2024年高考數(shù)專項復(fù)習(xí)：不等式

5、不等式2024年高考數(shù)專項復(fù)習(xí)

一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，

要弄清條件和結(jié)論，考試中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，學(xué)

習(xí)時，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題.

二、基礎(chǔ)梳理

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)

學(xué)符號連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們

之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式.

2.比較兩個實(shí)數(shù)的大小

兩個實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有

a—6>0<=>；a—b=Q?。籥—Z)<0<=>.

另外，若6>0,則有］>l<=>a>6；~=l<4a=Z?；微

bob

3.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：a>b^b<a；

(2)傳遞性：a>b,b>—；

(3)可加性：a>ga+c___b-\-c,a>b,c>d=^a-\-c>b+

(4)可乘性：a>b,c>0=ac>6c；a>b>0,c>d>O0ac>bd；

(5)可乘方：a>6>0=>/>6"(aeN,〃22)；

(6)可開方：a>6>0=>§^>”22).

三、典型題型

題型一比較大小

【例1】已知a,b,c是實(shí)數(shù)，試比較一+爐十02與

aZ)+6c+ca的大小.

解：aIfc—(aZ)+bc~\-ca)

=；［(a-6)。+(Z?—c)2+(c—a)2］20,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時取等號.

a°+62+/2ab-\-bc-\-ca.

【訓(xùn)練1】已知a,6GR且a>6,則下列不等式中一定成立的

是().

a

A.”B.a>lj

C.1g(a—Z?)>0

題型二不等式的性質(zhì)

【例2】若a>0>6>—a,c〈d〈0,則下列命題：(1)ad>be；

ab

(2)二+—<0；(3)a~c>b~d-,(4)a?(d—c)>6(d—c)中能成立

de

的個數(shù)是().

A.1B.2C.3D.4

方法總結(jié)：在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的

命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)

用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如

對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.

題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【例3】已知函數(shù)f(2=af+Ar,且lWf(—1)W2,2Wf(l)W4.

求/"(—2)的取值范圍.

[審題視點(diǎn)]可利用待定系數(shù)法尋找目標(biāo)式『(一2)與已知式/(-I),

F(l)之間的關(guān)系，即用/1(—1),『(1)整體表示『(一2),再利用

不等式的性質(zhì)求f(—2)的范圍.

解：/,(—1)—a~b,/1⑴=a+6.『(-2)=4a—26.

設(shè)m(a+垃+〃(a—6)=4a—2b.

pz?+〃=4,\m—\,

[m~n=—2,[A=3.

:.以—2)=(a+6)+3(a—6)=f(l)+3F(—1).

「I—W2,2Wf(l)W4,

；.5Wf(-2)W10.

題型四利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式

111

【例4】設(shè)a>6>c,求證:

證明：Va>b>c,-c>—b.

11

c>ai>0’.?口>—>0.

111

R+=>°.又尸c>°'

111

四、小結(jié)一元二次不等式及其解法

一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

i.結(jié)合“三個二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法.

2.以函數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題.

二、基礎(chǔ)梳理

1.一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式

ax+6x+c>0(a>0)或axbx~\-c<G(a>0).

(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

2.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

如下表：

判別式A=

A>021=0AVO

b2-4ac

二次函數(shù)

y=ax2+

bx+c必上

(a>0)的

圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根

有兩相異實(shí)根沒有

ax+bx~\-c=0b

X1,X2(X1<X2)Xi=X2=——實(shí)數(shù)根

(a>0)的根La

ax+6x+c>0

{x\吊或X<X1}R

%>0）的解集

ax+bx-\-c<0

{x\X1<X<X2）00

S>0）的解集

一個技巧

一元二次不等式ad+6x+c<0(a#0)的解集的確定受a的符號、

爐一4ac的符號的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有

密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)y=af+6x+c(aW0)的圖象，數(shù)

形結(jié)合求得不等式的解集.若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解

變形后，化為ax'+bx+cXK或<0)(其中a>0)的形式，其對

應(yīng)的方程ax2+6x+c=0有兩個不等實(shí)根荀，x2,(不〈苞)

(此時gjac*則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”

求解集.

兩個防范

(1)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；

不要忘了二次項系數(shù)是否為零的情況；

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大

小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論,

分類要不重不漏.

三、典型題型

題型一一元二次不等式的解法

x+2x,x20,

【例1】已知函數(shù)f(x)=解不等式f(x)>3.

—x'+2x,x<0,

x20,[x<0,

解:由題意知或|2

x+2x>3〔一x+2x>3,

解得：x>\.

故原不等式的解集為{x|x>l}.

小結(jié)：解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；

(2)確定判別式/的符號；(3)若/20,則求出該不等式對應(yīng)的

二次方程的根，若/<0,則對應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次

函數(shù)的圖象得出不等式的解集.特別地，若一元二次不等式的左邊

的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集.

【訓(xùn)練11函數(shù)f{x)=yj2x+x—3+log3(3+2x-x)的定義域

為.

2x-\~x—320,

解析：依題意知

3+2x一3>0,

后一|或

解得《

—1VxV3.

??.1WXV3.

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,3).

題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法

【例2】求不等式123一數(shù)>才仁￡R)的解集.

解：V12x—ax>a,12x~ax—才>0,

即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+乃)(3x—乃)=0,

得：Xl=—J,A2=1.

①a>0時，一：<］解集為)或x>S；

②a=0時，x>Q,解集為｛x|xGR且/0｝；

③a<0時，解集為或x>—

綜上所述：當(dāng)a>0時，不等式的解集為1［x<—；或x>§；

當(dāng)a=0時，不等式的解集為｛x|xGR且x#0｝；

當(dāng)a<0時，不等式的解集為卜IxV,或x>-1j.

【訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式(1—ax)2cL

方法一：

方法二：由(1—ax)2〈l,得/3-2axV0,BPax｛ax—i)<0,

當(dāng)a=0時，x￡0.

當(dāng)a>0時，由ax^ax—i)<0,得a

2

即0?一.

a

2

當(dāng)aV0時，-<xV0.

a

綜上所述：當(dāng)a=0時，不等式解集為空集;

當(dāng)a>0時，不等式解集為卜

當(dāng)a<0時，不等式解集為<x<0

題型三不等式恒成立問題

［例3］已知不等式a9+4x+a>l—29對一切實(shí)數(shù)x恒成立，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：原不等式等價于(a+2)x?+4x+a-1>0對一切實(shí)數(shù)恒成立,

顯然a=—2時，解集不是R,因此a#—2,

a+2>0,

從而有?

A=42-4(a+2)(a-l)<0.

整理，得《a>—2,

A=(a-2)(a+3)>0.

fa>—2,

所以ia<—3或a>2,

所以a>2.

故a的取值范圍是(2,+°o).

【訓(xùn)練3】已知/'(x)=3—2ax+2(a￡R),當(dāng)［—1,+°°)

時，。恒成立，求a的取值范圍.

解法一：

f{x)=(x—3)?+2—才，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.

①當(dāng)己￡(—8,—1)時，廣(x)在［―1,+8)上單調(diào)遞增，

/(^)min=A_1)=2a+3.要使f{x}2a恒成立，

只需_f(x)min2小

即2a+32a,解得一3WdV—1；

②當(dāng)石￡［-1,+8)時，_f(x)min=f(a)=2—才，

由2—才解得一IWaWl.

綜上所述，所求a的取值范圍為［—3,1］.

法二：

令g(x)=*—2ax+2—a,由已知，得

V—2ax+2—a20在［-1,+8)上恒成立，

A>0,

即/=4a?—4(2—a)W0或"a<—1

g(-D>0.

解得一3WaW1.

所求a的取值范圍是［—3,1］.

法三：

四、小結(jié)

二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

一、基礎(chǔ)梳理

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

⑴一般地，直線Aax+6y+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個部分：

①直線/上的點(diǎn)(x,力的坐標(biāo)滿足;

②直線，一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,力的坐標(biāo)滿足ax+6y+c>0；

③直線,另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足ax+by+c<0.

所以，只需在直線/的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(劉，耳),

從ax0+6%+。值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域.

(2)由于對直線/x+"y+C=O同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)

(x,y)代入4r+8y+C所得到實(shí)數(shù)的符號都,所以只需在此直

線的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)(劉，為)，由/的+8%+。的即可判斷

4r+做+6>0表示直線Ax+a+C=O哪一側(cè)的平面區(qū)域.

一種方法

確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊

點(diǎn)定域”的方法.

(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式

含有等號，把直線畫成實(shí)線.

(2)特殊點(diǎn)定域，即在直線/x+5y+c=o的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)

(劉，㈤作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包

括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè).特別地，當(dāng)今o時，常

把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C=0時，常選點(diǎn)(1,0)或者(0,1)作為測試點(diǎn).

2.注意事項

(1)作不等式所表示的平面區(qū)域時應(yīng)注意區(qū)分邊界的虛實(shí);

(2)不等式組所表示的平面區(qū)域是組中各個不等式所表示

平面區(qū)域的公共部分。

典型例題分析

x-y+6>0

例1：求不等式組<x+y20表示的平面區(qū)域的面積。

x<3

【法1](特殊三角形)

顯然AA5C為等腰直角三角形，ZA=90°,AB=AC,

易得B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—3),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9),貝U|BC|=12

^AABC=-X12X6=36O

【法2】(面積公式)

易得A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,3),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—3),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9),

則IAC|=J(3+3/+(9-3)2=$&

由點(diǎn)到直線的距離公式得高h(yuǎn)AC=I"Y+=6V2

V2

S=5*6A/2x6V2=36o

【法3】(向量法)

易得A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,3),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—3),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9),

則元=(6,6),AB=(6,-6)

S2x24sc=5義|6*(—6)—6*61=36。

x-y+6>Q

故不等式組<x+y20表示的平面區(qū)域的面積等于36。

x<3

例2：求不等式卜-1|+|y-W2表示的平面區(qū)域的面積。

x>0

4

例3：若不等式組lx+3y>4所表示的平面區(qū)域被直線y=左》+—分

3x+y<4'

為面積相等的兩部分，則左值是()

7r3八3

A、§B>yC、gD、1

解析：不等式組表示的平面區(qū)域是AA5C及其內(nèi)部(如圖)，其頂點(diǎn)分別

4

為4(1,1)、5(0,4)、C(0,-)

44

,直線y=左x+§必過定點(diǎn)C(°，§)，

154

只有直線過A3的中點(diǎn)M(5,：)時，直線y=々X+§才能平分平面區(qū)域

5G47

則±=2+?,即左=’。故選(A)

2233

【思考】

45

若將“直線y=改為"直線y=左十+二"，則上值又是多少？

"3"3

47

若將“直線丁=左》+§”改為“直線丁=心+耳”，則左值又是多少？

例4.某人準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查

后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）（注：初、高中的教育周期

均為三年，辦學(xué)規(guī)模以20?30個班為宜，老師實(shí)行聘任制）.

學(xué)班級學(xué)配備教硬件建教師

段生數(shù)師數(shù)設(shè)年薪

初26萬元2萬元

452

中/班/人

高54萬元2萬元

403

中/班/人

分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.

【解析】設(shè)開設(shè)初中班尤個，高中班y個.根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)

限制在20?30之間，所以有20Wx+yW30.

考慮到所投資金的限制，得到26x+54y+2x2x+2x3yW200,即x+2yW40.

另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)且為整數(shù)，即九eN,yeN

把上面四個不等式合在一起，得到：

'20<x+y<30,

x+2y<40,

<

xeN,

yeN.

用圖形表示這個限制條件，得到如圖中的平面區(qū)域（陰影部分）中的整數(shù)點(diǎn).

簡單的線性規(guī)劃問題

一、基礎(chǔ)梳理

線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

欲求_________________或

目標(biāo)函數(shù)

_______________的函數(shù)

約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組

線性約束條由x,y的一次不等式（或方程）組成的不等式組

件

線性目標(biāo)函

目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)

數(shù)

可行解滿足______________________________的解

可行域所有_______________組成的集合

使目標(biāo)函數(shù)取得____________或____________的點(diǎn)的

最優(yōu)解

坐標(biāo)

線性規(guī)劃問在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的

題_______________或_______________問題

一個步驟

利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；

(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；

(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確

定最優(yōu)解；

(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力

資源，問怎樣安排運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最

大；第二種類型是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務(wù)的

人力、物力資源量最小

(1)建立線性規(guī)劃模型；

(2)求出最優(yōu)解；

(3)作出實(shí)際問題答案。

三、典型題型

題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

介0,

【例1】直線2x+y—10=0與不等式組《

x—y^-2,

、4x+3j<20

表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有().

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

解析：由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分).

直線2x+y—10=0恰過點(diǎn)2(5,0),

4

且斜率k=-^<k=--,即直線2x+y—10=0與平面區(qū)域僅有一個公

ABO

共點(diǎn)/⑸0).

答案：B

方法總結(jié)：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集

的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

"0WxW2,

【訓(xùn)練1】已知關(guān)于x,y的不等式組2N0,

#x—y+220

所表示的平面區(qū)域的面積為4,則《的值為().

A.1B.—3C.1或一3D.0

解析：其中平面區(qū)域"x—y+220是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面.直線

Ax—y+2=0又過定點(diǎn)(0,2),這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4,確定

一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解.平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域

面積為4,得4(2,4),代入直線方程，得A=l.

題型二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

fowv小,

【例2]己知平面直角坐標(biāo)系x@上的區(qū)域D由不等式組1Z2,

[xWy[2y

給定.若〃（x,力為，上的動點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（鏡，1）,

則z=。7?。才的最大值為（）.

A.3B.4C.372D.4色

解析：畫出區(qū)域〃，如圖中陰影部分所示，而z=。7?。/=短才+為

.,.y^-y[2x+z,令h：y=一鏡x,將_Zo平移到過點(diǎn)（鏡，2）時，截距

z有最大值，故2皿=4*/+2=4.

答案：B

方法總結(jié)：求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域,

令目標(biāo)函數(shù)等于0,將其對應(yīng)的直線平行移動，最先通過或最后通過的

頂點(diǎn)便是最優(yōu)解.

x+2y-3WO,

【訓(xùn)練2】已知變量x,y滿足條件,x+3y—320,

y—1W0,

若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值,

則a的取值范圍是().

c.(o,IjD.9+8)

解析：畫出X、p滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)Z=ax+p

僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線y=—ax+z的斜率應(yīng)小于直線

x+2y—3=0的斜率，即一〃＜一；,

題型三求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

"x—4p+3W0,

［例3］變量x、p滿足＜3x+5y—25W0,

(1)設(shè)z=C求z的最小值；

X

(2)設(shè)z=x?+y，求z的取值范圍.

x—4y+3W0,

解析：由約束條件|3x+5p—25W0,

x21.

作出(x,力的可行域如圖所示.

4

fx=l,

由1,解得小,y

〔3x+5y—25=0,

\x=l,

由4解得(7(1,1).

〔x—4p+3=0,

卜一4y+3=0,

由卜子+5了-25=0,解得6(5,2).

(D'z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)〃連線的斜率?

4

⑵z=V+爐的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離的平方.結(jié)合

圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，

din=|OC\=y[i,dax=IOB\，2WZW29.

方法總結(jié)：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性約束條件表示的

可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目

標(biāo)函數(shù)的最值.

x-y+2>0

【訓(xùn)練3】設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組(2x-y-5W0,

x+y-4>0

則z=k+2y—4］的最大值為=

解析：作出可行域(如圖)即AA3C所圍區(qū)域(包括邊界),

其頂點(diǎn)A(l,3)、3(7,9)、C(3,l)

法1：?.,可行域內(nèi)的點(diǎn)都在直線x+2y—4=0上方，x+2y—4>0

則目標(biāo)函數(shù)等價于z=x+2y-4

易得當(dāng)直線z=x+2y—4在點(diǎn)3(7,9)處，目標(biāo)函數(shù)取得最大值

為zmax~21。

法2：z=k+2y_4|」"+?一$.百

V5

令P(x,y)為可行域內(nèi)一動點(diǎn)、定直線x+2y—4=0,

則2=百|(zhì)尸〃|,其中|尸”|為P(x,y)到直線x+2y—4=0的距離

|7+2x9-4|21

由圖可知|/W|max=l盛|=

,"zmax=21。，

x-y+1>0

【訓(xùn)練4】已知不等式組qx+y-220,

x<l

則z=葉型的取值范圍為_________

2x+y

解析：作出可行域(如圖)即AA3C所圍區(qū)域(包括邊界),

13

其頂點(diǎn)A(l,l)、C(l,2)

22

*.*x>0,y>0,?，?z="+"=2—3

2x+y2+Z

x

令左=2,P（x,y）為可行域內(nèi)一動點(diǎn)、

x

3

貝!Jz=2---------，k=kp

2+kO

,**k°A-k°p"k0B，「?1V人<3，

：A<z<~,即z=A2的取值范圍為1,-。

52x+yL5_

題型四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用

【例4】某企業(yè)生產(chǎn)48兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤

和電耗如下表：

產(chǎn)品品勞動力（個

煤（噸）電（千瓦）

種）

A產(chǎn)品394

8產(chǎn)品1045

己知生產(chǎn)每噸/產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸6產(chǎn)品的利潤是12萬元，

現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供

電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？

解析：設(shè)生產(chǎn)48兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為2萬元，依題意得

'3x+10j<300,

9x+4j<360,

<

4x+5j<200,

、x20,yNO.

目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y.

作出可行域，如圖陰影所示.

當(dāng)直線7x+12y=0向右上方平行移動時，經(jīng)過〃(20,24)時z取最大值.

該企業(yè)生產(chǎn)48兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤

方法總結(jié)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各

量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目

標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題.

四、小結(jié)

基本不等式

一、基礎(chǔ)梳理

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：.

⑵等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)_____時取等號.

2.幾個重要的不等式

(1)^2+Z?2>(a,/?￡R)；

(2)^+f>2(a,(同號);

(3)4后(“R)；

a2+b2

(4)—2~bGR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為三，幾何平均數(shù)為皿,

基本不等式可敘述為

4.利用基本不等式求最值問題

已知尤>0,y>0,則

(1)如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)____