矩陣的初等變換與線性方程組習(xí)題

矩陣的初等變換與線性方程組習(xí)題習(xí)題課一、初等變換初等變換逆變換換法變換倍法變換消法變換三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類(lèi)型的初等變換.二、矩陣的等價(jià)

如果矩陣A可經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱(chēng)矩陣A與矩陣B等價(jià).記作A

B.三、初等矩陣

定義:由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱(chēng)為初等矩陣.

三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)E中第i,j兩行,即ri

rj,得初等方陣:

用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(aij)m

n,相當(dāng)于對(duì)矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i行與第j行對(duì)調(diào)(ri

rj).

用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(aij)m

n,相當(dāng)于對(duì)矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對(duì)調(diào)(ci

cj).以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k

0乘單位矩陣的第i行得初等矩陣E(i(k)).以數(shù)k

0乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j

行加到第i行上(ri+krj),或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci).

以Em(i(k))左乘矩陣A=(aij)m

n,相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i行(ri

k).

以En(i(k))右乘矩陣A=(aij)m

n,相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i列(ci

k).

以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)m

n,相當(dāng)于把A的第j

行乘數(shù)k加到A的第i行上(ri+krj).

以En(ij(k))右乘矩陣A=(aij)m

n,相當(dāng)于把A的第i列乘數(shù)k加到A的第j列上(cj+kci).四、初等矩陣與初等變換的關(guān)系

定理:設(shè)A為可逆方陣,則存在有限個(gè)初等方陣P1,P2,···,Pl,使A=P1,P2,···,Pl.

推論:m

n矩陣A

B的充分必要條件是存在m階可逆方陣P及n階可逆方陣Q,使PAQ=B.利用初等變換求逆陣的方法:即對(duì)n

2n矩陣(A|E),施行初等行變換,當(dāng)把A變成E時(shí),原來(lái)的E就變成了A-1.五、行階梯形矩陣特點(diǎn)是:可畫(huà)出一條階梯線,線的下方全為0;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.六、行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣,其特點(diǎn)是:非零行的非零首元為1,且這些非零元所在列的其它元素都為0.

七、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合,稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi),標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣.任一個(gè)矩陣Am

n總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形

標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).八、矩陣的秩

若在矩陣A中有一個(gè)r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱(chēng)D為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式,稱(chēng)數(shù)r為矩陣A的秩,記作R(A).矩陣秩的性質(zhì)及定理R(AT)=R(A).定理:若A

B,則R(A)=R(B).如果A中有一個(gè)r階子式非零,則R(A)

r.如果A的所有的r+1階子式都為零,則R(A)

r.行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).若A為n階可逆矩陣,則(1)A的最高階非零子式為|A|;(2)R(A)=n;(3)A的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣E;(4)A

E.九、線性方程組有解判別定理及解法

齊次線性方程組的解法:系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣,便可寫(xiě)出其通解.

非齊次線性方程組的解法:增廣矩陣化成行階梯忢矩陣,便可判斷其是否有解.若有解,化成行最簡(jiǎn)形矩陣,便可寫(xiě)出其通解;

定理1:n元線性方程組Am

nx=b

(1)無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(B);(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(B)=n;(3)有無(wú)窮多解的充分必要條件是R(A)=R(B)<n.典型例題例1:求下列矩陣的秩解:對(duì)A施行初等行變換化為階梯形矩陣,A因此,R(A)=R(B)=2.注意:在求矩陣的秩時(shí),初等行,列變換可以同時(shí)兼用,但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形.例2:求非齊次線性方程組的通解.

解:對(duì)方程組的增廣矩陣B行初等行變換,使其成為行最簡(jiǎn)單形.r2–3r1r3–2r1r4–2r1r5–5r1r2–2r4r3

(-1)r2

r3r4+2r2r5+5r2r5–2r4r4

6r4

r3r2–5r3r1–3r3r1–2r2r1+r3r2+r3r4+r3r5–r2由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是n=4,故有一個(gè)自由未知量.在此選x4.令x4=6k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:r1–r2r4–r2r1–2r4r4

r1另解:r2+5r1r3+2r1r2

5r3-3r2r1

(-1)由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是n=4,故有一個(gè)自由未知量.在此選x3.令x3=5k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:

例3:當(dāng)a取何值時(shí),下述齊次線性方程組有非零解,并且求出它的通解.解法一:系數(shù)矩陣A的行列式為當(dāng)a=-1時(shí),把系數(shù)矩陣A化成最簡(jiǎn)形:從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).當(dāng)a=-1或者a=2時(shí),|A|=0,方程組有非零解.當(dāng)a=2時(shí),把系數(shù)矩陣A化成最簡(jiǎn)形:從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).解法二:用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為階梯形

當(dāng)a=–1或者a=2時(shí),R(A)<4,此時(shí)方程組有非零解.可仿照解法一求出它的解.例4:求矩陣解:作分塊矩陣(A|E),施行初等行變換.的逆矩陣.所以

注意:用初等行變換求逆矩陣時(shí),必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.初等變換法解矩陣方程(1)AX=B(2)XA=B例5:設(shè)且AX=A+2X,求矩陣X.解:因?yàn)锳X=A+2X,所以(A–2E)=A,而又所以填空題1.若n元線性方程組有解,且其系數(shù)矩陣的秩為r,則當(dāng)

時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)

時(shí),方程組有無(wú)窮多解.2.齊次線性方程組只有零解,則k應(yīng)