8.6.3平面與平面垂直-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期課件檢測(cè)卷(人教A版2019必修第二冊(cè))

8.6.2平面與平面垂直

問題1

前面我們研究了空間直線、平面的平行關(guān)系，還研究了直線與平面的垂直關(guān)系。你能歸納一下這些位置關(guān)系的研究路徑嗎？現(xiàn)實(shí)背景位置關(guān)系、表示（三種語言）判定性質(zhì)

追問1

你認(rèn)為接下來要研究什么位置關(guān)系？按什么路徑展開研究？現(xiàn)實(shí)背景位置關(guān)系、表示（三種語言）判定性質(zhì)追問2

你能回顧一下空間直線與直線垂直的定義過程嗎？受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)如何給出平面垂直的定義如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點(diǎn)O，過O點(diǎn)分別作

a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ(或直角)，θ

稱為異面直線a，b所成的角(或夾角)。Oa′若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。異面直線a與b垂直也記作a⊥bθ的取值范圍：

θ∈(0°,90°]因此，空間直線與直線垂直的定義以平面內(nèi)兩條直線互相垂直為基礎(chǔ)，而平面內(nèi)兩條相交直線的定義又以兩條相交直線所成的角的定義為基礎(chǔ)：O

在平面內(nèi),條直線相交成四個(gè)角,其中不大于90°的角稱為它們的夾角,如圖.可以發(fā)現(xiàn)，上述定義過程是“同構(gòu)”的。類似地，應(yīng)該先定義“兩個(gè)平面所成角”，再“特殊化”，用“兩個(gè)平面所成角為直角”定義“平面與平面互相垂直”。若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。

問題2

為了定義空間兩個(gè)平面互相垂直，需要先定義“空間兩個(gè)平面所成角”。類比平面內(nèi)兩條相交直線所成角的定義，我們應(yīng)該先干什么？我們通過分析兩個(gè)平面相交的一般情況，類比角的定義，確定先要定義二面角。

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

這條直線叫做二面角的棱,

這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.如圖,ablABPQ記作二面角a-l-b,或二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.面1－棱－面2或點(diǎn)1－棱－點(diǎn)2結(jié)構(gòu)：

追問1

能根據(jù)定義畫出各種類型的二面角嗎？l

AB

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD∠AOBABCEFDOBA二面角

－AB－二面角F－AB－D二面角F－AB－C

問題3

根據(jù)角的研究經(jīng)驗(yàn)，再定義了二面角的概念后，你認(rèn)為接下來應(yīng)該做什么？類比異面直線所成的角、直線與平面所成角的定義，總結(jié)出思想方法：利用“平面角”定義“空間角”。

追問1

你認(rèn)為應(yīng)該如何度量二面角的大小呢？前面的學(xué)習(xí)中有沒有類似的經(jīng)驗(yàn)？

追問2

根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，用“平面角”度量二面角的大小時(shí)，應(yīng)滿足什么條件？唯一確定

追問3

如何才能做到“唯一確定”？（1）“平面角”應(yīng)該和二面角的組成要素有內(nèi)在聯(lián)系；（2）因?yàn)槔馐锹?lián)系兩個(gè)半平面的橋梁，所以平面角的頂點(diǎn)應(yīng)該再棱上；（3）角的兩邊應(yīng)該分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，而且與棱的位置關(guān)系是“唯一確定”的。

追問4

二面角的平面角需要滿足哪些條件？你能證明如此定義的二面角的平面角是唯一確定的嗎？③角的邊都要垂直于二面角的棱①角的頂點(diǎn)在棱上②角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)

AOlBA'B'O'如圖，

，則∠AOB成為二面角的平面角.

它的大小與點(diǎn)O的選取無關(guān).二面角的平面角ablABO·abl

要研究和度量二面角的大小,我們把它轉(zhuǎn)化成從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線的夾角.

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖,以棱l上任一點(diǎn)O為端點(diǎn),在半平面a

內(nèi)作OA⊥l,在半平面b

內(nèi)作OB⊥l,則∠AOB就是二面角a-l-b的平面角.∠AOB的大小就是二面角a-l-b的大小.二面角的大小就由它的平面角確定.ABO·衛(wèi)星軌道平面68.5o我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5o.赤道平面即衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的二面角是68.5.二面角的范圍：[0o,180o]．①二面角的兩個(gè)面重合：

0o；②二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角.

問題4.

觀察教室中的物體,哪些二面角是直二面角?兩個(gè)平面垂直的定義

一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面a

與平面b

垂直,記作:a⊥b.

畫兩個(gè)平面垂直,一般應(yīng)把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直.abab建筑工人砌墻時(shí)，如何使所砌的墻和水平面垂直？應(yīng)用于生活鉛垂線→直線墻面→平面水平面→平面BAC

問題5.

請(qǐng)同學(xué)們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面,再用書面或硬紙板緊靠鉛筆,請(qǐng)問:書面與桌面構(gòu)成直二面角嗎?書面與桌面是否垂直?兩個(gè)平面垂直的判定定理:

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:abll⊥a,l

b,?b⊥a.兩個(gè)平面垂直的判定如何證明？例1.如圖，在正方體中，求證：平面證明：是正方體又例2如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.????AB是圓O直徑PA⊥面ABCBC?面ABCBC⊥ACBC⊥PABC⊥面PAC平面PAC⊥平面PBC證明:設(shè)已知⊙O平面為α平面與平面垂直的性質(zhì)問題6：如圖，設(shè)a

⊥b，

a∩b=m,則b內(nèi)任意一條直線l與m有什么關(guān)系？相應(yīng)的l與a有什么位置關(guān)系？

顯然l與m平行或相交，當(dāng)l//m時(shí)，l//

a;當(dāng)l與m相交時(shí)，l與a也相交。而當(dāng)l垂直m時(shí)，l也垂直a。abmlabml兩平面垂直的性質(zhì)定理:

兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

b,?l⊥a.abml

問題7.

如圖,a⊥b,點(diǎn)P∈a,PQ⊥b.請(qǐng)問,PQ是否一定在a

內(nèi)?你能說出理由嗎?RPQablPQ一定在a

內(nèi).其理由:設(shè)a∩

b

=l,過點(diǎn)P

作PR⊥l,R∈l,a

⊥

b,?PR⊥b,∵過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直,∴PQ與PR重合為同一條直線,即PQ必在a

內(nèi).

例3.

已知平面a,

b,a⊥b,直線a

滿足a⊥b,a

a,試判斷直線a

與平面a

的位置關(guān)系.mabab解:∵a⊥b,設(shè)a∩

b

=m,在a

內(nèi)作b⊥m,

b⊥b.∵a⊥b,?

a∥b,b

a,a

a,?a∥a.即直線a

與平面a

互相平行.

例4已知平面a,b,直線a,且a⊥b,a∩b=AB,a//a,a⊥AB,能判斷直線a

與平面b

的位置關(guān)系嗎?AabBa解:b∵a//a,g過a

作平面g∩a=b,則a//b.而a⊥AB,則b⊥AB,而a⊥b,交線是AB,∴b⊥b,則a⊥b.

兩平面垂直,平行于一平面的直線垂直于另一平面.例5.如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.EPABCE∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB證明：過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC1.在空間中，下列命題正確的是(

)A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行D同步檢測(cè)解析

A項(xiàng)中，垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相交；B項(xiàng)中，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能平行或相交；C項(xiàng)中，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能平行或相交；D項(xiàng)正確.2.已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l D.m⊥nC解析因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.3.如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是________三角形.解析設(shè)P在平面ABC上的射影為O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中點(diǎn)，∴△ABC是直角三角形.直角4.如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求證：BF⊥平面ACFD.證明延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC?平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC?平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.a5.

已知平面a,b,g,且a⊥g,b//g,求證a⊥b.證明:在g

內(nèi)作直線a⊥m,∴a⊥a.∵

a⊥g,過a

作平面d∩b=

b,∵b

//g,∴a//b,b

b,?

b⊥a.bbgad如圖,設(shè)a

與g

的交線為m,m而a⊥a.

b⊥a.6.

已知平面a,b,g滿足a⊥g,b⊥g,a∩b=l.求證l⊥g.agbl證明:如圖,設(shè)a

∩

g

=m,b

∩

g

=n.取P∈g,P

m,P

n,mnP·AB作PA⊥m,PB⊥n.∵

a⊥g,b⊥g,∴PA⊥a,PB⊥b.又∵

a∩b

=l,∴PA⊥l,PB⊥l.PA

g,PB

g,PA∩PB=P,?l⊥g.

7.

如圖,四棱錐ABCD的各條棱長都等于a,E是AD的中點(diǎn).