3.(2022?淮陰區(qū)校級一模)如圖，拋物線y=2x2+6x+c過/(-1,0)、B(3.0)兩點，交y軸于點C,

連接BC.

(1)求該拋物線的表達式和對稱軸；

(2)點。是拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)△BCD是以3c為直角邊的直角三角形時，求所有符合條件的

點D的坐標；

(3)將拋物線在下方的圖象沿2C折疊后與y軸交于點E,求點￡的坐標；

(4)若點N是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△8兒加為等邊三角形時,

直接寫出直線NN的關(guān)系式.

備用圖

【分析】(1)運用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)設(shè)。(1,n),由兩點間距離公式可得：BC2=OB2+OC2=32+62=45,BD1=(1-3)2+(?-0)2

=/+4,CD2=(0-1)2+(-6-?)2=?2+12?+37,分兩種情況：當(dāng)乙C2D=90°時，當(dāng)乙2c0=90°

時，分別利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；

(3)如圖2,作△BCO關(guān)于直線8c對稱的△BCG,CG交拋物線于點夕，利用三角函數(shù)和面積法可

求得G(2魚，-),運用待定系數(shù)法求得直線CG的解析式為y=當(dāng)-6,聯(lián)立方程組可得E'(生,

5548

-瑾),再根據(jù)軸對稱可求得點E的坐標；

32

(4)由題意可知△&W為等邊三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)點N在x軸的上方時，點M在x軸上方,

連接RN.證出△瓦?N,可得NN垂直平分8R,則工點在直線NN上，可求出直線/N的

解析式，②當(dāng)點N在x軸的下方時，點河在x軸下方.同理可求出另一直線解析式.

【解答】解：(1),.,拋物線＞=2x2+6"c過/(-1,0)、B(3,0)兩點，

.(2-b+c=0

ll8+3b+c=0，

解得：色=-4,

1c=-6

該拋物線的表達式為y=2/-4x-6,

.??拋物線對稱軸為直線x=l；

(2)設(shè)。(1,n\

,??拋物線y=2%2-4x-6交y軸于點C,

.?.C(0,-6),

：B(3,0),

BC2=OB2+OC2=32+62=45,BD2=(1-3)2+(?-0)2=n2+4,CZ)2=(0-1)2+(-6-?)2=n2+12n+31,

當(dāng)乙C3O=90。時，貝1」8。2+3。2=82,

.".45W+4=?2+12H+37,

解得：n=l,

-D(1,1)；

當(dāng)48。。=90。時，貝1]2。2+82=802,

.,.45+"2+12〃+37=/+4,

解得：n=

2

??.Q(1,-—

2

二.所有符合條件的點。的坐標為(1,1)或(1,-至)；

2

(3)如圖2,作△5CO關(guān)于直線5C對稱的△BCG,CG交拋物線于點￡,

S四邊形3OCG=2S>BCO=2x1x3x6=18,

在RtASCO中，8C=VOB2X)C2=^32+62=3近，

???0G15C,

.?」x2CxOG=18,

2

...CG=-12丘,

5

GH=OG-sinAGOH=OG'sin/LBCO=12^x=絲，OH=OG-cosAGOH=OG，cos乙BCO=

53755

1275v6_24

53V5

.c/2412\

d=-6

設(shè)直線CG的解析式為尸kx+d,貝U2412，

lvk+d=~v

解得：4,

,d=-6

r.直線CG的解析式為產(chǎn)務(wù)-6,

y=2x2-4x-6

19

X.=0X2"T

解得：I1（不符合題意，舍去）,

71=-6135

y2~

..㈤（季浸），

???點E與點￡關(guān)于8C對稱,

：.CE=CEf,

,/CEf

97

32

」.E（0,一堂

（4）在拋物線對稱軸上取點R（1,2正），連接/R、BR,設(shè)對稱軸交x軸于點S,

則S(l,0),

導(dǎo)歲s

ARAS=60°,

???AR=BR,

??.△NBA是等邊三角形，

①當(dāng)點N在x軸上方時，點M在x軸上方，連接4N交對稱軸于點"連接5R,NR,AM,BL,如圖3,

v/\BMN,△54R為等邊三角形，

:.BM=BN,BA=BR,AMBN=AABR=60°,

/.乙ABM=乙RBN,

MABM”ARBN(SAS),

:.AM=RN,

???點M在拋物線對稱軸上,

??.AM=BM,

:.RN=BM=BN,

」.4N垂直平分BR,

LR=LB-LA,

設(shè)￡（1,m）,貝！j￡S=冽，AL=BL=RL=2m,

2m+m=2Vs,

解得：加=松二，

「八,嚶),

-k[+d[=0

設(shè)直線AN的解析式為y=kix+di,貝!j<

ki+d1=募一

L星

ki~

解得：,

V3

[dHiT

直線4N的解析式為y=縣+且

33

②當(dāng)點N在x軸下方時，點”在x軸下方，如圖4,

???△5MN,△B/R為等邊三角形,

??.BM=BN,BA=BR,AMBN=AABR=60°,

AABN=ARBM,

XBRM"/\BAN(SAS),

...乙BAN=ABRM,

?;AR=BR,RSIAB,

ABRM=—AARB=30°,

2

:.BAN=30°,

設(shè)MV與y軸交于點0,

在RtZ\/O0中，OQ=O4,tan乙B4N=CM?tan30°

-看),

o

"-k2+d2=0

設(shè)直線4N的解析式為y=《2+"2,貝（bH-近，

d2-3

??.直線AN的解析式為j=-?x-返■.

33

綜上所述，直線AN的解析式為y=率x+喙或y=-喙x-喙.

4.(2022?仁壽縣模擬)如圖，直線>=依+"(^0)與x軸、y軸分別交于4、8兩點，過/,2兩點的拋

物線>=辦2+樂+4與x軸交于點C,且。(-1,0),A(4,0).

(1)求拋物線和直線N3的解析式；

(2)若“點為x軸上一動點，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求點M的坐標.

(3)若點P是拋物線上N,8兩點之間的一個動點(不與48重合)，則是否存在一點P,使△尸N8的

面積最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，可得3點的坐標，將/、2兩點代入直線》=依+"

即可得直線的解析式；

(2)先利用勾股定理計算出AB=4a,分兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；

(3)設(shè)尸(x,-x2+3x+4)(0<x<4),過點尸作PD〃了軸交直線AB于點。，則。(x,-x+4),可得

PD=yp-yo=-X2+4X,即得S^PAB=^PD*OA=-2(x-2)2+8,根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解.

【解答】解：(1)；過工，B兩點的拋物線y=ax1+bx+4與x軸交于點C,且C(-1,0),A(4,0).

,卜廿4=0,解得卜=-1,

I16a+4b+4=0{b=3

二?拋物線解析式為y=-x2+3x+4,

令x=0,得y=4,

..B(0,4),

---y=kx+n(左片0)與x軸、y軸分另“交于/、8兩點，

.J4kg0,解得

In=4In=4

J.直線4B的解析式為y=-x+4；

-'-AB=yj42+42=4^2，

①當(dāng)=時，點用■與點/(4,0)關(guān)于y軸對稱，故M(-4,0)符合題意;

②當(dāng)N8=4W■時，

AM=AB=4近,

：.M'(4-4衣，0)、"(4+4&,0).

綜上所述，點M的坐標為(-4,0)或(4-4&,0)或(4+472,0)；

(3)存在，理由如下：

設(shè)P(x,-X2+3X+4)(0<X<4),

如圖，過點P作PD//y軸交直線AB于點。，則。(x,-x+4),

/-PD=yp-yD=(-X2+3X+4)-(—x+4)=-x2+4x,

S^PAB=^PD-OA=-lx4x[-X2+4X]=-2(x-2)2+8,

-2v0,

r.當(dāng)x=2時，△尸48的面積最大，最大面積是8,

,存在點尸，使△尸48的面積最大，最大面積是8.

5.(2022?徐匯區(qū)模擬)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線尸船+3分別交x軸、〉軸于42兩點，

經(jīng)過48兩點的拋物線y=-f+bx+c與x軸的正半軸相交于點C(1,0),點尸為線段上的點，且

點P的橫坐標為m.

(1)求拋物線的解析式和直線N3的解析式；

(2)過P作j，軸的平行線交拋物線于當(dāng)△依河是MP為腰的等腰三角形時，求點尸的坐標；

(3)若頂點D在以PM、PB為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)(不含邊界)，求機的取值范圍.

【分析】(1)先求出點3(0,3),運用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為y=-X2-2X+3,令y=0,

可求得4(-3,0),把點/的坐標代入＞=履+3,即可求得直線的解析式為y=x+3；

(2)設(shè)尸(m,m+3),且-3W/wW0,則-m2-2m+3),可得PM--而-3m,運用兩點間距

離公式可得尸3=-42m,根據(jù)△可〃是心為腰的等腰三角形，分兩種情況：MP=PB或MP=MB,

分別建立方程求解即可得出答案；

(3)利用待定系數(shù)法可求得經(jīng)過點。(-1,4)且平行直線的直線。G的解析式y(tǒng)=x+5,聯(lián)立，得

x+5=-x2-2x+3,可得點G的橫坐標為-2,根據(jù)題意可知：點”必須在直線DG上方的拋物線上運動,

故-2＜加＜-1.

【解答】解：(1).?.直線好履+3交y軸于點8,

：.B(0,3),

,?,拋物線-W+E+c經(jīng)過點8(o,3),點C(l,0),

.fc=3

I_l+b+c=0

解得：產(chǎn)之

lc=3

「?拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

令歹=0,得-2x+3=0,

解得：XI=-3,X2=1,

力(-3,0),

把點A的坐標代入y=kx+3,得-3左+3=0,

解得:k=1,

二.直線AB的解析式為y=x+3；

(2)???點尸為線段48上的點，且點尸的橫坐標為冽，

?，.P(m,m+3),且?3WwW0,

?過尸作》軸的平行線交拋物線于M,

；.M(m,-m2-2加+3),

：.PM=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m,

.0PB1=(m-0)2+(m+3-3)2=2m2,且-3W加WO,

PB=-

???△PBM是MP為腰的等腰三角形，B(0,3),

:.MP=PB或MP=MB,

?；OA=OB=3,4/03=90°,

AAOB是等腰直角三角形，

AABO-45°,

■：PM//OB,

；.乙BPM=45°,

①當(dāng)MP=P8時，

-m2-3m=-,

解得：m=0（舍去）或m=-3+V2,

-p(-3+V2,V2);

②當(dāng)=時，

貝I］乙48PA/=45°,

；.乙BMP=90°,

：.BM//x^,即點加■的縱坐標為3,

-m2-2m+3=3,

解得：wi=0(舍去)，m2=-2,

.■.P(-2,1),

綜上所述，點尸的坐標為(-3+72,企)或(-2,1)；

(3)y=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,

?,.拋物線的頂點。(-1,4),

設(shè)經(jīng)過點0(-1,4)且平行直線N2的直線DG的解析式為y=x+*如圖2,

則-1+〃=4,

解得：n=5,

-'-y=x+5,

聯(lián)立,得尤+5=-X2-2x+3,

解得：XI=-1,X2=-2,

.?.點G的橫坐標為-2,

頂點D在以PM、PB為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)(不含邊界),

點M必須在直線DG上方的拋物線上運動，

，加的取值范圍為：

6.（2022?沐陽縣模擬）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞=/+2了-3與x軸交于/、8兩點（點

A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求點/的坐標;

（2）如圖2,連接/C,點。為線段/C下方拋物線上一動點，過點。作?！隇檩S交線段NC于￡點，

連接E。、AD,記△4DC的面積為Si,△/￡（?的面積為S2,求N-$2的最大值及此時點。的坐標；

（3）如圖3,連接CB,并將拋物線沿射線CB方向平移2y5個單位長度得到新拋物線，動點N在原拋

物線的對稱軸上，點M為新拋物線與y軸的交點，當(dāng)九W為以為腰的等腰三角形時，請直接寫出

點N的坐標.

【分析】（1）令y=0,即可求/點坐標;

（2）延長DE交x軸于點K,求出直線4C的函數(shù)表達式為》=-X-3,設(shè)。（/,?+2；-3）,其中-3v

139_

t<0,則E（J,-Z-3）,K（t,0）,即可求Si-S2=--t-—t-——L/+i--------------3/2_6f一旦）=-3（什2）

2222222

2+2當(dāng)f=-2時，S1-S2取得最大值，最大值為3,此時點D的坐標為（-2,-3）；

22

（3）由題意可求拋物線向右平移2個單位長度，向上平移6個單位長度，則平移后的拋物線解析式為y

=(x-1)2+2,可求M(0,3),設(shè)"(-1,n),分兩種情況①當(dāng)時，9+9=4+n2,得到N(-

1,V14)或N(-1,-V14)；②當(dāng)時，9+9=1+(3-")2,得到N(-1,3+^17)或N

(-1,3-V17).

【解答】解:(1)???拋物線y=/+2x-3與x軸交于/、3兩點(點(在點8的左側(cè)),

令y=0,得X2+2X-3=0,解得Xi=-3,X2=1,

???點/在點2的左側(cè)，

，點/的坐標為(-3,0)；

(2)如圖，延長。E交x軸于點K,

?.?拋物線>=X2+2X-3與y軸交于點C,

.?.C(0,-3),

設(shè)直線NC的函數(shù)表達式為>=日+〃(后W0),

■-A(-3,0),C(0,-3),

fn=-3

-3k+n=0

解得卜-1,

[n=-3

???直線NC的函數(shù)表達式為>=-%-3,

設(shè)D(t,a+2人3),其中-3<Y0,

.■.E((/,-t-3),K(t,0),

"'*DE=-於-37,

1

Si=SAADC=—DE-OA=亮(-t-3t)=

S2=SAAEO=-EK-OA=3(/+3)=3什且，

2222

r.Si-$2=-S於-旦f-(3什9=-3於-6f-旦)=_芭(什2)2+3,

22222222

???當(dāng)f=-2時，Si-e取得最大值，最大值為S,

2

此時點。的坐標為(-2,-3)；

(3),.。0,-3),3(1,0),

?.O--B--_-1-，

0C3

???拋物線沿射線CB方向平移2疝個單位長度，

???拋物線向右平移2個單位長度，向上平移6個單位長度，

???平移后的拋物線解析式為y=(x+l-2)2-4+6=(x-1)2+2,

當(dāng)x=0時，y—3,

3),

???原拋物線的對稱軸為直線x=-1,

設(shè)N(-1,〃)，

①當(dāng)NN時，9+9=4+/,

'''?=士VH，

■■.N(-1,V14)或"(-1,-V14);

②當(dāng)時，9+9=1+(3-〃)2,

n=3+VTF或"=3-V17，

???N(-1,3+歷)或N(-1,3-V17);

綜上所述：N點坐標為(-1,V14)或(-1,-丁五)或(-1,3+V17)或(-1,3-百？).

7.(2022春?北修區(qū)校級期末)如圖，已知點(0,2)在拋物線G：>=2/+6X+C上，且該拋物線與x軸

33

正半軸有且只有一個交點4與y軸交于點3,點。為坐標原點.

圖3

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)拋物線。沿射線加的方向平移'亙個單位得到拋物線C2,如圖2,拋物線C2與x軸交于C,D

3

兩點，與y軸交于點E,點、M在拋物線C2上，且在線段ED的下方，作MN//y軸交線段DE于點N,連

接ON,記的面積為Si,的面積為出，求Si+2s2的最大值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，拋物線C2的對稱軸與x軸交于點尸，連接EG點尸在拋物線C2上且

在對稱軸的右側(cè)，滿足乙PEC=LEFO.

①直接寫出P點坐標；

②是否在拋物線Q的對稱軸上存在點兒使得為等腰三角形，若存在，請直接寫出〃點的坐標;

若不存在請說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可；

(2)利用(1)的結(jié)論和已知條件求得拋物線C2的解析式，依據(jù)圖象求得51+2*的值，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求得結(jié)論；

(3)①設(shè)EP與x軸交于點H,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段CH的長，得到點H的坐標，利

用待定系數(shù)法解答即可；

②利用分類討論的思想方法分三種情況討論解答，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得對應(yīng)相等的長

度即可求得結(jié)論.

【解答】解：(1),.榮((),2)在拋物線Ci:y=&2+6x+c上，

33

?.?c_--2.

3

該拋物線與X軸正半軸有且只有一個交點A,

.'.b<0,62-4x2x2=