2024年30屆全國中學生物理競賽復賽模擬試題

30屆全國中學生物理競賽（復賽）模擬試題（二）第壹題（18分）。19由斯圖爾特和道爾曼初次測定了以勻角加速度運動的圓線圈中產(chǎn)生的電流。每壹匝圓線圈電流設為I。在圓中心處產(chǎn)生的磁感應強度為B=μ0I/2r（r為圓半徑）第二題（20分）。1個球形肥皂泡，質量為m，其內充有空氣（不計空氣質量），泡外為真空，平衡時半徑為r0，由于受到擾動，肥皂泡做微小的徑向振動，求振動周期。（設振動過程中泡內空氣溫度保持不變；肥皂膜的表面張力系數(shù)為α）第三題（20分）假設大氣的折射率n與空氣密度的關系為：n-1=aρ0e-(r-r0)/b式中a為常數(shù)，ρ0為地球表面的大氣密度，r0=6400km.b=8772m大氣折射率隨高度的增長而遞減，為使光線能沿著地球表面的圓弧彎曲傳播，地表的空氣密度應是實際密度的多少倍？已知地表空氣的實際折射率n0=1.0003(取ex=1+x)第四題（20分）。如大家所知，海洋的潮汐基本上來自月球的引力作用，而在較小某些的程度上也來自太陽的引力作用。為使問題簡化，作如下假設：a）地球和月球構成1個封閉系統(tǒng)；b）月球到地球的距離為1個常量；c）地球完全由海洋覆蓋；d）不計地球的自轉。1、試求月球在地球上任意位置對單位質量的海水產(chǎn)生的潮汐力。設月球質量為M，地月中心間距離為r，萬有引力常量為G，地球半徑為R。2、求地球上任意位置處的水位變化h（θ）第五題（21分）已知?？吭诠愤叺?輛大卡車全長為5m，設有長度為10m的飛船隊從近旁飛過。在地面參照系中觀測，飛船前端通過車頭A的同步，飛船的後端剛好通過車尾B，試問：1、在地面參照系K中觀測，飛船飛行的速度有多大？2、從飛船參照系K′中觀測，A與B相距多遠？3、在K′系觀測飛船前、後端與否同步分別通過A、B？4、在K系中測得飛船的長度不是10m，從K′系來看，在K系中的觀測有什么問題？應當怎樣進行修正？第六題（25分）壹物體質量為m=1.0kg，置于水平面上，物體與水平面間的靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)均為μ=0.4，如圖所示，在原點有壹完全彈性的墻，且物體壹直受到F=－20x(N)的水平力，x的單位為米（m）?，F(xiàn)將物體于x0=1.1m處靜止釋放，求：1、物體從靜止釋放到停止運動，共用了多少時間？2、物體最終停在什么位置？3、物體克服摩擦力做了多少功？（g取10m/s2）第七題（26分）用測不準關系估算氫原子：1、玻爾半徑；2、基態(tài)能量；3、若被激發(fā)到高能態(tài)的電子在10－8s內就躍回基態(tài)過程中發(fā)出的光波波長λ0的不確定量。30屆全國中學生物理競賽（復賽）模擬試題（二）參照解答第壹題：現(xiàn)考察1個均勻的細金屬導線（單位長度的電阻等于ρ0）做成的1個圓環(huán)，圍繞其中心進行勻加速轉動，角加速度為β。試計算在環(huán)中心的磁感應強度B的值（電子電荷為e，質量為m）取與金屬環(huán)上壹小段孤長壹起做加速運動的坐標系，該坐標系與構成金屬晶格的離子相連。在該坐標中，電子受慣性力作用，切向大小為mrβ，法向慣性力對本題無實質意義，不考慮。最終由于電子與晶格的作用，當?shù)竭_某狀態(tài)時，電子受力平衡而做穩(wěn)定的運動，從而在其中發(fā)既有電流，雖然在導線中并沒加電動勢。 電子所有切向慣性力可以用1個假想的電場力做類比，設此電場強度為E，則 eE=mrβ 又由電阻定律R=ρl/s單位長度的電阻ρ0=R/l=ρ/s 因此I=U/R=E/ρ0mrβ/ρ0e 這圓環(huán)中心處的磁感應強度為：B=μ0I/2r=μ0mβ/2ρ0e第二題：如圖a所示，1個肥皂泡內外氣體壓強分別為p1、p2，則:p1-p2=4a/r.對本題外界為真空，則泡內壓強為p=4a/r。平衡時泡內氣壓為p0，泡半徑為r0，如圖b所示，當受到擾動，肥皂泡作徑向振動。設振動泡半徑為r，r=r0+x(x<<r0)時，泡內氣壓為p，則有p0=4a/r0由等溫變化規(guī)律：pv=p0v0因此p=p0v0/v=(r0/r)3p0則整個泡在振動中受到的徑向合外力為 因此周期第三題：如圖所示，O為地心，r0為地球半徑，地表有1個薄環(huán)形層為光的圓折射通道，由惠更斯原理，波前與波線處正交，因此波前形狀保持徑向不變，故有其中，為地表處大氣折射率，n為距地心r處的大氣折射率。 又由題設 其中是所能發(fā)生圓折射的地球表面的空氣密度。 取，得 即 而，有 ①對地表大氣：②對比①、②兩式得 第四題：1.地球壹月球系統(tǒng)繞其質心轉動，對連接于地心的轉動參照系，分析地球表面上任壹點P處的水粒m運動規(guī)律。對于地面上任意壹點P處的水粒m，其受力為月球的萬有引力和慣性離心力，則在x方向的合力為（如圖所示）（由于a很?。?因此單位質量物質位于P處受到的潮汐力為（x分量） 同理，得y方向的潮汐力為： 因此 2．如圖所示，考察壹水粒（質量為m）被潮汐力從D點帶到任意點P的過程中所做的功 由，得第五題：分析：本題屬狹義相對論運動學中時空觀和時空間隔變換問題。1、設K′系相對于K系的速率為V，已知飛船的本征長度l0=10m，非本征長度為l=5m，根據(jù)動桿縮短公式l=l0EQ\r(,1-(v/c)2)可得v=cEQ\r(,1-(l/l0)2)=cEQ\r(,1-(5/10)2)≈0。87c ①2、已知卡車的本征長度為l0=5m，K與k/的相對速率v=0.87c，根據(jù)動桿縮短公式可得l/=l0/EQ\r(,1-(v/c)2)=2.5m②3、已知K系中，飛船前端通過A（坐標為x2），後墻通過B（坐標為x1）。這兩件事發(fā)生于同壹時刻t，根據(jù)時空間隔變換式，這兩事件在飛船參照系K′中并非同步發(fā)生，時間差為：t/2-t/1=-γ（v/c）2(x2-x1)=-EQ\r(,3)/（2c）s③t/2<t/1即K′系中觀測的成果是A通過飛船前端早于B通過飛船後端EQ\r(,3)/（2c）換言之，B還需時EQ\r(,3)/（2c）s才能通過飛船後端。4、在K系中測得飛船長度為5m，就K系而言，這是對的的。但從K′系看來，K系中的測量存在兩個問題：其壹，大卡車的長度不是5m，而是2.5m；其二，A通過飛船前端早于B通過飛船後端EQ\r(,3)/（2c）s，而不是同步通過！在|t/2-t/1|=EQ\r(,3)/（2c）s時間內，大卡車朝飛船後端移動了距離：v|t/2-t/1|=7.5m ④其車尾B才通過飛船後端，K系的觀測遺漏了這段距離，應當補加上。這樣，從飛船參照系K′來說，K系對飛船長度的測量值5m，應修正為：2.5+7.5=10（m）⑤這正是飛船的本征長度。評分原則：①、②、③各4分；④6分；⑤4分。第六題：本題中，物體受耗散力的作用，做減幅振動。物體在水平方向僅受彈性力F=-20x和摩擦力、合力為：F合=-20x±μmg物體向左運動時，第二項取正號，向右運動取負號，設彈性力與滑動摩擦力平衡時的位置為a.-20a±μmg=0,a=±0.2m.顯然，物體速度為零時的位置在0≤x≤0.2m區(qū)間時，靜摩擦力能與彈性力平衡，物體將靜止。1、開始時，物體從x0向左運動，受力為：F合=-20x±μmg=-20(x-a)由此可知，物體從x0→0是作平衡點為x=a的簡諧振動的壹部分，振幅和周期分別為：A1=x0-a=0.9mT=2πEQ\r(,m/k)=1.4s從x0→0運動時間為△t1，如圖所示，物體在x=0處反彈，速度大小不變，方向相反。2、物體向右運動受力為：F合=-20x-μmg=-20(x+a)因此物體向右運動可當作是平衡點為x=－a的簡諧振動的壹部分，周期不變：T=2πEQ\r(,m/k)=1.4s3、由于在x=0，振動的總能量對于平衡點為a和－a的振動是相等的，因此兩振動的振幅同樣，即物體從x=0向右運動到x1=A1-a=x0-2a=0.7m處再向左運動，時間為△t2（如圖）。顯然，△t1+△t2=T/2①同理，物體從x1=0.7m處向左運動（振幅A2=x1-a）經(jīng)碰撞後向右運動至x2=x1-2a=0.3m時間仍為半個周期②從x2=0.3m再向左運動，其振幅為A3=x2-a=0.1m，以x=a=0.2為平衡點，因此運動至x=0.1m處物體停止，這壹段時間也是半個周期。③因此物體運動的時間為:△t=3×T/2=2.1s ④物體克服摩擦力做功為：A=kx02/2-kx2/2=12J⑤評分原則：成果①、8分；②、4分；③、4分；④、4分；⑤、5分。第七題：1、氫原子由原子核和1個電子構成，電子的總能量E為：E=p2/2me-e2/4πε0r①式中p為電子動量，me為電子本征質量，r氫原子半徑。電子在原子內坐標的不確定量可用r估計，電子在原子內動量的不確定量可用p估計，則由不確定關系，得： ②將②代入①，得③式中r是待求的，只有能使E具有極小值的r才能形成穩(wěn)定的氫原子系統(tǒng)。取E(r)-r曲線斜率為零的r=r1處的E=E1，有也許是E的極小值?？紤]總能變化量為： ④由于是小量，在估算中可忽視，因此上式可近似寫為：⑤令可得： ⑥2、將⑥代入③可得：⑦這壹成果與玻爾理論得到的壹致。3、原子發(fā)出光波的波長由下式?jīng)Q定：⑧即波長的不確定