2023-2024學年北京市西城外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市西城外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷1．（3分）如圖圖形中，是既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝2 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣23．（3分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位4．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，3），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則（）A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內(nèi) C．點A在⊙O外 D．點A與⊙O的位置關系無法確定5．（3分）關于二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸交點個數(shù)的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個交點 B．有一個交點 C．沒有交點 D．無法判斷6．（3分）點A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法比較7．（3分）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點D為圓心，DO長為半徑畫弧，交⊙O于B，C兩點；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列四個結論中錯誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD8．（3分）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點A、D且與邊BC相切于點E，分別交AB、DC于點M、N．動點P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個單位的速度做連續(xù)勻速運動．設運動的時間為x，圓心O與P點的距離為y，圖2記錄了一段時間里y與x的函數(shù)關系，在這段時間里P點的運動路徑為（）A．從D點出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BC B．從B點出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DA C．從A點出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN D．從C點出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉90°得到點P'，則P'的坐標為．10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么abc0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．11．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k＝．12．（2分）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACB＝°．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為．14．（2分）一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對的圓周角為．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為A（1，0），等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上，∠ABC＝90°，點B在點A的右側，點C在第一象限．將△ABC繞點A逆時針旋轉75°，如果點C的對應點E恰好落在y軸的正半軸上，那么邊AB的長為．16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM，若⊙O的半徑為6，則CM長的最大值是．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點P在直線CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴點B在⊙A上．又∵點C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABP＝∠BAC．18．（5分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程兩個根的絕對值相等，求此時m的值．19．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，且E是CD的中點．（1）求證：∠ADC＝∠BDO；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半徑．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；（3）結合函數(shù)圖象，直接寫出﹣3≤x≤0時y的取值范圍．21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．22．（5分）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？23．（6分）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練．在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當鉛球運行的水平距離為3米時，達到最大高度米的B處．小丁此次投擲的成績是多少米？24．（6分）如圖，BC是⊙O直徑，點A是⊙O上一點，∠ABC＝22.5°，點D為BC延長線上一點，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點A作AE⊥BD交⊙O于點E，EO的延長線交AB于點F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長．25．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求這個二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）若點A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2ax+a+1（a＞0）上，且y1＜y2，求n的取值范圍．26．（6分）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．點D為△ABC內(nèi)一點，且有∠BDA＝90°，點P為BC中點，連接DP．（1）連結AP并證明∠BDP＝45°；（2）寫出線段AD，BD，PD之間的數(shù)量關系，并證明．27．（6分）對于平面直角坐標系：xOy內(nèi)任意一點P．過P點作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，連接MN，則稱MN的長度為點P的垂點距離，記為h．特別地，點P與原點重合時，垂點距離為0．（1）點A（2，0），B（4，4），C（﹣2，）的垂點距離分別為，，．（2）點P在以Q（，1）為圓心，半徑為3的⊙Q上運動，求出點P的垂點距離h的取值范圍；（3）點T為直線l：y＝x+6位于第二象限內(nèi)的一點，對于點T的垂點距離h的每個值有且僅有一個點T與之對應，求點T的橫坐標t的取值范圍．

2023-2024學年北京市西城外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析1．（3分）如圖圖形中，是既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)定義即可判斷．【解答】解：A．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關概念是解題關鍵．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝2 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣2【分析】根據(jù)拋物線的頂點式，可以寫出該拋物線的對稱軸，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x+1）2+2，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是由頂點式可以直接寫出拋物線的對稱軸．3．（3分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的頂點坐標為（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的頂點坐標為（1，﹣2），∴將拋物線y＝﹣3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，可得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故選：D．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關鍵．4．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，3），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則（）A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內(nèi) C．點A在⊙O外 D．點A與⊙O的位置關系無法確定【分析】先求出點A到圓心O的距離，再根據(jù)點與圓的位置依據(jù)判斷可得．【解答】解：∵點A（4，3）到圓心O的距離OA＝＝5，∴OA＝r＝5，∴點A在⊙O上，故選：A．【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．5．（3分）關于二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸交點個數(shù)的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個交點 B．有一個交點 C．沒有交點 D．無法判斷【分析】令y＝0，得到關于x的一元二次方程，然后由Δ＞0即可判斷．【解答】解：令y＝0，則x2﹣3x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸有兩個交點，故選：A．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握方程的根的情況和拋物線與x軸交點的個數(shù)間的關系是解題的關鍵．6．（3分）點A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法比較【分析】由拋物線的解析式得出對稱軸，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答可得．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c，∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝﹣＝2，∵點A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，且點B離對稱軸較遠，∴y1＜y2．故選：C．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出拋物線上離對稱軸水平距離越大，函數(shù)值越大是解題的關鍵．7．（3分）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點D為圓心，DO長為半徑畫弧，交⊙O于B，C兩點；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列四個結論中錯誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【分析】根據(jù)作圖過程可知：AD是⊙O的直徑，＝，根據(jù)垂徑定理即可判斷A、B、C正確，再根據(jù)DC＝OD，可得AD＝2CD，進而可判斷D選項．【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴A選項正確；∵BD＝CD，∴＝，∴∠BAD＝∠CBD，∴B選項正確；根據(jù)垂徑定理，得AD⊥BC，∴C選項正確；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D選項錯誤．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖、含30度角的直角三角形、垂徑定理、圓周角定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．8．（3分）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點A、D且與邊BC相切于點E，分別交AB、DC于點M、N．動點P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個單位的速度做連續(xù)勻速運動．設運動的時間為x，圓心O與P點的距離為y，圖2記錄了一段時間里y與x的函數(shù)關系，在這段時間里P點的運動路徑為（）A．從D點出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BC B．從B點出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DA C．從A點出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN D．從C點出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB【分析】結合圖1分別畫出A、B、C、D四種函數(shù)圖象，即可判斷．【解答】解：根據(jù)畫出的函數(shù)的圖象，C符合，故選：C．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉90°得到點P'，則P'的坐標為（3，﹣2）．【分析】如圖，過P、P′兩點分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A、B，由旋轉90°可知，△OPA≌△OP′B，則P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，由此確定點P′的坐標．【解答】解：如圖，過P、P′兩點分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A、B，∵線段OP繞點O順時針旋轉90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠PAO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′（AAS），即P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故答案為：（3，﹣2）．【點評】本題考查了點的坐標與旋轉變換的關系．關鍵是根據(jù)旋轉的條件，確定全等三角形．10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么abc＞0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸及拋物線與y軸交點的位置即可得到a、b、c符號，從而可得答案．【解答】解：拋物線開口向上，∴a＞0，對稱軸直線在y軸右側，∴﹣＞0，∴b＜0，而拋物線與y軸交點在負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故答案為：＞．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握a、b、c符號的判定方法．11．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k＝﹣1．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，解得k＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．12．（2分）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACB＝40°．【分析】連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝90°，則利用互余計算出∠D＝40°，然后再利用圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖，∵AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案為40．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1．【分析】關于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n交點的橫坐標．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴關于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1．故答案為x1＝﹣3，x2＝1．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2分）一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對的圓周角為30°或150°．【分析】根據(jù)⊙O的一條弦長恰好等于半徑知：這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形．所以這條弦所對的圓心角是60°，再根據(jù)弦所對的圓周角有兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意，弦所對的圓心角是60°，①當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，則圓周角＝×60°＝30°；②當圓周角的頂點在劣弧上時，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，和第一種情況的圓周角是互補，等于150°．故答案為：30°或150°．【點評】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是注意一題多解．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為A（1，0），等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上，∠ABC＝90°，點B在點A的右側，點C在第一象限．將△ABC繞點A逆時針旋轉75°，如果點C的對應點E恰好落在y軸的正半軸上，那么邊AB的長為．【分析】依據(jù)旋轉的性質(zhì)，即可得到∠OAE＝60°，再根據(jù)OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE＝2，AC＝2．最后在Rt△ABC中，可得到．【解答】解：依題可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°，在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，∴AE＝2，∴AC＝2．∴在Rt△ABC中，．故答案為：．【點評】本題主要考查了坐標與圖形變化，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運用，圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉后的點的坐標．16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM，若⊙O的半徑為6，則CM長的最大值是3+3．【分析】根據(jù)題意得出點M的移動軌跡，再根據(jù)圓外一點到圓上一點最大距離進行計算即可．【解答】解：如圖，當點P在⊙O上移動時，AP的中點M的軌跡是以OA為直徑的⊙O′，因此CO′交⊙O′于點M，此時CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝6，OO′＝OA＝3＝O′M，在Rt△O′OC中，OC＝6，OO′＝3，∴O′C＝＝3，∴CM＝CO′+O′M＝3+3，故答案為：3+3．【點評】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理，理解“圓外一點到圓上任意一點的最大距離”的計算方法是解決問題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點P在直線CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點B在⊙A上．又∵點C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABP＝∠BAC．【分析】（1）根據(jù)作法即可補全圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和同弧所對圓周角等于該弧所對的圓心角的一半即可完成下面的證明．【解答】解：（1）如圖，即為補全的圖形；（2）證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點B在⊙A上．又∵點C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半），∴∠ABP＝∠BAC．故答案為：∠BPC，同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．18．（5分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程兩個根的絕對值相等，求此時m的值．【分析】（1）先根據(jù)題意求出Δ的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與根的判別式Δ的關系即可得出結論；（2）利用因式分解法求得方程的解，然后根據(jù)題意列出關于m的方程，解方程即可得到結論．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+3）﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，∴（x﹣m﹣2）（x﹣1）＝0，∴x1＝m+2，x2＝1．∵方程兩個根的絕對值相等，∴m+2＝±1．∴m＝﹣3或﹣1．【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，掌握判別式Δ與0的關系判定方程根的情況是解決本題的關鍵．19．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，且E是CD的中點．（1）求證：∠ADC＝∠BDO；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）由垂徑定理和圓周角定理即可證得：∠ADC＝∠BDO；（2）設OO半徑為r，在Rt△OED中用勾股定理即可求得⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD＝OC，E是CD的中點，∴OE⊥CD，∴弧AD＝弧AC，∴∠ADC＝∠ABD，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠ABD，∴∠ADC＝∠BDO；（2）解：設OO半徑為r，∴OC＝OD＝OA＝r，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∵CD＝4，E點是CD的中點，∴DE＝CD＝2．由（1）知，OE⊥CD，∴∠OED＝90°，在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，∴OO半徑為3．【點評】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理，連接OC構造垂徑定理是解決此題的關鍵．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；（3）結合函數(shù)圖象，直接寫出﹣3≤x≤0時y的取值范圍．【分析】（1）利用配方法可把拋物線解析式化頂點式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得拋物線與x軸的交點坐標為（﹣3，0），（1，0），再確定拋物線的頂點坐標和與y軸的交點坐標，然后利用描點法畫二次函數(shù)圖象；（3）結合函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3，＝﹣（x+1）2+4；（2）拋物線的頂點坐標為（﹣1，4），當x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，則拋物線與y軸的交點坐標為（0，3）；當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，則拋物線與x軸的交點坐標為（﹣3，0），（1，0）；如圖，（3）由圖象可得，當﹣3≤x≤0時，0≤y≤4．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，證△EAB≌△DAC即可；（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC；（2）如圖，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD為等邊三角形，∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識點，能靈活運用性質(zhì)定理進行推理是解此題的關鍵．22．（5分）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【分析】（1）解答此題利用的數(shù)量關系是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)，設出未知數(shù)，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）＝第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）設捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得，10000×（1+x）2＝12100，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）；答：捐款增長率為10%．（2）12100×（1+10%）＝13310元．答：第四天該單位能收到13310元捐款．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次降價的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)．23．（6分）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練．在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當鉛球運行的水平距離為3米時，達到最大高度米的B處．小丁此次投擲的成績是多少米？【分析】由點A、B的坐標求出函數(shù)表達式y(tǒng)＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，即可求解．【解答】解：建立平面直角坐標系如圖所示．則點A的坐標為（0，），頂點為B（3，）．設拋物線的表達式為y＝a（x﹣3）2+，∵點A（0，）在拋物線上，∴a（0﹣3）2+＝，解得a＝﹣．∴拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣3）2+令y＝0，則﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝8或x＝﹣2（不合實際，舍去）．即OC＝8．答：小丁此次投擲的成績是8米．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應用，通過建立坐標系，確定相應點的坐標即可求解．24．（6分）如圖，BC是⊙O直徑，點A是⊙O上一點，∠ABC＝22.5°，點D為BC延長線上一點，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點A作AE⊥BD交⊙O于點E，EO的延長線交AB于點F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長．【分析】（1）連接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，從而得到∠OAD＝90°，得證DA是⊙O的切線；（2）由AE⊥BD和直徑為4結合垂徑定理求得∠OAE、∠E和AE的長度，再結合∠ABC的度數(shù)求出∠AFE和∠FAE的大小，從而求出線段EF的長．【解答】（1）證明：連接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切線．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直徑為4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠FAE，∴EF＝AE＝2．【點評】本題考查了切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的三邊關系和等腰三角形的判定與性質(zhì)，第一問解題的關鍵是利用圓周角定理求出∠AOD的度數(shù)和利用等邊對等角求出∠D的大小，第二問解題的關鍵是通過垂徑定理判斷出∠AFE＝∠FAE，然后利用等角對等邊求出線段EF的長度．25．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求這個二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）若點A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2ax+a+1（a＞0）上，且y1＜y2，求n的取值范圍．【分析】（1）先配成頂點式，求出二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標；（2）分兩種情況，①若A（n+1，y1）在直線x＝1的右邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，列不等式求出解集，②若A（n+1，y1）在直線x＝1的左邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，列不等式求出解集．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1．＝a（x2﹣2x+1）+1＝a（x﹣1）2+1，∴這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線：x＝1，頂點坐標（1，1）；（2）∵a＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上，①若A（n+1，y1）在直線x＝1的右邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，由題意可得，1﹣（n﹣2）＞（n+1）﹣1，∴0＜n＜，②若A（n+1，y1）在直線x＝1的左邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，由題意可得，對稱軸更靠近n+1，即1＜n﹣0.5所以n＞1.5．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握這兩個知識點的綜合應用是解題關鍵．26．（6分）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．點D為△ABC內(nèi)一點，且有∠BDA＝90°，點P為BC中點，連接DP．（1）連結AP并證明∠BDP＝45°；（2）寫出線段AD，BD，PD之間的數(shù)量關系，并證明．【分析