2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：數(shù)列求和 提能訓(xùn)練

第4講數(shù)列求和

6A組基礎(chǔ)鞏固

一、單選題

1.已知數(shù)列｛aj是公差不為零的等差數(shù)列，伍｝為等比數(shù)列，且a=4=1,a2=&,為

=&,設(shè)④=劣+4,則數(shù)歹1」匕｝的前10項(xiàng)和為（A）

A.1078B.1068

C.566D.556

［解析］設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為存0,等比數(shù)列｛4｝的公比為°,依據(jù)國(guó)=及=1,/

=刨a=%利用通項(xiàng)公式即可解得d,q,再利用求和公式即可得出結(jié)論.設(shè)等差數(shù)列｛a｝

的公差為^^0,等比數(shù)列｛4｝的公比為Q,?.?"=61=1,&=民,.?.l+d=41+3d

=q,dKO,解得：d=l,<7=2.an=l+n—l=nf，心=a+6〃=77+2”-1.則數(shù)

?山」HI10X1+10.210-1,小工

列匕｝的前10項(xiàng)和=————十^^=1078.故選A.

2.已知數(shù)列｛&｝滿足8=16,(〃+1)&+1=2(刀+2)為,則回｝的前100項(xiàng)和為(D)

A.25X2102B.25X2103

C.25X2104D.25X2105

［解析］因?yàn)?〃+1)&+1=2(〃+2)&，&=16,所以金公=2白，￡=8.所以數(shù)列

刀十2刀十12

1VLd是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則e=8X2"T=2"+,即&=(〃+1)2〃+2,設(shè)

｛4｝的前A項(xiàng)和為S,則』=2X23+3X24+4X21----卜(A+1)義27rt:則2￡=2X2*+3X2S

+4X26+-+z?X2aW+(〃+1)X2*%兩式相減得一￡=2*23+24+25+26+…+2"2一(n

91—2"+2

+1)2J+3=2+——~(n+1)2"+3=~nX2"+3,所以S=nX2n+3,所以SOO=1OOX2W3=

1—/n

25X2?,選X

3.已知數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式是%==二，其前n項(xiàng)和S=等，則項(xiàng)數(shù)〃等于(D)

264

A.13B.10

C.9D.6

2”一11

［解析］,?*3，n~~~=1——亍，

Sn=n—----二刀一1+".

,321,1.1,1

而Vy=5+77，n~15+77..??〃=6.

77JI

4.設(shè)數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=(—1)?cos-y—1,其前刀項(xiàng)和為S,則S022

=(D)

A.4041B.-5

C.-2021D.-4045

?n兀

［解析］依據(jù)題意，分類探討刀=4A—3或〃=4A—1,A￡N時(shí)，cos裝-=0,n=4：k-

377兀3〃兀

2,AGN時(shí)，cos—=-1,n=4k,AeW時(shí)，cos—=1,即可得出答案.：a〃=(一

nJI*.〃兀

1)”(2〃-1),cos--1,???當(dāng)/?=4A-3或〃=4A—1,A￡N時(shí)，cos~^-=09&左一3=a-i

=-1；當(dāng)n=4k—294￡N時(shí)，cos-^-=—1,&—=［2X(4A—2)—1］X(—1)—1=-8A

茨,〃Jl

+4；當(dāng)n=4k,A￡N時(shí)，cos-^-=1,&次=2X4A—1—1=8A—2,/.^-3+^-2+^-1+

=

34k0，??S022=￡020+&021+8022=3.2021+改022=-l+(2X2022-1)?(-1)-l=-4

045,故選D.

5.已知數(shù)列｛a｝滿足.31=1,且對(duì)隨意的7?￡N*都有4+1=&+4+〃，貝，力的前100項(xiàng)

和為(D)

A-1-0-0R-9-9-

101100

101200

C---D---

100101

［解析］?&?+1=2+4+/7,劭=1,??3n+l-a=1+77.

??Hncln—\~~R(Z7^^2).

an=(&—<3/7-I)+(劣一1-為一2)+…+(&—a)+a1=刀+(z?-1)+,,,+2+1=-.

.」=，=2仕—q.

annn-\-\\nn+1J

???尚的前100項(xiàng)和為2G-1+2-3+,"+TOO_TOT)=26-IOT)=IOI-故選D-

6.(2024?重慶調(diào)研)已知數(shù)列回｝滿足a尸士則a+專+1+…+高除=(A)

20222020

A-----R-----

20232021

20212019

C-----D-----

20222020

［解析］由題知，數(shù)列面｝滿足％=若，所以數(shù)列牌的通項(xiàng)公式為親=￡\=:

11

j二匚［、［IgI絲IIa20221--+

〃+1，所以團(tuán)+方+32T70222-1-22-3

7.在數(shù)列｛2｝中,已知對(duì)隨意力《N*,己1+/+@3+??，+&=3"—1,則—+I+嗇+???+

￡等于（B）

A.（3"-1）2B.jo'-l）

C.9"-1D.；（3"-1）

［解析］因?yàn)閲?guó)+a2H---1~a=3"-1,所以國(guó)+a2H----Pa—i=3"i—1（〃22）.則當(dāng)?shù)?2

時(shí)，an=2?3'T.

當(dāng)77=1時(shí)，51=3—1=2,適合上式，所以4=2?3"T（〃￡N*）.

41—9"1

則數(shù)列｛闔是首項(xiàng)為4,公比為9的等比數(shù)列，岔+…+4=不丁=5（9〃一1）.故選B.

8.（2024?遼寧凌源二中聯(lián)考）已知數(shù)列｛2｝與｛4｝的前〃項(xiàng)和分別為S,幾,且

2%

a>0,6$=成+3%，/?￡N*,4=2i2%+T'若對(duì)隨意的〃￡N*,力北恒成立，則A的最小

值是（C）

1

A-7B.49

18

C.—D.777

49441

［解析］當(dāng)〃=1時(shí)，6劭=4+3為，解得功=3或功=0（舍去），又6s=濕+3為，「?6S

+1=濕+1+3a+1,兩式作差可得6A+I=W+L4+3a+L3為，整理可得（為+1+為）（a+L為一

3）=0,結(jié)合為>0可得a+i—2一3=0,/.a+i—a=3,故數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為3,公差為3的

8〃1

等差數(shù)歹U,，3+(77-1)X3=3/7,貝Ub

??3nn2%—12%+1—1-8"-180+1-17

七-一

7=-22-3Hh

,"7_G-l8-l)+G-l8-l).--g+j)］=Y(J-8?+i_J〈歷，

AN/.故選C.

二、多選題

112123123

9.(2024?濟(jì)南調(diào)研)已知數(shù)列{%}：…，----\~

乙JJddd_LUkUu

91

而…,若隊(duì)="？設(shè)數(shù)列伉｝的前〃項(xiàng)和.則（AC）

n

A.an=~B.&77

5/7

C.Sn=~|1D.Sn=-It

n+1n+1

i9n1+2+3H---卜Xn

［解析］由題意得a?=—r+--4+==f

力十177+1'n+ln+12

.i4n］)

"""nT?+1nn+1\n〃+1)

—?----

22

???數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

Sn=bl+b2+bi-\---\-bn=

(111,11,11、

41—不+丁三十3—---------ZTT

22334nn+1?

=4(111_、〃477+故,選AC

on

10.(2024?重慶月考)已知數(shù)列｛a｝滿足a=—2,—=--(/7^2,〃￡N*),｛&｝的前

an-i77-1

力項(xiàng)和為S,貝！J(ABD)

A.々=-8B.劣=一2"?力

C.w=—30D.S,=(l-/2)?2o+1-2

AFtLrI口=+―r3,22&3QA4須n.

［r解析］由題思可Z得c3，—=2X-,—=2X-,—=2X~,…，---=2X^—-(77^2,

ct\1a22a33a—in1

N*),以上式子左、右分別相乘得芻=21?77￡N*),把4=—2代入，得a0=一

ai

2J〃(〃22,〃GN*),又&=-2符合上式，故數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為4=-

2

a2=-8,故A,B正確；S,=-(1X2+2X24----\-n-2"),則2s=—［IXZ'+ZXZ'H---F

(Z7-1)?2n+n-2"+1］,兩式相減，得&=2+22+234\-2n~n?20+1=2"+1-2-/7?2"+1=

fl+1

(1-/7)-2-2(/JEN*),故S=-34,故C錯(cuò)誤，D正確.

11.已知數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為4,且滿足2(〃+l)a〃一〃a〃+i=0(〃GN*),貝U(BD)

A.數(shù)列］,為等差數(shù)列

B.數(shù)列｛aj為遞增數(shù)列

C.數(shù)列?｝的前〃項(xiàng)和S=(A—1)?2e+4

D.數(shù)列［肅r］的前〃項(xiàng)和Tn=n

［解析］由2(〃+l)a-=。得篙/X務(wù)所以數(shù)歹啥是以尹&=4為首項(xiàng)，

2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠c=4X2"T=2〃+I,所以&=〃?2"+I,明顯遞增，故B

n

正確；因?yàn)镾=1X22+2X23H------2"+'2s=1X2，+2X24H------------\-n>2n+2,所以一S=

221—2n

1X22+23H------\-2n+1-n-2^2=~~---n-2n+\故S=(〃-1)?2什2+4,故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

1—Z

瑪=等二=〃，所以數(shù)歹“己的前〃項(xiàng)和。="^=空，故D正確.

三、填空題

。,13ir1,1y

12.22-I+32-1+42-1H卜〃+12-1=-4二4總1土〃工21一?

［解析］,,二+L］'

.1?1?1??1

'>22-1+32-1+42-1++7?+12-1

=一一§+5一/§飛+…+二浦

=163__11A

—詆〃+1n+2)

42^/?+1/J+2/

13.(2024?海南三亞模擬)已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S=10〃一片數(shù)列也｝滿足4=

\a?\,設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為北，則北=24,北。=650.

［解析］當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=9,當(dāng)時(shí)，an=Sn—Sn-i=10n~n—［10(7?—1)—(n

—I)2］=-2/?+ll,當(dāng)A=1時(shí)也滿足，所以&=一2〃+11(〃GN*),所以當(dāng)時(shí)，a)0,

2

bn=a?,當(dāng)n>5時(shí)，aXO,bn=-an,所以K=,S=10X4—4=24,九=&一氏一氏--------a3o

=2W—5?=2X(10X5-52)-(10X30-302)=650.

14.(2024?廣東省五校協(xié)作體高三第一次聯(lián)考)已知數(shù)列｛aj滿足：頊為正整數(shù)，a〃+i

V-&為偶數(shù),

假如功=1，則&+己2+&+…+〃2018=4709.

、3a+1,為為奇數(shù),

［解析］由已知得<3I=L52=4,&=2,a=1,a=4,a=2,｛劣｝是周期為3的數(shù)

列，4+&+…+&oi8=(1+4+2)*672+1+4=4709.

四、解答題

15.(2017?課標(biāo)全國(guó)HI)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足&+3a21---1(2刀-1)a=2乙

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹U盛T的前〃項(xiàng)和?

\LillI1I

［解析］(1)因?yàn)閐+3a2H----\~(2/?—1)an—2n,

故當(dāng)?shù)?2時(shí)，a+3a2+…+(2/7—3)a—1=2(n—1).

9

兩式相減得(2〃-1)a=2,所以為=;^--^(〃22).

277—1

又由題設(shè)可得勒=2,滿足上式.

9

從而｛2｝的通項(xiàng)公式為--

2/7—1

(2)記］儕J的前n項(xiàng)和為S.由(1)知—?=七二—白??

［277十1J277+12/7+1277—12/7—12〃+1

E11.11.I112n

川$=,一§+§一二^12A-1-2〃+1=2>+1

16.(2024?鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)料)已知數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)4=4,數(shù)列伉｝滿

足6〃=log2品，且Z?i+1&+&=12.

(1)求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

人4,1,，

(2)令Cn--+為，求數(shù)歹U｛4｝的刖n項(xiàng)和Sn.

bn?bn+\

［解析］(1)由6“=log2a和b\~\~益+12,得log2(515253)=12,

??己1〃2〃3=2.

設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為q,

?.?4=4,??.&〃2a3=4,4q?4q=2‘?q=2匕

計(jì)算得T???&=4?尸=4：

(2)由⑴得6〃=log24"=2〃，

4111

5=3~~7^7+4”=^7+4"=一^rr+4”?

2/7?2/7+1nn-v1n〃+1

設(shè)數(shù)列L刀［J的前n項(xiàng)和為An,則An=1—------\-----9=WT'

［nn~\-1J223nn-\~1〃+1

41一4”4

設(shè)數(shù)列｛，｝的前n項(xiàng)和為Bn,則B=——=^4n~l)

n1-4of

774

S=—r-+-(4"-1).

n〃十13

6B組實(shí)力提升9

L若數(shù)列｛aj,｛4｝滿足為4=1,an=j/+3n+2,貝U伉｝的前10項(xiàng)之和為(B)

1

B

3-

17

C.-D.

12

［解析］■.*bn=—=,3,9=^T7-----

an77+177+2n-v1刀十2

「?So=》+益+…+瓦

—1——1—I1————1—1———1—I—???—I1——1——11―■1--

233445111221212,

1-I-O1

2.已知數(shù)列｛2｝的前刀項(xiàng)積為北，且滿足2+1=F（〃￡N*）,若囪=彳，則竊［9為（C）

1一44

3

--

B.5

D.

51

--

C.34

［解析］干脆利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的周期，進(jìn)一步求出結(jié)果.由am=L，

1-4

1531

.31=7，解得a=~,53=—4,34=--,85=小…，所以北=國(guó)?色?石3?a=1,2019=

43254

［5

4X504+3,所以?2019=(乃1石28a),(85注&金)?(/017a2018&019)=1X1義1X…X—X~

5

x(-4)=—'故選C.

o

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩

步為：

111

-①

(1)構(gòu)造數(shù)列1,3-^-

4/7

⑵將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以5,得到一個(gè)新數(shù)列az,a3,即…，a.

nn—1nn—1

—X---■.故選C.

4n4

4.1+2X+3/H---..（其中?0）

+nx+nx+i

12

X

［解析］當(dāng)x=l時(shí)，l+2x+3x?H---F〃/T=1+2+3H---\-n=—^―,

當(dāng)時(shí).

1x

解法——：記S=l+2x+3/-|---\-nx~,則xSn=x+2x-\---F^n—V）x~-\-nx,

兩式相減得：（1—x）S=l+x+V+…+x'x-nx

1—x"〃

---nx,

1—x

.\-\-\-nx+nx+i

??S=Z2?

nl—X

解法二：l+2x+3xH---\-nx~x

=（x+『+/H---\-x）'

"jrl-yq,\~\+nx+nx+i

_l~x_~l~x'

綜上可知1+2x+3x?+…+〃x"i=

1-1+nx-\-nx+x

.xWl.

l~x

5.(2024?山東省濟(jì)南市歷城其次中學(xué)高三模擬考試)等差數(shù)列｛2｝的前刀項(xiàng)和為S,數(shù)

歹!J｛4｝是等比數(shù)列，滿足劭=3,61=1,為+￡=10,a一2坊=&.

(1)求數(shù)列｛a｝和M的通項(xiàng)公式；

一,〃為奇數(shù)

⑵令S,設(shè)數(shù)列｛或｝的前n項(xiàng)和為T?,求T2m

b?,A為偶數(shù)

［解析］(1)設(shè)數(shù)列仿〃｝的公差為&數(shù)列｛4｝的公比為