人教版九年級數(shù)學上冊《實際問題與一元二次方程（第3課時）》示范教學課件

實際問題與一元二次方程（第3課時）上節(jié)課，我們學習了如何用一元二次方程解決平均變化率問題，這節(jié)課我們繼續(xù)探究實際問題與一元二次方程——幾何圖形問題．數(shù)學上常見的圖形有三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、正六邊形、圓等，求它們的面積和周長都是常見的計算問題．探究如圖，要設計一本書的封面，封面長27

cm，寬21

cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（結果保留小數(shù)點后一位）？分析：封面的長寬之比是27∶21＝_________，中央的矩形的長寬之比也應是__________．9∶79∶7設中央的矩形的長和寬分別是9a

cm

和7a

cm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．思考：根據(jù)這個比例關系，可以怎樣設未知數(shù)？

解：設上、下邊襯的寬均為9x

cm，左、右邊襯的寬均為7x

cm，則中央的矩形的長為__________cm，寬為__________cm．

要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x)(27－18x)(21－14x)＝×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0．解方程，得x＝．思考：方程的哪個根符合實際意義？為什么？已經(jīng)解方程得到x＝，已知這本書的封面長27

cm，寬21

cm，如果取x＝，則上、下邊襯的寬度之和會超過封面的長度，所以只有x＝符合實際意義．根據(jù)取定的x的值，求出上、下邊襯的寬均為__________cm，左、右邊襯的寬均為__________cm．1.81.4思考如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？請試一試．解：設中央矩形的長、寬分別為9x

cm，7x

cm．根據(jù)題意，得9x·7x＝×27×21．解方程，得x1≈2.6，x2≈－2.6（不合題意，舍去）．所以上、下邊襯的寬均為(27－9×2.6)×0.5＝1.8（cm），左、右邊襯的寬均為(21－7×2.6)×0.5＝1.4（cm）．總結已知圖形的面積列一元二次方程，除了要準確掌握幾何圖形的面積、體積或周長的計算方法外，關鍵是能用未知數(shù)表示相關的長度，從而列方程求解．列方程解應用題的關鍵是認真讀題，找出題中的相等關系，特別注意需要檢驗方程的根是否符合實際意義．例1

某農場有一塊長為40m、寬為32m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路．要使種植面積為1

140

m2

，求小路的寬．分析：方法1：將小路分別平移到大矩形的兩邊，種植面積不變．由題意，設小路的寬為xm，則矩形種植面積的長為(40－x)m，寬為(32－x)m．根據(jù)矩形的面積計算公式列方程求解即可．解：方法一：設小路的寬為xm．如圖，將小路平移到矩形邊上時，種植面積是不變的，所以(40－x)·(32－x)＝1

140．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合題意，舍去）．答：小路的寬為2m．例1

某農場有一塊長為40m、寬為32m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路．要使種植面積為1

140

m2

，求小路的寬．分析：方法2：要求種植面積，可用大矩形的面積減去小路的總面積．解：方法二：設小路的寬為xm，列出方程40×32－(40x＋32x－x2)＝1140．整理，得x2－72x＋140＝0．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合題意，舍去）．答：小路的寬為2m．通過平移將圖形進行轉化，是列一元二次方程解決圖形面積類應用題的常用方法，其核心思想是將不在一起的幾個圖形通過平移轉化為一個規(guī)則的圖形，根據(jù)規(guī)則圖形的面積計算公式列一元二次方程求解．把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形有兩種常用的方法：割補法和平移法．需根據(jù)已知條件，靈活選擇合適的方法．

例2如圖，一農戶要建一個矩形羊舍，羊舍的一邊利用長為12

m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成．為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1

m寬的門．所圍矩形羊舍的長、寬分別為多少時，羊舍面積為80m2？

分析：因為矩形的面積等于長乘寬，所以需要表示出矩形羊舍的長與寬．設矩形羊舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于住房墻的一邊長為(26－2x)m．根據(jù)矩形的面積計算公式列出方程求解，最后利用住房墻的長為12m，確定矩形羊舍的長與寬．解：設矩形羊舍垂直于住房墻的一邊長為x

m，則平行于住房墻的一邊長為(26－2x)m．由題意，得x(26－2x)＝80．解方程，得x1＝5，x2＝8．當x＝5時，26－2x＝16＞12，不合題意，舍去；當x＝8時，26－2x＝10＜12．答：所建矩形羊舍的長為10

m，寬為8

m．利用一元二次方程解決與矩形面積有關的問題時，關鍵是根據(jù)題意和圖形正確表示出矩形的長與寬，尋找相等關系列方程求解，注意已知中所隱藏的長和寬的長度對結果的影響．

例3小林準備進行如下操作試驗：把一根長為40

cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形．（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58

cm2，小林該怎么剪？解：（1）設其中一個正方形的邊長為x

cm，則另一個正方形的邊長為(10－x)cm．由題意，得x2＋(10－x)2＝58．解得x1＝3，x2＝7．因為4×3＝12（cm），4×7＝28（cm），所以小林應把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段．

例3小林準備進行如下操作試驗：把一根長為40

cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形．（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48

cm2．”他的說法對嗎？請說明理由．解：（2）小峰的說法是對的．理由如下：假設這兩個正方形的面積之和等于48cm2，由（1），得x2＋(10－x)2＝48．化簡，得x2－10x＋26＝0．因為b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程沒有實數(shù)根，所以小峰的說法是對的．解決幾何圖形問題