2023年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)集合A={2,3,a2?2a?3}，B={0,3}，C={2,a}.若B?A，A∩C={2}，則a=A.?3 B.?1 C.1 D.32.若復(fù)數(shù)z=1+i41?i，則z的共軛復(fù)數(shù)A.1?i B.?1+i C.?2+i D.2?i3.已知sinα=35，α∈(π2,π)，tan(π?β)=A.?211 B.211 C.114.已知a=log314，b=2?A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a5.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊.”羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說(shuō)：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，馬主人比豬主人多賠償了斗．(

)A.35 B.95 C.3 6.若x，y滿足約束條件x+y?2≥0,2x?y?4≤0,y≤4,則z=x?y的最小值是(

)A.?6 B.?4 C.0 D.27.如圖是函數(shù)Q(x)的圖象的一部分，設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=1x，則Q(x)是(

)A.f(x)g(x) B.f

(x)g

(x) C.f

(x)?g(x) D.8.已知函數(shù)f(x)=cos2x?sinA.f(x)在(?π2,?π6)上單調(diào)遞減 B.f(x)在(?π4,π12)上單調(diào)遞增9.過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則選拔測(cè)試的安排方案有(

)A.24種 B.36種 C.48種 D.60種10.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC.若△ABC為銳角三角形，且a=3A.92 B.94 C.311.設(shè)雙曲線E：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線MF1交雙曲線E的左支于點(diǎn)A.2316 B.2817 C.4 12.利用“l(fā)nx≤x?1”可得到許多與n(n≥2且n∈N?)有關(guān)的結(jié)論①ln(n+1)<1+12+13A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知m>0，平面向量a=(m2,m+2)，b=(1,1).若a//b14.已知(x+a)5的展開(kāi)式為p5x5+p4x15.P為橢圓x26+y22=1上一點(diǎn)，曲線|x|2+|y|=1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，C，D，若|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=416.“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”是最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似現(xiàn)在的踢足球活動(dòng).已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，且滿足AB=BC=CD=DA=DB=2cm，AC=3cm，則該“鞠”的表面積為_(kāi)_____cm2．三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an?1．

(1)求{an18.(本小題12.0分)

攜號(hào)轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號(hào)碼攜帶、移機(jī)不改號(hào)，即無(wú)需改變自己的手機(jī)號(hào)碼，就能轉(zhuǎn)換運(yùn)營(yíng)商，并享受其提供的各種服務(wù).2019年11月27日，工信部宣布攜號(hào)轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國(guó)范圍正式啟動(dòng).某運(yùn)營(yíng)商為提質(zhì)量保客戶，從運(yùn)營(yíng)系統(tǒng)中選出300名客戶，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為1315，服務(wù)水平的滿意率為23，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人．

(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)；對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)(2)為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量在選出的對(duì)服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意見(jiàn)，用X表示對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望．

附：K2=n(ad?bc)P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，D為AC中點(diǎn)，AB=BC=2,AA1=5．

(1)求證：BD⊥A1D20.(本小題12.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過(guò)F的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與直線x=1分別交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2x2?alnx2．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若22.(本小題10.0分)

在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=22sin(θ+π4)，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π4)=4.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

(1)求圓C及直線l的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線θ=α(ρ>0)分別與圓C和直線l交于23.(本小題12.0分)

已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)=|2x+a|+|2x?b|+1的最小值為3．

(1)求a+b的值；

(2)求證：b+log32(答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={2,3,a2?2a?3}，B={0,3}，C={2,a}，B?A，A∩C={2}，

∴a2?2a?3=0a2?2a?3≠aa≠3，

解得a=?12.【答案】A

【解析】解：z=1+i41?i=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i，

則3.【答案】A

【解析】【分析】

由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanα的值，利用誘導(dǎo)公式求得tanβ，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：∵已知sinα=35，α∈(π2,π)，∴cosα=?1?sin2α=?45，

4.【答案】D

【解析】解：a=log314<log31=0，0<b=2?32=(12)5.【答案】B

【解析】解：由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2，

設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為x，

則x+2x+4x+8x=9，解得：x=35，

故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為4x=125，

所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為125?35=96.【答案】A

【解析】解：作出x，y滿足的可行域如下所示，

聯(lián)立x+y?2=0y=4，解得x=?2，y=4，即A(?2,4)，

z=x?y可化為y=x?z，

當(dāng)直線y=x?z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，有4=?2?z，所以z=?6，即z的最小值為?6．

故選：A．

根據(jù)不等式組作出可行域，把目標(biāo)函數(shù)z=x?y轉(zhuǎn)化為y=x?z，再結(jié)合其幾何意義，得解．

本題考查線性規(guī)劃，熟練掌握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】D

【解析】解：由于函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=1x都是奇函數(shù)，它們的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由Q(x)的圖象可得Q(x)是奇函數(shù)，結(jié)合所給的選項(xiàng)，

f(x)g(x)=xsinx是偶函數(shù)，故排除A；f(x)g(x)=sinxx是偶函數(shù)，故排除B，

而f(x)?g(x)=sinx?1x，當(dāng)x>0且x趨于0時(shí)，函數(shù)的值趨于負(fù)無(wú)窮大，故排除C；

f(x)+g(x)=sinx+1x是奇函數(shù)，

故選：D．

根據(jù)Q(x)8.【答案】C

【解析】解：f(x)=cos2x?sin2x=cos2x，周期T=π，

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,π2+kπ](k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為[π2+kπ,π+kπ](k∈Z)，

對(duì)于A，f(x)在(?π2,?π6)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，f(x)在(?π4,0)上單調(diào)遞增，在(0,π12)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，f(x)在(0,π3)上單調(diào)遞減，故C正確，

對(duì)于D，9.【答案】B

【解析】解：①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項(xiàng)測(cè)試有A33=6種安排方法，

此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；

②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有C21種選擇，超重耐力在第四、第五天有C21種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列A22，則有C21C21A22=8種安排方法，

此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；

③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有C2110.【答案】D

【解析】解：∵(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，

∴(b?c)2=a2?bc，即b2+c2?a2=bc，

∴cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

∵0<A<π，

∴A=π3，

又∵a=3，bsinB=csinC=asinA=2311.【答案】B

【解析】解：如下圖所示：

根據(jù)題意可知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，A(?1,0)，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，由NA//MF2可知：

|F1N||F1M|=|F1A||F1F2|=c?a2c=14，

所以F1M=4F1N，即(x1+2,y1)=4(x12.【答案】C

【解析】解：令f(x)=x?1?lnx，則f′(x)=1?1x=x?1x，

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)=x?1?lnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故f(x)=x?1?lnx在x=1處取得極小值，也時(shí)最小值，f(x)min=0，

故lnx≤x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，

對(duì)于①，令x=1+1n≠1，所以ln(1+1n)<1+1n?1=1n，

故ln(1+11)+ln(1+12)+?+ln(1+1n)<1+12+?+1n，

其中l(wèi)n(1+11)+ln(1+12)+?+ln(1+1n)=ln2?ln1+ln3?ln2+?+ln(n+1)?lnn=ln(n+1)?ln1=ln(n+1)，

所以ln(n+1)<1+12+13+?+1n，故①正確；

對(duì)于②，將lnx≤x?1中的x替換為1?x，可得ln(1?x)≤1?x?1=?x，x<1，

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

令x=1n≠0，可得ln(1?1n)<?1n，

所以lnn?ln(n?1)>1n，

故ln2?ln1+ln3?ln2+?+lnn?ln(n?1)>12+13+?+1n，

其中l(wèi)n2?ln1+ln3?ln2+?+lnn?ln(n?1)=lnn?ln1=lnn

所以lnn>12+13+?+1n，故②正確；

對(duì)于③，將lnx≤x?1中的x替換為1+1213.【答案】2

【解析】解：∵m>0，平面向量a=(m2,m+2)，b=(1,1)，

∴a//b，可得m2=m+2，解得m=2(?1舍)，

即實(shí)數(shù)m的值是214.【答案】32或?1【解析】解：(x+a)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5rx5?rar，r=0，1，2，3，4，5，

令r=2，則T3=C52x3a2=10a2x3，即p3=10a2，15.【答案】78【解析】解：曲線|x|2+|y|=1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，C，D，則不妨設(shè)A(?2,0)，B(2,0)，C(0,?1)，D(0,1)，

則A，B為橢圓x26+y22=1的焦點(diǎn)，

∴|PA|+|PB|=26，

又|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=46，則|PC|+|PD|=26，

且|CD|=2<|PC|+|PD|，

∴P在以C、D為焦點(diǎn)的橢圓上，且2a=26c=1c2=a2?b2，解得a=6b=5，

∴P為橢圓x25+y26=1上一點(diǎn)，

聯(lián)立x16.【答案】283【解析】解：由已知得△ABD，△CBD均為等邊三角形，如圖所示，

設(shè)球心為O，△BCD的中心為O′，取BD中點(diǎn)F，連接AF，CF，OB，O′B，AO，

則AF⊥BD，CF⊥BD，而AF∩CF=F，∴BD⊥平面ACF，

且求得AF=CF=3cm，而AC=3cm，∴cos∠AFC=3+3?92×3×3=?12，則∠AFC=120°，

在平面AFC中，過(guò)點(diǎn)A作CF的垂線，與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，

由BD⊥平面ACF，得BD⊥AE，故AE⊥平面BCD，

過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于點(diǎn)G，則四邊形O′EGO是矩形，

而O′B=BCsin60°×23=233cm，O′F=12O′B=33cm，

設(shè)球的半徑為R，OO′=x(cm)，則由OO′2+O′B2=OB2，OA2=AG2+GO2，

17.【答案】解：(1)Sn=2an?1．

n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2an?1?(2an?1?1).化為：an=2an?1．

n=1時(shí)，a1=S1=2a1?1，解得a1=1．

∴數(shù)列【解析】(1)Sn=2an?1.n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?118.【答案】解：(1)有題可得對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意的有300×1315=260人，對(duì)服務(wù)水平滿意的有300×2對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)18080260對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)202040合計(jì)200100300經(jīng)計(jì)算得K2=300×(180×20?80×20)2200×100×260×40=7513≈5.769<6.635，

所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平滿意與服務(wù)水平滿意有關(guān)；

(2)X的可能值為0，1，2，

又P(X=0)=X012P3163219則X的期望E(X)=0×316495【解析】(1)利用題意可完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出K2，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望．

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，屬中檔題．19.【答案】證明：(1)因?yàn)锳B=BC，D為AC中點(diǎn)，

所以BD⊥AC，

又因?yàn)槊鍭A1C1C⊥面ABC，面AA1C1C∩面ABC=AC，BD?面ABC，

所以BD⊥平面AA1C1C，

又A1D?平面AA1C1C，所以BD⊥A1D；

解：(2)選①，取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，CE，

則A1E//DC且A1E=DC，

所以四邊形A1DCE為平行四邊形，所以A1D//CE，

因?yàn)锳1B1=B1C1，E為A1C1的中點(diǎn)，

所以A1C1⊥B1E，

又A1C1⊥B1C，B1C∩B1E=B1，B1C，B1E?平面CB1E，

所以A1C1⊥平面CB1E，

又AC//A1C1，所以AC⊥平面CB1E，

又CE?平面CB1E，所以AC⊥CE，

因?yàn)锳1D//CE，所以AC⊥A1D，

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

由AB=BC=2,AA1=5，得AC=2，A1D=2，

則D(0,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,0,0)，C1(?2,0,2)，則CB=(1,1,0),CC1=(?1,0,2)，

因?yàn)椤窘馕觥?1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥平面AA1C1C，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)選①，取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，CE，證明AC⊥A1D，再以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；

選②，取A1C120.【答案】解：(1)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，

當(dāng)x≥0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于到x=?1的距離，軌跡為拋物線，

設(shè)拋物線方程為y2=2px，

則p2=1，所以p=2，

所以y2=4x，

當(dāng)x<0時(shí)，y=0滿足條件．

綜上所述，軌跡方程為：x≥0時(shí)，y2=4x；x<0時(shí)，y=0，(x<0)；

(2)設(shè)直線PQ的方程為x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立方程y2=4xx=my+1，

整理得：y2?4my?4=0，Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m，y1y2=?4，

直線OP的方程為y=y1x1x=4y1x，同理：直線OQ的方程為y=4y2x，

令x=1得，A(1,4y【解析】(1)考慮x≥0和x<0兩種情況，x≥0時(shí)確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到p2=1，得到答案；

(2)設(shè)直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算中點(diǎn)坐標(biāo)為T(1,?2m)，半徑為r=2m2+1，得到圓方程為(x?121.【答案】解：(1)f(x)的定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)．

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=2x2?2alnx，則f′(x)=4x?2ax=4(x2?12a)x，

當(dāng)a≤0時(shí)f′(x)>0，可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，得x>2a2，今f′(x)<0，得0<x<2a2．

因?yàn)閒(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，

所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0)；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?2a2,0)，(2a2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,?2a2)，(0,2a2)；

(2)令