2023-2024學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷1．（3分）如圖圖形中，是既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝2 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣23．（3分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（4，3），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則（）A．點(diǎn)A在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)A在⊙O外 D．點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系無法確定5．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個(gè)交點(diǎn) B．有一個(gè)交點(diǎn) C．沒有交點(diǎn) D．無法判斷6．（3分）點(diǎn)A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法比較7．（3分）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點(diǎn)D為圓心，DO長為半徑畫弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD8．（3分）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D且與邊BC相切于點(diǎn)E，分別交AB、DC于點(diǎn)M、N．動(dòng)點(diǎn)P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個(gè)單位的速度做連續(xù)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，圓心O與P點(diǎn)的距離為y，圖2記錄了一段時(shí)間里y與x的函數(shù)關(guān)系，在這段時(shí)間里P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為（）A．從D點(diǎn)出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BC B．從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DA C．從A點(diǎn)出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN D．從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'，則P'的坐標(biāo)為．10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么abc0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．11．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝．12．（2分）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACB＝°．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關(guān)于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為．14．（2分）一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角為．15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，0），等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上，∠ABC＝90°，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)C在第一象限．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在y軸的正半軸上，那么邊AB的長為．16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM，若⊙O的半徑為6，則CM長的最大值是．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABP＝∠BAC．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程兩個(gè)根的絕對(duì)值相等，求此時(shí)m的值．19．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，且E是CD的中點(diǎn)．（1）求證：∠ADC＝∠BDO；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半徑．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出﹣3≤x≤0時(shí)y的取值范圍．21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．22．（5分）雅安地震牽動(dòng)著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？23．（6分）為了在校運(yùn)會(huì)中取得更好的成績，小丁積極訓(xùn)練．在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)，達(dá)到最大高度米的B處．小丁此次投擲的成績是多少米？24．（6分）如圖，BC是⊙O直徑，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝22.5°，點(diǎn)D為BC延長線上一點(diǎn)，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD交⊙O于點(diǎn)E，EO的延長線交AB于點(diǎn)F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長．25．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2ax+a+1（a＞0）上，且y1＜y2，求n的取值范圍．26．（6分）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠BDA＝90°，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，連接DP．（1）連結(jié)AP并證明∠BDP＝45°；（2）寫出線段AD，BD，PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．27．（6分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系：xOy內(nèi)任意一點(diǎn)P．過P點(diǎn)作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，連接MN，則稱MN的長度為點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離，記為h．特別地，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，垂點(diǎn)距離為0．（1）點(diǎn)A（2，0），B（4，4），C（﹣2，）的垂點(diǎn)距離分別為，，．（2）點(diǎn)P在以Q（，1）為圓心，半徑為3的⊙Q上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)P的垂點(diǎn)距離h的取值范圍；（3）點(diǎn)T為直線l：y＝x+6位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)T的垂點(diǎn)距離h的每個(gè)值有且僅有一個(gè)點(diǎn)T與之對(duì)應(yīng)，求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市西城外國語學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析1．（3分）如圖圖形中，是既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義即可判斷．【解答】解：A．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝2 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣2【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可以寫出該拋物線的對(duì)稱軸，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x+1）2+2，∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由頂點(diǎn)式可以直接寫出拋物線的對(duì)稱軸．3．（3分）將拋物線y＝﹣3x2平移，得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正確的是（）A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位【分析】找到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），∴將拋物線y＝﹣3x2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，可得到拋物線y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（4，3），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則（）A．點(diǎn)A在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)A在⊙O外 D．點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系無法確定【分析】先求出點(diǎn)A到圓心O的距離，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置依據(jù)判斷可得．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，3）到圓心O的距離OA＝＝5，∴OA＝r＝5，∴點(diǎn)A在⊙O上，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．5．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個(gè)交點(diǎn) B．有一個(gè)交點(diǎn) C．沒有交點(diǎn) D．無法判斷【分析】令y＝0，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后由Δ＞0即可判斷．【解答】解：令y＝0，則x2﹣3x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握方程的根的情況和拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（3分）點(diǎn)A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法比較【分析】由拋物線的解析式得出對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答可得．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x＝﹣＝2，∵點(diǎn)A（0，y1），B（5，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象上，且點(diǎn)B離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，∴y1＜y2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出拋物線上離對(duì)稱軸水平距離越大，函數(shù)值越大是解題的關(guān)鍵．7．（3分）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點(diǎn)D為圓心，DO長為半徑畫弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【分析】根據(jù)作圖過程可知：AD是⊙O的直徑，＝，根據(jù)垂徑定理即可判斷A、B、C正確，再根據(jù)DC＝OD，可得AD＝2CD，進(jìn)而可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴A選項(xiàng)正確；∵BD＝CD，∴＝，∴∠BAD＝∠CBD，∴B選項(xiàng)正確；根據(jù)垂徑定理，得AD⊥BC，∴C選項(xiàng)正確；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、含30度角的直角三角形、垂徑定理、圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．8．（3分）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D且與邊BC相切于點(diǎn)E，分別交AB、DC于點(diǎn)M、N．動(dòng)點(diǎn)P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個(gè)單位的速度做連續(xù)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，圓心O與P點(diǎn)的距離為y，圖2記錄了一段時(shí)間里y與x的函數(shù)關(guān)系，在這段時(shí)間里P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為（）A．從D點(diǎn)出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BC B．從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DA C．從A點(diǎn)出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN D．從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB【分析】結(jié)合圖1分別畫出A、B、C、D四種函數(shù)圖象，即可判斷．【解答】解：根據(jù)畫出的函數(shù)的圖象，C符合，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'，則P'的坐標(biāo)為（3，﹣2）．【分析】如圖，過P、P′兩點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A、B，由旋轉(zhuǎn)90°可知，△OPA≌△OP′B，則P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，由此確定點(diǎn)P′的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過P、P′兩點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A、B，∵線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠PAO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′（AAS），即P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故答案為：（3，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的條件，確定全等三角形．10．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么abc＞0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】根據(jù)拋物線開口方向、對(duì)稱軸及拋物線與y軸交點(diǎn)的位置即可得到a、b、c符號(hào)，從而可得答案．【解答】解：拋物線開口向上，∴a＞0，對(duì)稱軸直線在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∴b＜0，而拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握a、b、c符號(hào)的判定方法．11．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝﹣1．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，解得k＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．12．（2分）如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACB＝40°．【分析】連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝90°，則利用互余計(jì)算出∠D＝40°，然后再利用圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖，∵AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案為40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關(guān)于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1．【分析】關(guān)于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx與直線y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴關(guān)于x的方程ax2+bx＝mx+n的解為x1＝﹣3，x2＝1．故答案為x1＝﹣3，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2分）一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角為30°或150°．【分析】根據(jù)⊙O的一條弦長恰好等于半徑知：這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形．所以這條弦所對(duì)的圓心角是60°，再根據(jù)弦所對(duì)的圓周角有兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意，弦所對(duì)的圓心角是60°，①當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，則圓周角＝×60°＝30°；②當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時(shí)，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，和第一種情況的圓周角是互補(bǔ)，等于150°．故答案為：30°或150°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意一題多解．15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，0），等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上，∠ABC＝90°，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)C在第一象限．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在y軸的正半軸上，那么邊AB的長為．【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到∠OAE＝60°，再根據(jù)OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE＝2，AC＝2．最后在Rt△ABC中，可得到．【解答】解：依題可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°，在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，∴AE＝2，∴AC＝2．∴在Rt△ABC中，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，連接CM，若⊙O的半徑為6，則CM長的最大值是3+3．【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最大距離進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上移動(dòng)時(shí)，AP的中點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)A為直徑的⊙O′，因此CO′交⊙O′于點(diǎn)M，此時(shí)CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝6，OO′＝OA＝3＝O′M，在Rt△O′OC中，OC＝6，OO′＝3，∴O′C＝＝3，∴CM＝CO′+O′M＝3+3，故答案為：3+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，理解“圓外一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的最大距離”的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABP＝∠BAC．【分析】（1）根據(jù)作法即可補(bǔ)全圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和同弧所對(duì)圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半即可完成下面的證明．【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半），∴∠ABP＝∠BAC．故答案為：∠BPC，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程兩個(gè)根的絕對(duì)值相等，求此時(shí)m的值．【分析】（1）先根據(jù)題意求出Δ的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與根的判別式Δ的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）利用因式分解法求得方程的解，然后根據(jù)題意列出關(guān)于m的方程，解方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+3）﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，∴（x﹣m﹣2）（x﹣1）＝0，∴x1＝m+2，x2＝1．∵方程兩個(gè)根的絕對(duì)值相等，∴m+2＝±1．∴m＝﹣3或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，掌握判別式Δ與0的關(guān)系判定方程根的情況是解決本題的關(guān)鍵．19．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，且E是CD的中點(diǎn)．（1）求證：∠ADC＝∠BDO；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）由垂徑定理和圓周角定理即可證得：∠ADC＝∠BDO；（2）設(shè)OO半徑為r，在Rt△OED中用勾股定理即可求得⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD＝OC，E是CD的中點(diǎn)，∴OE⊥CD，∴弧AD＝弧AC，∴∠ADC＝∠ABD，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠ABD，∴∠ADC＝∠BDO；（2）解：設(shè)OO半徑為r，∴OC＝OD＝OA＝r，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∵CD＝4，E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CD＝2．由（1）知，OE⊥CD，∴∠OED＝90°，在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，∴OO半徑為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理，連接OC構(gòu)造垂徑定理是解決此題的關(guān)鍵．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3．（1）將二次函數(shù)化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出﹣3≤x≤0時(shí)y的取值范圍．【分析】（1）利用配方法可把拋物線解析式化頂點(diǎn)式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0），再確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3，＝﹣（x+1）2+4；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0）；如圖，（3）由圖象可得，當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，0≤y≤4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，證△EAB≌△DAC即可；（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC；（2）如圖，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD為等邊三角形，∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．22．（5分）雅安地震牽動(dòng)著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【分析】（1）解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）＝第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）設(shè)捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得，10000×（1+x）2＝12100，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）；答：捐款增長率為10%．（2）12100×（1+10%）＝13310元．答：第四天該單位能收到13310元捐款．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次降價(jià)的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)．23．（6分）為了在校運(yùn)會(huì)中取得更好的成績，小丁積極訓(xùn)練．在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)，達(dá)到最大高度米的B處．小丁此次投擲的成績是多少米？【分析】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，即可求解．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），頂點(diǎn)為B（3，）．設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣3）2+，∵點(diǎn)A（0，）在拋物線上，∴a（0﹣3）2+＝，解得a＝﹣．∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣3）2+令y＝0，則﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝8或x＝﹣2（不合實(shí)際，舍去）．即OC＝8．答：小丁此次投擲的成績是8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，通過建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．24．（6分）如圖，BC是⊙O直徑，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝22.5°，點(diǎn)D為BC延長線上一點(diǎn)，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD交⊙O于點(diǎn)E，EO的延長線交AB于點(diǎn)F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長．【分析】（1）連接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，從而得到∠OAD＝90°，得證DA是⊙O的切線；（2）由AE⊥BD和直徑為4結(jié)合垂徑定理求得∠OAE、∠E和AE的長度，再結(jié)合∠ABC的度數(shù)求出∠AFE和∠FAE的大小，從而求出線段EF的長．【解答】（1）證明：連接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切線．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直徑為4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠FAE，∴EF＝AE＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的判定與性質(zhì)，第一問解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理求出∠AOD的度數(shù)和利用等邊對(duì)等角求出∠D的大小，第二問解題的關(guān)鍵是通過垂徑定理判斷出∠AFE＝∠FAE，然后利用等角對(duì)等邊求出線段EF的長度．25．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2ax+a+1（a＞0）上，且y1＜y2，求n的取值范圍．【分析】（1）先配成頂點(diǎn)式，求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分兩種情況，①若A（n+1，y1）在直線x＝1的右邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，列不等式求出解集，②若A（n+1，y1）在直線x＝1的左邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，列不等式求出解集．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1．＝a（x2﹣2x+1）+1＝a（x﹣1）2+1，∴這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線：x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）；（2）∵a＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上，①若A（n+1，y1）在直線x＝1的右邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，由題意可得，1﹣（n﹣2）＞（n+1）﹣1，∴0＜n＜，②若A（n+1，y1）在直線x＝1的左邊，B（n﹣2，y2）在直線x＝1的左邊，由題意可得，對(duì)稱軸更靠近n+1，即1＜n﹣0.5所以n＞1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．26．（6分）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠BDA＝90°，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，連接DP．（1）連結(jié)AP并證明∠BDP＝45°；（2）寫出線段AD，BD，PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析