2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納：三角形中的導(dǎo)角模型-高分線(xiàn)模型、雙（三）垂直模型

三角形中的導(dǎo)角模型-高分線(xiàn)模型、雙（三）垂直模型

近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線(xiàn)、角平分線(xiàn)及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角.本專(zhuān)題高分線(xiàn)模型、雙垂直模

型、子母型雙垂直模型（射影定理模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

例1.（2023秋?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在。中，NN=30。，NB=50。，CD為//C8的平分線(xiàn),

CE，AB于點(diǎn)、E,則NEC。度數(shù)為（）

【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到4CE=40。，再根據(jù)NN=30。,CD平分即可得到〃CD的度

數(shù),再根據(jù)ZDCE=NBCD-NBCE進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：'.'ZS=50°,CEVAB,ABCE=40°,

又...=30°,CD平分ZACB,ABCD=：NBCA=|x（180°-50°-30°）=50°,

ZDCE=ZBCD-NBCE=50°-40°=10。,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，Z1=Z2,G為/。的中點(diǎn)，BG的延長(zhǎng)線(xiàn)

交/C于點(diǎn)E,尸為48上的一點(diǎn)，3與ND垂直，交AD于點(diǎn)、H,則下面判斷正確的有（）

①4D是"BE的角平分線(xiàn)；②BE是AABD的邊/D上的中線(xiàn)；

③CH是"CD的邊4D上的高；@4H是MCF的角平分線(xiàn)和高

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】解：①根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)的概念，知NG是A/BE的角平分線(xiàn)，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；

②根據(jù)三角形的中線(xiàn)的概念，知8G是A/BD的邊/。上的中線(xiàn)，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；

③根據(jù)三角形的高的概念，知為△ZCD的邊/D上的高，故此說(shuō)法正確；

④根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)和高的概念，知4FZ是A/CF的角平分線(xiàn)和高線(xiàn)，故此說(shuō)法正確.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線(xiàn)、三角形的中線(xiàn)、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線(xiàn)、

中線(xiàn)、高都是線(xiàn)段，且都是頂點(diǎn)和三角形的某條邊相交的交點(diǎn)之間的線(xiàn)段.透徹理解定義是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?安徽合肥?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知N。、分別是RQA8C的高和中線(xiàn)，/8=9CM,/C

=12cm,BC=15cm,試求：（1）/。的長(zhǎng)度；（2）和△48E的周長(zhǎng)的差.

【答案】（1）4。的長(zhǎng)度為彳57；（2）和△48E的周長(zhǎng)的差是3c%

【分析】（1）利用直角三角形的面積法來(lái)求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度；（2）由于AE是中線(xiàn)，那么BE=CE,再表示

△ACE的周長(zhǎng)和4ABE的周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)可得4ACE的周長(zhǎng)-Z\ABE的周長(zhǎng)=AC-AB即可.

【詳解】解：(1)■.-ZBAC=90°,AD是邊BC上的高,??SAACB=AB-AC=YBC-AD,

AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,:AD==9：12=電(cm),即AD的長(zhǎng)度為生cm；

CB1555

(2):AE為BC邊上的中線(xiàn)，.-.BE=CE,

」.△ACE的周長(zhǎng)-AABE的周長(zhǎng)=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),

即AACE和AABE的周長(zhǎng)的差是3cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法.

例4.(2023?廣東東莞?八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，在“8C中，AD,4E分別是“3C的高和角平分線(xiàn),

若N3=30。，NC=50。.⑴求/D4E的度數(shù).(2)試寫(xiě)出/D4E與/C—/8關(guān)系式，并證明.(3)如圖，F(xiàn)

為/E的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，F(xiàn)DLBC^D,這時(shí)乙4尸。與NC-N3的關(guān)系式是否變化，說(shuō)明理由.

【答案】⑴10°(2)NO/E=；(NC-N3)(3)不變，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/R4C,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到N氏4E=50。，根據(jù)高線(xiàn)的性質(zhì)得到

AADE=90°,從而求出乙B4D=60。，繼而根據(jù)角的和差得到結(jié)果；(2)根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到

NBAE=；NBAC,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NENC=90。-g/8-g/C,根據(jù)角的和差得到結(jié)果；(3)過(guò)A作

AG1BC=f-G,結(jié)合(2)知NE4G=；(NC-NB),證明尸D〃ZG,得到乙4FD=NE/G,即可證明.

【詳解】(1)解:Z5=30°,ZC=50°,,N84c=180。-50。-30。=100。，

AE平分N&4C,NBAE=ZCAE=4c=50°,

,「N。是高，ZADE=90°,ZS=30°,ABAD=60°,ZDAE=ABAD-ZBAE=10°；

(2)ZDAE=g(ZC-ZB),

證明如下：???4B平分/9C,二=

ABAC=1800-ZB-ZC,：.Z^C=1(18O°-Z5-ZC)=9O°-1ZB-|ZC,

NEAD=NEAC-NDAC=90。-；NC一(90。一NC)=1(ZC-Z3)；

(3)不變，理由是：如圖，過(guò)A作/G1BC于G,由(2)可知：ZEAG=^(ZC-ZB),

F

\'AGLBC,乙4GB=90°,'：FD1BC,ZFDC=90°,ZAGD=ZFDC,;.FD//AG,

:.NAFD=NEAG,:.NAFD=；（NC-NB）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定與性質(zhì),

熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型2：雙垂直模型

結(jié)論：①;②LB=LAFD=^CFE；③AB-CD=AE-BC。

例1.（2023?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在。8c中，BE分別是山邊上的高，并且C。,成交于

點(diǎn)尸，若24=50°,則N3PC的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求得NN3E的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得.

【詳解】解：:8E是NC邊上的高，ZBEA=90°,-：ZA=50°,ZABE=90°-ZTI=90°-50°=40°,

CD是48邊上的高,：.NCDB=90。,ZBPC=ZCDB+Z.ABE=90°+40°=130°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

例2.（2022秋?安徽宿州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，CD和8E分另IJ是48,/C邊上的高，若CD=12,

AT

BE=16,則一二二的值為（）.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可.

11Ar123

［詳解］「s"8c=彳/*8=二/。的，.-.12AB=16AC,故選B.

22AD164

【點(diǎn)睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.根據(jù)三角形的面積公式得出ABCD=AC-BE是解題關(guān)鍵.

例3.（2023春?河南周口?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在“8C中，AB=8,BC=10,CF，AB于點(diǎn)F,AD1BC

于點(diǎn)。，4D與C尸交于點(diǎn)E,4=46。.

⑴求/ZEC的度數(shù).（2）若40=6,求CF的長(zhǎng).

【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；

（2）利用等面積法，由=萬(wàn)代值求解即可得到答案.

【詳解】（1）解：「。尸」48,二/。尸8=90。，

ZS=46°,二ZBC尸=44°,/AD1BC,AADC=90°,

AAEC=ZADC+ABCF=90°+44°=134°；

(2)解：-：CF1AB,AD1BC,S^ABC=~BC-AD=-AB-CF,

ADBC6x1015

-：AB=S,3c=10,AD=6

AB8

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

模型3：子母型雙垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）

結(jié)論：①N3=NC4。；②NC=NB4D；@AB-AC=ADBC.

例1.（2023?廣東廣州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△/C3中，ZACB=90°,CDLAB”,求證:

【分析】根據(jù)CD_L/3可得44c8=NCDB=90。，再根據(jù)NB+NBC。=N8CD+44CD=90。，即可求證.

【詳解】證：VCDLAB,ZACB=90°ZACB=ZCDB=90°

又NB+ZCDB+ZBCD=180°,二4B+ZBCD=90°

又,：AACB=/LBCD+ZACD=90°,ZB+Z.BCD=ABCD+ZACD=90°NB=ZACD

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì).

例2.（2023?山東泰安?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AD,3尸分別是△NBC的高線(xiàn)與角平分線(xiàn)，BF,4D交

于點(diǎn)E,Z1=Z2.求證：△ABC是直角三角形.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)4D是△48C的高線(xiàn)，可得NBED+/EBD=90。,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得//BE=/EAD,

觀察/BED與NAEF的位置,可知是一組對(duì)頂角，進(jìn)而進(jìn)行等量代換可得=90。，至此結(jié)合

已知不難得到AAFE+/LABE=90°,由此解題.

【詳解】證明：由題意得：ADLBC,BF平分N4BC,

:"BED+/EBD=gO。,AABE=AEBD,：./BED+/4BE=9。。,

又NAEF=ABED,/AEF+/ABE=90°,

???AAEF=AAFE,ZAFE+^ABE=90°,:.^BAF=90°,即4/臺(tái)。是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高線(xiàn)、角平分線(xiàn)的定義，對(duì)頂角相等，熟記角平分線(xiàn)的定義與直角三角形的定

義是關(guān)鍵.

例3.（2022秋?北京通州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在zUBC中，4BC=90。，BD1AC,垂足為。.如

果4C=6,BC=3,則8。的長(zhǎng)為（）

A.2B.1C.3也D.這

2

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出/瓦再利用三角形面積求出5。即可.

【詳解】解：：NN8C=90。，AC=6,BC=3,,根據(jù)勾股定理48=灰匚布7=病二,

:BDVAC,:.SAABC^-ABBC=-AC-BD,即2x3gx3=工乂6/。，解得：BD=—.故選擇D.

22222

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

三角形面積等積式是解題關(guān)鍵.

例4.（2023春?江蘇蘇州?七年級(jí)蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在zUBC中，NACB=NCDB=瞋0<m<180）,

NE是角平分線(xiàn)，。是48上的點(diǎn)，AE、CD相交于點(diǎn)尸.

⑴若m=90時(shí)，如圖所示，求證：NCFE=NCEF；（2）若mw90時(shí)，試問(wèn)NCFE=NCE/還成立嗎？若成立

說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)比較和/CE尸的大小，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵不成立；當(dāng)加>90時(shí)，NCFE>ZCEF；當(dāng)能<90時(shí)，ZCFE<ZCEF■,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）證明NC4￡=NA4￡,由//C8=NCOB=90。，證明4CD=N8,由三角形的外角的性質(zhì)可

得NCFE=ZACD+NCAE,ZCEF=ZB+ABAE,從而可得結(jié)論.

（2）證明NC尸E-NCEF=NHCB-N8,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得

ACFE-ZCEF=m-/.BCD-(180-zn-ZSCD)=2n-180,再分兩種情況可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：1?HE是角平分線(xiàn)，=NA4E,

-,-AACB=ACDB=m°(0<m<180),m=90,:.NACB=NCDB=90。,

ZACD+ZBCD=90°=ABCD+ZB,.1AACD=AB,

■：ZCFE=AACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ABAE,:.NCFE=NCEF.

(2)不成立.理由如下：

?:NCFE=ZCAF+ZACF,ZCEF=ZB+NEAB,NCAE=ZBAE,:.ZCFE-NCEF=NACF-NB,

■：ZACB=NCDB=m。［。<m<180),ZCFE-ZCEF=m-ABCD-(180-m-ZSCZ))=2m-180

當(dāng)掰>90時(shí)，NCFE-/CEF=2m-18。>0,，CFE>/CEF；

當(dāng)加<90時(shí)，NCFE-NCEF=2m-18Q<Q,ZCFE<ZCEF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線(xiàn)是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，不

等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在“BC中，ZC=90°,N/=30。，的垂直平分線(xiàn)交NC于

點(diǎn)、D,交AB于點(diǎn)E,AC=6,則CD的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】連接3D,由垂直平分線(xiàn)得3。=/。，可求得NC8O=30。，于是CD=；2Z)=；4D,根據(jù)4C=6,

求得CD=2.

【詳解】解：連接3D,???￡>￡r是N8的垂直平分線(xiàn)，.?.3。=4。，

AABD=ZA=30°,Z.CBD=180°-90°-30°x2=30°,

ZCBD=ZABD=30°,CD=^BD=^AD,AC=6,3CD=6,CD=2.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，30。角直角三角形性質(zhì)；添加輔助線(xiàn)，運(yùn)用垂直

平分線(xiàn)導(dǎo)出角之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，中，BDVAC,郎平分/NBC,若D/=2BC,ZDBE=20°,

則ZABC=()

DE

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】設(shè)NC=a,那么4=2a,然后利用。分別表示N48C,ZABE,ZABD,最后利用三角形內(nèi)

角和定理建立方程解決問(wèn)題.

【詳解】解：?.,△A8C中，DA=2DC,

.?.設(shè)NC=a,那么4l=2a,..ZABC=180°-44-NC=180°-3a,

BE平分/4BC,ZABE=|ZABC=1（180°-3a）,

i3

BDLAC,Z.DBE=20°,:.乙4BD=NABE-NDBE=萬(wàn)（180。-3a?20。=70。-,

3

ZA+ZABD=2a+10°——a=90°,a=40°,

2

Z^SC=180°-2L4-ZC=180°-3a=60°.故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角

形內(nèi)角和定理.

3.（2023?綿陽(yáng)市八年級(jí)月考）如圖，在。3c中，AF平分/BAC交BC于效F、BE平分/ABC交AC于

點(diǎn)、E,與BE相交于點(diǎn)O,4。是8C邊上的高，若NC=50。，BEAC,則ND4b的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意證明）班2CBE（ASA）,得出ZB/C=NC=50。，三角形內(nèi)角和定理得出48C=80。，根據(jù)

直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得N34D=10。，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得乙陽(yáng)尸=348"=25。，根據(jù)

ZDAF=ZBAF-ZDAB即可求解.

【詳解】解：'.'BE1AC,BE平分/ABC,;.NAEB=NCEB=9Q°,ZABE=ZCBE,

,:BE=BE,RBEMACBE（ASA）,NR4C=NC=50。，ZABC=\SQ°-ABAC-ZC=S0°,

'：BEIAC,ZADB=90°,:.NB4D=10。

尸平分N3/C,:2B4F=；NB4c=25。,ZDAF=ZBAF-ZDAB=15°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平

分線(xiàn)的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?遼寧沈陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，乙4c8=90。，AD,BE,CF分別是AABC的

中線(xiàn)、角平分線(xiàn)和高線(xiàn)，BE交CF于點(diǎn)、G,交AD于點(diǎn)、H,下面說(shuō)法中一定正確的是（）

△ACD的面積等于△ABD的面積；②NCEG=NCGE；

③NACF=2NABE；?AH=BH.

C.②④D.①③

【答案】B

【分析】①根據(jù)三角形中線(xiàn)平分三角形的面積，即可判斷A/CD的面積等于△/助的面積；

②先根據(jù)同角的余角相等證得NC43=ZBCG,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出ZABE=4CBE,最后根據(jù)三角

形外角的性質(zhì)得出ZCEG=NCAB+NABE,ZCGE=ZCBE+ZBCG,即可得證；

③先根據(jù)同角的余角相等證得ZACF=NCBF再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出ZCBF=2AABE,于是推出

ZACF=2NABE；④無(wú)法證得AH=BH.

【詳解】解：是“8C的中線(xiàn)，=CD=9，「.△/CD的面積等于的面積，故①正確；

???BE是以4BC的角平分線(xiàn)，ZABE=ACBE,

「CF是AA8C的高線(xiàn)，ZCFA=90°,ZCAB+ZACF=90°,

ZAC￡=90°,ZACF+ZBCG=90°,：.ZCAB=ZBCG,

???NCEG是的一個(gè)外角，ZCEG=ZCAB+ZABE,

「NCGE是ABCG的一個(gè)外角，:.ZCGE=ZCBE+NBCG,ACEG=ZCGE,故②正確；

,「C歹是的高線(xiàn)，ZCFB=90°,ZCBF+ZBCF=90°,

-：ZACB=90°,ZACF+ZBCF=90°,:.AACF=NCBF,

???班是A/18C的角平分線(xiàn)，ACBF=2ZABE,ZACF=2ZABE,故③正確；

無(wú)法證得故④錯(cuò)誤；故正確的有①②③故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積“三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握這

些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北十堰?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在A48C中，ABAC=90°,4B=6,AC=8,BC=W,AD

是高，族是中線(xiàn)，CF是角平分線(xiàn)，CF交/。于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)、H,下面結(jié)論：①"BE的面積=△BCE

的面積；②NAFG=4AGF；③NF4G=2N4CF；④40=2.4.其中結(jié)論正確的是（）

A.(1X2)B.①M(fèi)C.①②③D.③④

【分析】根據(jù)三角形角平分線(xiàn)和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線(xiàn)和面積公式可確定

△ABE和△3CE的面積關(guān)系以及求出AD的長(zhǎng)度.

【詳解】解：:BE是A/BC的中線(xiàn)=的面積等于△8CE的面積故①正確；

■：^BAC=90°,4。是A/BC的高.?.ZAFG+ZTICG=90°,ZDCG+ADGC=90°

..?Cr是"BC的角平分線(xiàn)ZACG=ADCGZAFG=ZDGC

又：NDGC=ZAGFZAFG=ZAGF故②正確；

?：4FAG+NDAC=ADAC+ZACD=90°:"FAG=Z.ACD

'：AACD=ZACF+ZDCF=2AACF:"FAG=2AACF故③正確；

,：2S.ABC=AB?AC=BC?AD；./。=^^￡=等=4.8故④錯(cuò)誤；故選：C

nC1（J

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)，靈活運(yùn)用三角形的中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，08c是等腰三角形，AB=AC,乙1=45。，在腰N8上取

一點(diǎn)。，DELBC,垂足為E,另一腰/C上的高陽(yáng)交。E于點(diǎn)G,垂足為尸，若BE=3,則DG的長(zhǎng)

為.

【答案】6

【分析】過(guò)點(diǎn)G作MG18/交BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作2W1即，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出

ZFBC=ZBDE,再由垂直及等量代換得出=利用等角對(duì)等邊確定MG=MD=BG,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作MG1AF交BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作NMIED,如圖所示：

A

-：AB=AC,41=45。，DELBC,

ZABC=ZC=67.5°,NBDE=22.5°,/ABF=/A=45°,

ZFBC=ZABC-AABF=22.5°,ZBGE=67.5°ZFBC=NBDE,

■：MGLBF,NMLED,ZBGM=ZMND=90°,ZABF=ZBMG=45°

ZMGD=180°-ZBGE-ZBGM=22.5°,MG=BG,

:.NMGD=NBDG,：.MG=MD=BG,DG=2DN,

'AMND=ABEG=90P

在.ADNM與ABEG中,,ZBDE=ZFBC,/.^DNM^^BEG(AAS)

DM=BG

DN=BE=3,DG=1DN=6,故答案為：6.

【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線(xiàn)，熟

練運(yùn)用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.(2023春?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在“8C中，NA4c=90。，ZC=40°,4//、8。分別是。3。

的高和角平分線(xiàn)，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AADE為直角三角形時(shí)，貝ijNCDE=

【答案】50或25/25或50

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得ZA8C=50。，由角平分線(xiàn)的定義得ND8C=25。，當(dāng)△3DE為直角三角

形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：-.ZBAC=90°,ZC=40°,ZABC=90°-40°=50°

BD平分4BCZDBC=-ZABC=25°

當(dāng)△5DE為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況:

①當(dāng)N8瓦＞=90°時(shí)，如圖1,ZC=40°.ZCD￡=90°-40°=50°；

②當(dāng)NBZ）E=90°時(shí)，如圖2,ZBED=90°-25°=65°,

■：ABED=ZC+ZCDB,ZC￡>￡=65°-40=25°,

綜上，NCDE的度數(shù)為50°或25。.故答案為：50或25.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此

題的關(guān)鍵.

8.（2023春?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在“8。中，ZACB=90°,D、￡分別在邊48、BC

上，AE,CD相交于點(diǎn)尸.

⑴給出下列信息：①NCFE=4CEF；②ZE是的角平分線(xiàn)；③CD是小BC的高.請(qǐng)你用其中的兩

個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；

條件：,結(jié)論：.（填序號(hào)）

證明：

（2）在（1）的條件下，若NB=a,求乙DEE的度數(shù).（用含。的代數(shù)式表示）

【答案】⑴①②；③；見(jiàn)解答（2）/。也=135。-；。

1分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得NA4E=NC4E,由NCFE=NCE/和

ZAFD=NCFE「得出NCEF=ZAFD,利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案.

【詳解】(1)條件：①②，結(jié)論：③，

證明：:NE是443C的角平分線(xiàn)，,=

ZCFE=ZCEF,ZCFE=ZAFD,ACEF=AAFD,

-：ZACE+ZAEC+NCAE=ZADF+ZAFD+ABAE=180°,

:ZCE=N4DF=9。。,..CD是“BC的高.

條件：①③，結(jié)論：②，

證明：CD是-8C的高，ZACB=ZBDC=9Q°,：.ZB=ZACD=90°-ZBCD,

;2CFE=NCEF,ACFE=AACF+ZCAF,ZCEF=AB+ZBAE,

4BAE=NCAE,二NE是。BC的角平分線(xiàn)；

條件：②③，結(jié)論：①，

證明：1YE是小BC的角平分線(xiàn)，=/B4E=NC4E,

.?CD是AABC的高，AACB=ZBDC=90°,

：.ZB=ZACD=900-ZBCD,

ZCFE=AACF+ZCAF,ZCEF=ZS+ABAE,

4CFE=NCEF；故答案為：①②；③；

證明：見(jiàn)解答；

(2)；4B=a,:.NB4c=90。一a,

190°-a

AE是^ABC的角平分線(xiàn)，NBAE=~^BAC=--—,

90°-a1

ZADC=90°,ADFE=Z.BAE+AADC=---------+90°=135°——a.

22

【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，掌握角分線(xiàn)的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.(2023秋?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在RQA8C中，4cB=90。，CD14B于。，AF平分NCAB

交CD于E,交BC于F.

c

⑴如果NCEE=70。，求的度數(shù)；(2)試說(shuō)明：NCEF=ZCFE.

【答案】⑴50。(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NG4尸的度數(shù)，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得NC48的度數(shù)，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；

(2)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得NC4尸+NC尸E=90。，ZDAE+AAED=90°,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義

可得NC4F=NDAE,從而可得NCFE=NZEQ,即可得證.

【詳解】(1)解：7a1CS=90。，ZCFE=70°,

NCAF=180°-90°-70°=20°,

：4尸平分/C4B交CD于E,

ZCAB=2ZCAF=40°,

Z5=90o-40°=50°；

(2)證明：7乙4c3=90。,

NCAF+NCFE=90°,

：CD1AB,

ZADE=90°,

ND4E+ZAED=90。,

：4尸平分/C4B交CD于E,

ZCAF=ZDAE,

4CFE=ZAED,

:ZAED=ZCEF,

ACEF=NCFE.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.(2023秋?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于下列問(wèn)題，在解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容(理由或數(shù)學(xué)

式）.如圖.在直角"BC中，C。是斜邊上的高，乙88=35。.

AC

⑴求NE8C的度數(shù)；（2）求//的度數(shù).

解：（1）-：CDLAB（已知），

ACDB=°,

'JAEBC=ZCDB+ABCD（）,

ZEBC=°+35。=°（等量代換），

（2）ZEBC=ZA+AACB（）,

:.ZA=ZEBC-（等式的性質(zhì)），

7a4cs=90。（已知），

二乙4=-90。=°（等量代換）.

【答案】⑴90；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；90；125

⑵三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；ZACB-,125°；35

【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進(jìn)行作答即可；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進(jìn)行作答即可.

【詳解】（1）解：:。。148（已知），；./。。3=90。，

...N￡BC=NCD8+乙8CD（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）.

:"EBC=90。+35。=125°（等量代換）.

⑵..^NE3C=乙4+44CS（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），

，乙4=NEBC-乙4cB（等式的性質(zhì)）.

'ZCB=90°（已知），；.N/=125。-90。=35。（等量代換）.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角.熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題關(guān)鍵.

11.（2023?廣東中山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在“8C中，/ACB=90。,CDLAB于點(diǎn)、D,E為AB上

一點(diǎn)，AC=AE

c

⑴求證：CE平分ZDCB；⑵若CE=EB,求證：BD=3AD.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)證明乙DCE=90。-NCED,NBCE=90°-ZACE,再證明NCED=4CE,從而可得結(jié)論；

(2)先證明Z8=N8CE,NB=NDCE=NBCE=30°可得/ACD=90°-/DCE-NBCE=30°,AC=2AD,

AB=2AC=4AD^從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)證：在Rt^COE中，NDCE=90。-NCED

在RtZUBC中，NBCE=9Q°-ZACE

-：AC=AE,

ZCED=AACE,

：.ZDCE=ZBCE,

:.CE平分4DCB；

(2)CE=BE,

NB=ZBCE

,在Rt^CAE中，ZB+ZBCD=90°,而/BCD=NDCE+NBCE

ZB=ZDCE=NBCE=30°

ZACD=90°-ZDCE-ABCE=30°

?.?在RtzX/CD中，ZACD=30°

AC=2AD

?.?在Rta/3C中，ZB=30°

AB=2AC=4AD,

BD=AB-AD=3AD.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的證明并

求解4B=ZDCE=NBCE=30°是解本題的關(guān)鍵.

12.(2023?浙江溫州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在△N8C中，ZACB=90°,CDL/8于點(diǎn)。，CE平分

NDCB交AB于點(diǎn)瓦

c

(1)求證：4AEC=/ACE；(2)若NN￡C=2NB,4D=1,求的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析(2)/5=4

【分析】(1)依據(jù)//C8=90。，CDLAB,即可得到//CD=/瓦再根據(jù)CE平分/BCD,可得NBCE=

ADCE,進(jìn)而得出N/EC=N/CE；(2)依據(jù)N4CD="CE=NDCE,ZACB=90°,即可得到N/CO=

30°,進(jìn)而得出式/中，AC=2AD=2,RtMBC中,AB=2AC=4.

【詳解】(1)AACB=90°,CDLAB,

ZACD+ZA=ZB+ZA=90°,:.AACD=AB,

；CE平分/BCD,：./BCE=乙DCE,

：.AB+ABCE=AACD+^DCE,即N4EC=/ACE；

(2)AAEC=AB+ABCE,4AEC=2/B,：.AB=ABCE,

又；NACD=NB,4BCE=NDCE,:.NACD=NBCE=NDCE,

又://C2=90。，AACD=30°,N3=30。，

.?.w△/CD中，AC=2AD=2,:.RtMBC中,AB=2AC=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、直角三角形30。角所對(duì)的直角

邊長(zhǎng)度是斜邊的一半，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是180。，三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和.

13.(2022秋?河南商丘?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在。BC中，NE分別是"8C的角平分線(xiàn)和高

線(xiàn)，ZABC=a,乙4cB=B(a<困.

⑴若Q=35。,萬(wàn)=55。，則ZZME=；

(2)小明說(shuō)：“無(wú)需給出外，的具體數(shù)值，只需確定萬(wàn)與。的差值，即可確定/D4E的度數(shù).”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算

驗(yàn)證小明的說(shuō)法是否正確.

【答案】⑴10°（2）小明的說(shuō)法正確,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出/胡C,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出根據(jù)直角三角形的兩

個(gè)銳角互余求出NCAE,再利用角的和差即可求出ZDAE；

（2）根據(jù)（1）的思路求出ND4E=\@，即可作出判斷.

【詳解】（1）?:NABC=a,ZACB=隊(duì)。＜刃,a=35。,，=55。，

ABAC=180°-a-/3=90°,

*/40是/氏4C的平分線(xiàn)，

:ADAC=-ABAC=45°,

2

AE是局線(xiàn),

/.ZAEC=90°f

/.ZEAC=90?！?C3=90。—￡=35。，

/DAE=/CAD-/CAE=45°-35°=10°；

（2）?.?NA4C=180?！?3C+4cg）=180。-（0用），/￡是NB4C的平分線(xiàn)，

/.ADAC=g/BAC=90?！?￡）.

.AE是高線(xiàn)，

/.ZAEC=90°,

:"EAC=90?！?CH=90。-￡,

.?.ZCUE=ZZMC—N￡/C=90?！唬?+￡）—（90?！f(wàn)）=^^.

由/0/石=與0可知：/D4E的度數(shù)與。、萬(wàn)的具體數(shù)值無(wú)關(guān)，只和萬(wàn)與。的差值有關(guān)，

故小明的說(shuō)法正確.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的定義、直角三角形的兩個(gè)銳角互余和角的和差計(jì)算,

屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握三角形的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?安徽安慶?八年級(jí)校考期中）如圖，在AABC中，乙8=63。，ZC=51°,4。是3C邊上的高，AE

是/胡。的平分線(xiàn).

A

⑴求/D4E的度數(shù)；（2）若N8>NC,試探求ND4E、NB、NC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴/"￡=6。⑵ZD/￡=；Z8一g/C

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出/胡。=180。-/3-/。=66。，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出

ZBAE=ACAE=|ABAC=33°,根據(jù)/D/8C,得出ZADB=ZADC=90。，求出=90。一N8=27。,

最后根據(jù)NDAE=NBAE-NBAD=33°-27°=6°得出結(jié)果；

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出==4c=90。-（48-〈NC,根據(jù)高線(xiàn)的定義得出

NADB=ZADC=90。,求出Z8/D=90。一Z8,根據(jù)Z8>NC,彳導(dǎo)出NB4D<NB4E,根據(jù)

ZDAE=NBAE-NBAD求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：,在“8C中，48=63。，ZC=51°,

ABAC=180°-ZS-ZC=66°,

/E是/A4c的平分線(xiàn)，

NBAE=ZCAE=-ZBAC=33°,

2

???4D是3c邊上的高，

ADIBC,

ZADB=AADC=90°,

ZBAD=90°-ZB=21°,

ZDAE=ABAE-ABAD=33°-27°=6°.

（2）解：?.?/8/。=180。一/8-/。，/E是/A4c的平分線(xiàn)，

ZBAE=ZCAE=-ABAC=90°--Z5--ZC,

222

ZD是BC邊上的高，

ADIBC,

ZADB=ZADC=90°,

/BAD=90°-NB,

/Z5>ZC,

/BAD</BAE,

/.Z.DAE=/BAE-Z.BAD

=90°--Z5-izC-900+ZS

22

=-zs--zc,

22

即一;/C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的定義，三角形的高線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握三角形內(nèi)角和為180。.

15.(2023?福建莆田?八年級(jí)校考期中)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，

那么稱(chēng)這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”.

從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分

割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形”，我

們把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線(xiàn)”.

⑴如圖1,在Rt^4BC中，44cs=90。，CDLAB,請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)“等角三角形”；

(2)如圖2,在zUBC中，CD為/NC8的平分線(xiàn)，乙4=40。，ZB=60°.求證：CD為的“等角分割線(xiàn)”;

(3)在AABC中，若4=50。，CD是小BC的"等角分割線(xiàn)”，請(qǐng)求出所有可能的N/CS的度數(shù).

【答案】⑴"8C與A/CD；"BC與ABCD；AACD與2BCD(任意寫(xiě)出兩對(duì)“等角三角形”即可)

2600310°

⑵見(jiàn)解析⑶NACB的度數(shù)為100?；?15?；騬或r

【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得—CB=ZADC=NADC=90。，ZA=NBCD,ZB=ZACD,

再根據(jù)“等角三角形”的定義即可得；

(2)先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得44c3=80。，從而可得4cD=ZDCB=40。，根據(jù)等腰三角形的判

定可得A/CD是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得N8r>C=NNC8=80。，從而可得△BCD與

“BC是"等角三角形，，，然后根據(jù)等角分割線(xiàn)的定義即可得證；

(3)分①當(dāng)A/C。是等腰三角形，DZ=DC時(shí)；②當(dāng)A/CO是等腰三角形，D4=/C時(shí)；③當(dāng)△BCD是等

腰三角形，0c=3。時(shí)；④當(dāng)△BCD是等腰三角形，=時(shí)四種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角

形的外角性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)解：7乙4cs=90。，CDLAB,

ZACB=NADC=4BDC=90°,

AA+ZB=AA+AACD=ZB+ZBCD=AACD+ABCD=90°,

ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

:."BC與"CD；AABC與△BCD；△/(%＞與△BCD是“等角三角形”.(任意寫(xiě)出兩對(duì)“等角三角形”即可)

(2)證明：在08C中，N/=40。，/8=60。，

ZL4CS=180°--Z5=80°,

「CD為角平分線(xiàn)，

AACD=ADCB=-AACB=40°,

2

ZACD=AA,ZDCB=AA,

CD=AD,

.?.△/CD是等腰三角形，

■.■在△DBC中，ZDCS=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-ADCB-Z5=80°,

ZBDC=ZACB,

△BCD與“BC是"等角三角形”，

二。為"8C的等角分割線(xiàn).

(3)解：由題意，分以下四種情況：

①當(dāng)"CD是等腰三角形，D4=D。時(shí)，ZACD=ZA=50°,

ZACB=ABDC=50°+50°=100°；

C

②當(dāng)是等腰三角形，DA=ACB^,^ACD=ZADC=65°,ABCD=AA=50°,

???4c5=65。+50。=115。；

c

ADB

1QAO_50。1ono

③當(dāng)△BCD是等腰三角形，DC=BD^,NACD=NBCD=/B=--------=——,

zA

ADB

④當(dāng)△5CQ是等腰三角形，￡）8=3。時(shí)，ZBDC=ZBCD,

設(shè)4BDC=4BCD=x,貝i」N5=180。一2x,ZACD=ZB=lS0°-2x,

230°

由三角形的外角性質(zhì)得：AA+ZACD=/BDC,即50。+180?！?x=x,解得％=二，

310°

/.AACB=ZACD+/BCD=180。一2x+%=----；

3

ADB

綜上，N/C8的度數(shù)為100。或115。或2號(hào)600-或3號(hào)10°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3）,正

確分四種情況討論是解題關(guān)鍵.

16.（2023?安徽安慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，NA4c和N48C的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。

作EF//AB交BC于F,交/C于E,過(guò)點(diǎn)。作OD1BC于D.

(1)求證：ZAOB=90°+^ZC；(2)求證：AE+BF=EF-,(3)若。。=a,CE+CF=2b,請(qǐng)用含a,b

的代數(shù)式表示ACE尸的面積，SLCEF=（直接寫(xiě)出結(jié)果）

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)EF=AE+BF?,(3)ab

【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論成立.

(2)由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到力￡=?！?BF=OF,然后即可得結(jié)論成立；

(3)過(guò)點(diǎn)。作OGJ_AC,連接0C,由點(diǎn)。為內(nèi)心，可知OD=OG,由S。所=5^。尸+5t0后，即可得到答

【詳解】證明：(1)05平分/以C和

AOAB=ZOAE=-ZCOB,AOBA=ZOBF=-ZABC