2024年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（四）及其詳細解析

2024年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（四）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）已知集合/={1,2},8={2,4},C={z|z=x\xe/,yeB},則。中元素的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（1,1）,彳是z的共軌復(fù)數(shù)，則二=（）

Z

11.11.^11.11.

AA.-----1——iBn.——I——iC.--------1D.---------1

22222222

3.（5分）若向量1=-3）,彼=（3,1）,則，<1”是“向量,，石夾角為鈍角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降

噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線y=/cos（0x+0）

（其中/>0,0^0<2萬）的振幅為1,周期為2%，初相位為則通過主動降噪芯片生成的聲波

曲線的解析式為（）

噪聲聲波

5.（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛氏｝的前〃項和為S“，若$3=14,%=8,則生旦的值為（）

a5+a9

42

A.4B.-C.2D.-

93

6.（5分）當(dāng)圓C:—一41+6^一3=o的圓心到直線/：加工+>+加一i=o的距離最大時，冽=（）

7.（5分）《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為

鱉腌.陽馬居二，鱉臊居一，不易之率也.意思是：如圖，沿正方體對角面4與截正方體可得兩個塹

堵，再沿平面截塹堵可得一個陽馬（四棱錐。-4月G2），一個鱉腌（三棱錐。-5CC）,若尸為

第1頁（共17頁）

線段CD上一動點，平面e過點尸，CD，平面e,設(shè)正方體棱長為1,PD=x,a與圖中的鱉II截面面

積為S,則點P從點。移動到點C的過程中，S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

G

4Bl

8.（5分）已知a,￡￡(0,〃)，且tana=)

A.-1B.--cD.-

55i5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.（6分）下列關(guān)于（3x-《）6的展開式的說法中正確的是（）

y/x

A.所有項的系數(shù)和為64B.常數(shù)項為第4項

C.共有3項整式D./項的系數(shù)是-81

10.（6分）已知函數(shù)小）=函7+〉則（）

A./（x）的最小值為1B.BxeR,f（1）+f（x）=2

C./(/og2)>/(1)/(901-1)>/(3018-1)

9D.

11.（6分）已知拋物線C:無2=205>0）的準(zhǔn)線方程為〉=-2,焦點為尸，。為坐標(biāo)原點，A（X1,7i）-

第2頁（共17頁）

B(X2,%)是C上兩點，則下列說法正確的是()

A.點尸的坐標(biāo)為(0,2)

B.若|/切=16,則A8的中點到x軸距離的最小值為8

C.若直線N3過點(0,4),則以為直徑的圓過點。

D.若直線。/與02的斜率之積為-工，則直線N5過點尸

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

丫2_,

12.(5分)設(shè)可，居為橢圓C:《+V=l的兩個焦點，點尸在橢圓C上，若PFjPF2=Q,則

1^1-1^1=一?

121

13.(5分)函數(shù)/'(x)=(―+3)(1——)(2x2+ax+b),對任意的xH0時，都有f(x)-f(―)=0,則a+函=，

xxx

函數(shù)/(x)的最小值是.

14.(5分)“迪拜世博會”上，中國館取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明.某人制作了一個中國館的

實心模型，模型可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱組成.已知內(nèi)層底面直徑為12cm,外層底面直徑為16a”，且內(nèi)

外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為20cm的球面上，此模型的體積為—cm3.

15.(13分)記A48C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6+J5acos3=2,c=及.

(1)求/；

(2)若tanC=2,點。在邊上，ZADB=2ZABC,求NO.

16.(15分)為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯題情況，某課題組在某市中學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生調(diào)查

了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時整理數(shù)學(xué)錯題情況，并繪制了下列兩個統(tǒng)計圖表，圖1為學(xué)生期中考試

數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110

分及以上視為優(yōu)秀，將一個星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整

理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯題的學(xué)生占70%.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計

第3頁(共17頁)

經(jīng)常整理

不經(jīng)常整理

合合計計

(1)求圖1中加的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)；

(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補全上方2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析數(shù)學(xué)

成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯題是否有關(guān)？

(3)用頻率估計概率，在全市中學(xué)生中按“經(jīng)常整理錯題”與“不經(jīng)常整理錯題”進行分層抽樣，隨機

抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2人進行座談.求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀

的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附.*-n(ad-bc￥

'(a+6)(c+4)(a+c)(6+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

%

17.(15分)如圖，在四棱錐P-4BCD,PA=PD=AD=AB=2,BD=BC=CD=26,￡為PC的中

點.

(1)證明：直線3￡//平面P4D；

(2)若平面尸8。_L平面48CD,求直線N5與平面PCD所成角的正弦值.

第4頁(共17頁)

225_

18.(17分)已知雙曲線G:=-々=1(。>0,6>0)的漸近線為y=±組x,右焦點尸到漸近線的距離為百，

ab2

22

設(shè)M(x。，％)是雙曲線。2：=-\=1上的動點，過M的兩條直線4分別平行于G的兩條漸近線，與

G分別交于尸，。兩點.

(1)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線尸。過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

19.(17分)設(shè)/&)=辦2+cosx-l,a&R.

(1)當(dāng)。=工時，求函數(shù)/(x)的最小值；

71

(2)當(dāng)a》：時.證明：/(x)》0;

1114

(3)證明：cos—+cos—H----Fcos—>n—(?GTV*,?>1).

23n3

第5頁(共17頁)

2024年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷(四)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.【解答】解：?.?集合4={1,2},B={2,4},

：.z=F=l,z=「=l,z=2?=4,Z=24=16,

M={1,4,16},集合C有三個元素，

故選：C.

2.【解答】解：?.?復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,1),

z=1+i,

111+z11.

"F-l-z-(1-0(1+/)-22?

故選：B.

3.【解答】解：由向量1=(加3),6=(3,1),

由“向量B夾角為鈍角”的充要條件為舊)<°,

[1義冽w(-3)x3

解得(3小一3<°,即加<1且,”片-9,

\mw-9

又“加<1”是“加<1且加w-9”的必要不充分條件，

即是“向量萬，B夾角為鈍角”的必要不充分條件，

故選：B.

4.【解答】解：因為噪音的聲波曲線y=4COS(GX+9)(其中A>09G>0,0<9<2I)的振幅為1,則4=1,

周期為24，則。=&=紅=1,初相位為工，夕=工，

T2TI22

所以噪聲的聲波曲線的解析式為y=cos(x+])=-sinx,

所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為》=$吊、.

故選：A.

5.【解答】解：設(shè)數(shù)列{%}的公比為貝夕>0),

QQ

貝!JS3=%+?+%=~~2---F8=14,得3q2—4q—4=0,

qq

第6頁(共17頁)

解得q=2或夕=-](舍)，

2?

所以的+%=%夕+。應(yīng)=/=4.

a5+aga5+a9

故選：A.

6.【解答]解：圓。:/+/—4x+6y—3=0的圓心C(2,-3)到直線/:冽%+>+冽-1=0的距離:

|2m

______-_3__+_m__-__11__1_3_m__-_4_|,

\m2+1y/m2+1

...直線/:mx+y+機一1=0轉(zhuǎn)化為：(x+l)m+(7-1)=0,

直線/過定點

.,.圓C:x?+/-4x+6y-3=0的圓心至U直線l:mx+y+m-l=0的星巨離最大值為：

||=7(-1-2)2+(1+3)2=5,

當(dāng)圓C:x?+/-4x+6y-3=0的圓心至!］直線l:mx+y+m-l=Q的距離最大時,

13m-41=A^ZH3

,,-------=5,解得加=一一.

X2+i4

故選：D.

7.【解答］解：如圖，

設(shè)（/0!℃］=?/,珀期=”，

VCDVa,CD1PN,則ADPN為等腰直角三角形，則尸N=x,

DC]=V2,

???8]G1平面DCG，31G1DCX,

■：DCmPMN,DC_L平面耳G。，,平面PW//平面。臺。，

第7頁（共17頁）

而平面DCRn平面PMN=MN，平面DCXBXC平面CB^X=GA，

:.MNIIB。，可得肱V_LDG，則

由。P=PN=x,得DN=E,...處_=迫,

4GDq

s,DN-B\C\

即BnMN=------=x，

DCX

S=；PN..=#(()令().

則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是8.

故選：B.

8.【解答】解：由?！辏?,%），tana=2,

」.sin*V5

COS6Z=——

55

cos2夕一1

=2,/3G(0,^-),

sin2P

1-2sin12-1=4sin/?cosP,

sin力=-2cosyff，

.N2A/5aM

smp=----,cosp=-----，

55

143

/.cos（6Z一尸）=cosacos]3+sinasin/3=+—=—,

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【解答】解已知二項式（3、-4）6,

y/X

對于選項4,令x=l,由（3-1）6=26=64知，所有項的系數(shù)和為64,

故選項A正確；

對于選項8,二項展開式的通項公式為&|=C；（3X）6T.（_1）”-3=（_D，36TC"『,

3

令6---r=0,

2

解得r=4,

故展開式第5項為常數(shù)項,

故選項5錯誤；

第8頁（共17頁）

對于選項C,當(dāng)〃=0,2,4時，6——reN,展開式為整式，

2

故選項C正確；

對于選項。，當(dāng)6—,一=3時，〃=2,4=(—Ip36一2C；d=⑵夕，

故選項。錯誤.

故選：AC.

10.【解答】解：/(x)=lg[(x-1)2+10]^/gl0=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=；時，/(X)取得最小值1,/正確；

因為當(dāng)且僅當(dāng)x時，“X)取得最小值，且最小值為1,所以/(1)>1,所以/(1)+/(x)>2,B錯

誤；

因為0</og92=^<始■=：所以|/陽92-!|>!，又|2-口=工，且“X)在(-8」)上單調(diào)遞減，在(L+00)

lg9/g832632622

上單調(diào)遞增，所以/(/喈92)>/(|)，C正確；

因為9?！?3°2>3°」8>1,所以9?！?，>3。」8一工>工，所以。正確.

222

故選：ACD.

11.【解答】解：???拋物線C:x2=2刀(p>0)的準(zhǔn)線方程為y=-2,

：.C的解析式為：%2=8v,

對于/：準(zhǔn)線方程為了=-2,故焦點尸(0,2),故/正確；

-IF\y=kx-\-b

對于B：設(shè)如：歹=Ax+b(kw0),貝!Jt<2，

1%=8y

2

整理得：x-Skx-8b=0f故玉+%2=8左，x[x2=-Sb,故48中點為(4左,4左之+6),

AB|=J1+9屬+尤2)2_4中2=Jl+2.164k2+32。=16,

b=-2甘,:.d=4k2+b=—+2k2=+2(F+1)-2)2屈-2=6,

1+F\+k2\+k2

當(dāng)且僅當(dāng)」宮=2(左2+1)時“=”成立，

1+廿

當(dāng)左=0時，距離是8,6<8,所以最小值為6,故3錯誤；

對于C：設(shè)如：y=%+4，貝l」6=4,貝!!|A8|=Jl+r?464后2+326=8,1+-2442+2,

AB的中點(4k,4k2+4)到0的距離d=4"，+3"+1豐邑1,

故以為直徑的圓不過點。，故C錯誤;

第9頁(共17頁)

對于匹=。=等一;，

西x2再?工2644

.?.X1x2=-16=-8Z>,故6=2,即3：歹=丘+2,過尸(0,2),故。正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.【解答］解：已知點尸在橢圓。上，且兩質(zhì)=0,可得4PB=］,

又由橢圓C：E+V=1,得，=5—1=4,

5

|尸耳|+1Pg|=2a=2氐

二.|尸印2+|尸鳥『+2|^||^|=20,

而|尸片|2+1尸g「=4c2=16,可得I尸耳"尸耳［=2.

故答案為：2.

12

13.【解答】解:因為〃x)=(—+3)(1-―)(2x2+ax+b),

XX

則占=-；，z=2是/(x)的兩個零點，

又/(乃-〃3=0,即〃x)=/d),

XX

所以％3=；，%=-3也是/(幻的兩個零點，

故/(；)=0,

貝！J2X」+L+6=0,

42

BP—6z+Z?+—=0

22

故Q+26=-1；

又/(-3)=0,

1232

所以/(x)=(-+3)(1——)(2x—l)(x+3)=(3%+—+10)(2x+——5),

XXXX

令f=x+L故02或《-2,

所以廣⑶+10)(2?-5)=6/+5/-50,對稱軸是)=$，

故當(dāng)/=-2時，即x=-l時，函數(shù)/(x)取得最小值-36.

第10頁(共17頁)

故答案為：-1,-36.

14.【解答】解：由題意可知，實心模型由兩個圓柱構(gòu)成，

實心模型的體積=內(nèi)層圓柱的體積+外層幾何體的體積，

因為內(nèi)層圓柱的底面直徑4=12cm,所以a=6cm,

所以內(nèi)層圓柱的底面積為百=劭2=36%（°加2）,

外層底面直徑為=16。加，所以4=8cm,

所以外層的底面面積為邑=?芍2=64%（。加2）,

又內(nèi)外層的底面圓周都在一個直徑為20cm的球上，即r=10cm,

如圖，以內(nèi)層圓柱為例，

因為內(nèi)層圓柱的底面圓周在球面上，

所以球心。與內(nèi)層圓柱的底面圓心a的連線垂直于底面圓，即1AOX,

根據(jù)球的對稱性可得，內(nèi)層圓柱的高為2x8=1651,

2

所以內(nèi)層圓柱的體積為V1=許2%=TIX6xl6=576TT（C加），

同理可得，外層圓柱的高為2A/102-82=12cm,

2

所以外層圓柱的體積為匕=7vr22h2=^-x8xl2=768%（c加）,

由題意可得，外側(cè)幾何體的體積等于外層圓柱體的體積減去高為12的內(nèi)層圓柱體的體積,

故匕二768萬一萬。2乂12=768萬一4327r=336〃（。冽，,

所以該幾何體的體積為/=匕+匕=576〃+336兀=912^（cm3）.

故答案為：912/r.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第11頁（共17頁）

15.【解答】解：(1)b+-\[2acosB=2fc=V2,

，accosB=2-b,

在A45C中，由余弦定理得〃=〃2+。2—2accos5=Q2+，—2(2—6),l\\b2+c2-a2=2b,

由余弦定理得cosA==_2b=V|

2bc2cb2

71

,：AG(0,%),A=—；

(2)由(1)得/二工，

4

在A45C中，vtanC=2,且sir?C+cos?。=1,

sinC------，cosC=—，

55

:.cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=~爭—=埋，

510

又5￡(0,1)，則sinB=豆國

10

?.?點。在邊BC上，NADB=2NABC，

sinZADB=sin2ZABC=2sinZABCcosZABC=2x

10105

在A45D中，由正弦定理得———=AD,即坐解得力。=石.

sin/HDBsinZABD33A/H)

510

16.【解答】解：(1)由題意可得(0.0025+0.005+0.0175+僅+0.01)義20=1,解得加=0.015,

二學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)為：110+20產(chǎn)5=塾分;

0.33

(2)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有100x50%=50人，不優(yōu)秀的人100x50%=50人,

經(jīng)常整理錯題的有100x(40%+20%)=60人，不經(jīng)常整理錯題的是100-60=40人,

經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的有50x70%=35人，則列聯(lián)表為:

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計

經(jīng)常整理352560

不經(jīng)常整理152540

合計5050100

認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)聯(lián);

第12頁(共17頁)

(3)由分層抽樣知，隨機抽取的5名學(xué)生中經(jīng)常整理錯題的有3人，

不經(jīng)常整理錯題的有2人，則X可能取為0,1,2,

經(jīng)常整理錯題的3名學(xué)生中，恰抽到左人記為事件4(后=0，1，2),

則尸(4)=C*LQ=O1,2,3)

參與座談的2名學(xué)生中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的恰好抽到加人記為事件紇,(切=0,1,2)

5525

則尸(綜2

P(B0\AJ=-,P(BO\A2)=(-)=—,

75735749

P(B\A)=-,P(B\A)=Cl-x-=-,/鳥|4)=(>=

l1L乙l2J.乙_L乙/乙1.乙L11

P(X=o)=尸⑷?P(B014))+尸(4)?尸(為14)+尸(4)?尸(114)

Cl,CC\\Cc1\5C：25579

CjCl12Cj1441440

ClCl7C235714

P(X=1)=P(4)?P(Bl\Al)+P(A2).P(B]\A2)=-^X-+^-x,

c249147

P(X=2)=P(4)?14)=言X—=

1440

的分布列如下:

X0I2

P579714147

144014401440

…、八5791714。147“

二.E(X)=Ox-------Fix------+2x-------=0.7.

144014401440

17.【解答】(1)證明：取CD中點尸，連接跖，BF,則EF//PD,

因為EFC平面尸4D,PDu平面尸4D,

所以E尸//平面尸4D,

因為A8C。是等邊三角形，所以瓦FCD,且/肛>C=60。，

在AA8。中，AD=AB=2,BD=273,

122

4人;AD+BD-AB4+12-4_拒

由余弦定理知，cosZADB=-----------------------

2ADBD2x2x26-2

因為N4D3e(0,;r),所以N4D2=30。，

第13頁(共17頁)

所以ZADC=ZBDC+NADB=90°,即CD_LND,

所以BF//AD,

又8尸仁平面尸4Du平面P4D,

所以3尸//平面P4D,

因為￡尸0|8F=尸，EF、BFu平面8￡尸，

所以平面BEF//平面PAD,

又BEu平面8所，

故直線BEII平面PAD.

（2）解：以。為坐標(biāo)原點，DC,。/所在直線分別為x,＞軸，作Dz,平面N8CD,建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),/(0,2,0),B4,3,0),CQ也,0,0),

過點尸作于。，取的中點0,連接。0,PQ,則尸PQ=C,

因為平面PAD_L平面N8CD,平面尸2。C平面/BCD=8。，尸。u平面PAD,

所以PO_L平面48CD,

所以尸。在底面45CD上的射影為。。,

由三垂線定理知，OQ_LN。，

在RtAOQD中，AADB=30°,DQ=^AD=1,

所以O(shè)Q=g,

所以尸O=^PQ2-OQ2=j(6)2-(gr=F,

2侃

所以2彳-,1,亍）

所以方=(百，1,0),DC=(2A/3,0,0),5?=(g,1,孚),

第14頁（共17頁）

2岳=0

n-DC=Q

設(shè)平面PCD的法向量為萬=（x,y,z）,則＜叫

n-DP=0-G^x+7+—z=0

[33

取z=3,貝!|x=0,y=-2&，所以為=（0,-2灰，3）,

\AB-n\_|-2V6|_卮

設(shè)直線AB與平面PCD所成角為0,則sin。=|cos＜刀，n>|=

\'AB\-\ii\2x724+911

故直線AB與平面PCD所成角的正弦值為—.

11

18.【解答】解：（1）因為G的漸近線方程為y=所以2=1,所以6=1°.

2a22

又右焦點尸到漸近線的距離為g,所以，2二百,得c=5.

又因為C2=1+62,所以0=2,所以6=6.

22

所以雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為3-4=1；

22

（2）解：由（1）可知C2的方程為（-3=1，

22

設(shè)“（X。，％）,所以有

過點M作與y=等1

平行的直線分別與雙曲線G交于點尸，

1

%=1-----i

2%一忑%

1、2痂百/、8

則》二/一國為-+耳％）=一耳）（），故片5^一/升九=一三%（）

所以尸（一爰為,一字七）?

第15頁（共17頁）

同理可得0(爰%,弓毛).

所以直線PQ:4yQy=3/x恒過定點(0,0).

19.【解答】解：(1)由/(%)="2+cosx-l,QER可知，/(x)的定義域為火，

且f(一x)=a(-x)2+cos(-x)-1=ax2+cosx-1=/(x),

所以/(%)為偶函數(shù)，下取x20,

ii9

當(dāng)〃=一時，/(x)=—x2+co