金版教程物理2025高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案第十三章機(jī)械振動 機(jī)械波第十三章 核心素養(yǎng)提升含答案

《金版教程(物理）》2025高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案第十三章機(jī)械振動機(jī)械波《金版教程(物理）》2025高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案第十三章機(jī)械振動機(jī)械波第十三章核心素養(yǎng)提升[科學(xué)思維提煉]1．理想模型法：彈簧振子、單擺。2．解析法：(1)簡諧運動的描述；(2)振動和波中多解性問題的求解。3．圖像法：簡諧運動的描述，簡諧波的描述，受迫振動振幅隨周期性驅(qū)動力頻率變化的圖像，波的干涉圖樣的分析。4．控制變量法：探究影響單擺周期的因素的演示實驗、探究單擺周期與擺長之間的關(guān)系的實驗。5．等效法：單擺拓展問題中的等效擺長、等效重力加速度。6．從特殊到一般的思維方法：振動、波動中由于周期性造成的多解性問題的求解思路。7．對稱思維：分析簡諧振動質(zhì)點的運動狀態(tài)。8．分析與綜合法：彈簧振子和單擺的動力學(xué)、能量問題。[素養(yǎng)提升集訓(xùn)]一、選擇題(本題共7小題)1．(2023·遼寧高考)(多選)“球鼻艏”是位于遠(yuǎn)洋輪船船頭水面下方的裝置，當(dāng)輪船以設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)速度航行時，球鼻艏推起的波與船首推起的波如圖所示，兩列波的疊加可以大幅度減小水對輪船的阻力。下列現(xiàn)象的物理原理與之相同的是()A．插入水中的筷子，看起來折斷了B．陽光下的肥皂膜，呈現(xiàn)彩色條紋C．駛近站臺的火車，汽笛音調(diào)變高D．振動音叉的周圍，聲音忽高忽低答案BD解析題中描述現(xiàn)象的物理原理是波的干涉；插入水中的筷子看起來折斷了，是光的折射造成的；陽光下的肥皂膜呈現(xiàn)彩色條紋，是肥皂膜兩個表面反射的光干涉造成的；駛近站臺的火車汽笛音調(diào)變高，是多普勒效應(yīng)造成的；振動音叉的周圍聲音忽高忽低，是聲波的干涉造成的。故選B、D。2．一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當(dāng)日風(fēng)浪較大，游船上下浮動?？砂延未雍喕韶Q直方向的簡諧運動，振幅為20cm，周期為3.0s。當(dāng)船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒服地登船。在一個周期內(nèi)，游客能舒服登船的時間是()A．0.5s B．0.75sC．1.0s D．1.5s答案C解析設(shè)游船振動圖像表達(dá)式為y＝Asinωt，由題意知A＝20cm，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2,3)πrad/s，當(dāng)y＝10cm時，在0<t<T范圍內(nèi)，解得t1＝0.25s或t2＝1.25s，則在一個周期內(nèi)游客舒服登船時間Δt＝t2－t1＝1.0s。故選C。3．如圖所示，1、2、3、4…是一個水平放置松弛狀態(tài)下的彈簧(可認(rèn)為是均勻介質(zhì))上一系列等間距的質(zhì)點。某時刻，質(zhì)點1在外力作用下從平衡位置開始沿左右方向做簡諧運動，帶動2、3、4…各個質(zhì)點離開平衡位置依次左右振動，形成一列簡諧縱波。已知質(zhì)點1開始振動的方向是向左，經(jīng)過二分之一周期，質(zhì)點9開始運動，則針對此時刻，下列說法正確的是()A．質(zhì)點3向右運動B．質(zhì)點5所受回復(fù)力為零C．質(zhì)點6的加速度向左D．質(zhì)點9的振幅為零答案A解析取向左為正方向，畫出eq\f(T,2)時刻的波形圖如圖所示。經(jīng)過eq\f(T,2)時，質(zhì)點1從平衡位置再次運動到平衡位置且向右運動，根據(jù)圖像可知質(zhì)點3正在向右運動，A正確；經(jīng)過eq\f(T,2)時，質(zhì)點5到達(dá)正向最大位移處，根據(jù)F＝－kx，可知質(zhì)點5所受回復(fù)力最大，B錯誤；經(jīng)過eq\f(T,2)時，質(zhì)點6位于平衡位置左側(cè)，根據(jù)a＝－eq\f(k,m)x可知，質(zhì)點6的加速度方向向右，C錯誤；在波傳播過程中，后一個質(zhì)點重復(fù)前一個質(zhì)點的振動，可知質(zhì)點9的振幅不為零，D錯誤。4．(2023·河北省唐山市第二次模擬)在某均勻介質(zhì)中，波源A、B相距L＝20m。t＝0時刻兩波源開始振動，波源A只振動了半個周期，B連續(xù)振動，振動圖像分別如圖甲和圖乙所示。兩個波源形成的波以v＝1.0m/s的速度相向傳播。則從兩波源開始振動時計時，0～16s內(nèi)A形成的波遇到B形成的波的波峰個數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．8答案B解析由圖可知，波源A形成的波的周期為TA＝2s，波源B形成的波的周期為TB＝2s，波長λB＝vTB＝1.0m/s×2s＝2m，設(shè)0～16s兩列波相遇后又相對運動的長度為Δl，根據(jù)位移關(guān)系，有Δl＝2vt－L＝12m，因為eq\f(Δl－\f(3,4)λB,λB)＝5.25，所以0～16s內(nèi)A形成的波遇到B形成的波的波峰個數(shù)為5＋1＝6個。故選B。5．(2019·全國卷Ⅱ)如圖，長為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。當(dāng)小球a擺至最低位置時，細(xì)繩會受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖象中，能描述小球在開始一個周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()答案A解析擺長為l時單擺的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α為擺角)，擺長為eq\f(1,4)l時單擺的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lβ(β為擺角)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)，以及sineq\f(α,2)≈taneq\f(α,2)≈eq\f(α,2)，sineq\f(β,2)≈taneq\f(β,2)≈eq\f(β,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)、\f(β,2)很小))，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，故A正確。6．(2023·浙江6月選考)如圖所示，置于管口T前的聲源發(fā)出一列單一頻率聲波，分成兩列強(qiáng)度不同的聲波分別沿A、B兩管傳播到出口O。先調(diào)節(jié)A、B兩管等長，O處探測到聲波強(qiáng)度為400個單位，然后將A管拉長d＝15cm，在O處第一次探測到聲波強(qiáng)度最小，其強(qiáng)度為100個單位。已知聲波強(qiáng)度與聲波振幅平方成正比，不計聲波在管道中傳播的能量損失，則()A．聲波的波長λ＝15cmB．聲波的波長λ＝30cmC．兩聲波的振幅之比為3∶1D．兩聲波的振幅之比為2∶1答案C解析根據(jù)題意，從管口T分成的兩列聲波相位差為0，頻率相同，故在出口O相遇時將發(fā)生干涉。A、B兩管等長時，聲波在出口O處的振動加強(qiáng)，將A管拉長d＝15cm后，在O處第一次探測到聲波強(qiáng)度最小，則兩聲波在O處的振動第一次減弱，結(jié)合干涉振動加強(qiáng)和減弱的條件可得eq\f(λ,2)＝2d，解得λ＝60cm，故A、B錯誤。設(shè)兩聲波的振幅分別為A1、A2，結(jié)合上述分析可知，A、B兩管等長時O處聲波振幅為A1＋A2，將A管拉長d＝15cm后O處聲波振幅為|A1－A2|，因聲波強(qiáng)度與聲波振幅平方成正比，則有eq\f(400,100)＝eq\f(（A1＋A2）2,（A1－A2）2)，解得A1∶A2＝3∶1或A2∶A1＝3∶1，即兩聲波的振幅之比為3∶1，C正確，D錯誤。7．(多選)如圖所示，水平光滑桌面上，輕彈簧的左端固定，右端連接A物體，A和B通過細(xì)繩繞過定滑輪連接，已知A的質(zhì)量為mA，B的質(zhì)量為mB，彈簧的勁度系數(shù)為k，不計滑輪摩擦，開始時A位于O點，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，A在P點時彈簧處于原長。現(xiàn)將A物體由P點靜止釋放，A物體不會和定滑輪相碰，當(dāng)B向下運動到最低點時繩子恰好被拉斷且彈簧未超過彈性限度。已知彈簧振子的周期公式為T＝2πeq\r(\f(m,k))，則下列說法正確的是()A．繩子能承受的最大拉力為2mBgB．彈簧的最大彈性勢能是eq\f(2meq\o\al(2,B)g2,k)C．繩斷后A物體回到位置O時的速度大小為mBgeq\r(\f(3,mAk))D．從繩斷到A物體第一次回到位置O時所用的時間為eq\f(π,3)eq\r(\f(mA,k))答案BCD解析將A、B作為整體，A在P點時彈簧處于原長，分析可知繩子未斷開前，A、B整體以O(shè)為平衡位置做簡諧運動，A剛釋放時，根據(jù)牛頓第二定律對A有T0＝mAa，對B有mBg－T0＝mBa，根據(jù)簡諧運動對稱性，B到達(dá)最低點的加速度與初始位置大小相等，因此Tm－mBg＝mBa，解得繩子能承受的最大拉力Tm＝eq\f(mA＋2mB,mA＋mB)·mBg，A錯誤；A處于O位置時，設(shè)OP距離為x1，根據(jù)平衡條件有kx1＝mBg，物體B下降到最低位置時，根據(jù)對稱性，彈簧伸長量為2x1，由能量守恒得，彈簧的最大彈性勢能Epm＝ΔEp＝mBg·2x1＝eq\f(2meq\o\al(2,B)g2,k)，B正確；繩斷后至A物體回到位置O的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有Epm＝EpO＋eq\f(1,2)mAv2，根據(jù)功能關(guān)系及F彈＝kx知，EpO＝eq\f(1,2)kxeq\o\al(2,1)，則可得A回到位置O的速度v＝mBgeq\r(\f(3,mAk))，C正確；繩斷后，A物體與彈簧組成的新的彈簧振子的平衡位置為P點，新的振幅為A′＝2x1，A物體從最大位移處釋放，其振動方程可以表示為x＝2x1·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋\f(π,2)))，O到P的距離為x1，把x＝x1代入振動方程，結(jié)合t<eq\f(T,4)解得從繩斷到A物體第一次回到位置O時所用的時間t＝eq\f(T,6)＝eq\f(π,3)eq\r(\f(mA,k))，D正確。二、非選擇題(本題共1小題)8．(2023·湖南高考)某同學(xué)探究彈簧振子振動周期與質(zhì)量的關(guān)系，實驗裝置如圖a所示，輕質(zhì)彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機(jī)，手機(jī)中的磁傳感器可以采集磁感應(yīng)強(qiáng)度實時變化的數(shù)據(jù)并輸出圖像，實驗步驟如下：(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質(zhì)量m；(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機(jī)的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化周期等于彈簧振子振動周期；(3)某次采集到的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時間t變化的圖像如圖b所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T＝________(用“t0”表示)；(4)改變鉤碼質(zhì)量，重復(fù)上述步驟；(5)實驗測得數(shù)據(jù)如下表所示，分析數(shù)據(jù)可知，彈簧振子振動周期的平方與質(zhì)量的關(guān)系是________(填“線性的”或“非線性的”)；m/kg10T/sT/sT2/s20.0152.430.2430.0590.0253.140.3140.0990.0353.720.3720.1380.0454.220.4220.1780.0554.660.4660.217(6)設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，根據(jù)實驗結(jié)果并結(jié)合物理量的單位關(guān)系，彈簧振子振動周期的表達(dá)式可能是________(填正確答案標(biāo)號)；A．2πeq\r(\f(m,k)) B．2πeq\r(\f(k,m))C．2πeq\r(mk) D．2πkeq\r(m)(7)除偶然誤差外，寫出一條本實驗中可能產(chǎn)生誤差的原因：____________。答案(3)eq\f(t0,10)(5)線性的(6)A(7)空氣阻力解析(3)從圖b中可以算出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化周期為TB＝eq\f(t0,10)，則彈簧振子振動周期T＝TB＝eq\f(t0,10)。(5)分析數(shù)據(jù)可知，彈簧振子振動周期的平方與質(zhì)量的比值接近于常量3.95s2/kg，且上下浮動在誤差允許范圍內(nèi)，則彈簧振子振動周期的平方與質(zhì)量的關(guān)系是線性的。(6)周期的國際單位為s。因2πeq\r(\f(m,k))的單位用國際基本單位表示為eq\r(\f(kg,N/m))＝eq\r(\f(kg·m,kg·m/s2))＝s，故A可能正確；因2πeq\r(\f(k,m))的單位用國際基本單位表示為eq\r(\f(N/m,kg))＝eq\r(\f(kg·m/s2,m·kg))＝s－1，故B錯誤；因2πeq\r(mk)的單位用國際基本單位表示為eq\r(kg·N/m)＝eq\r(kg·kg·m/s2·m－1)＝kg/s，故C錯誤；因2πkeq\r(m)的單位用國際基本單位表示為N/m·eq\r(kg)＝kg·m/s2·m－1·eq\r(kg)＝kgeq\s\up6(\f(3,2))/s2，故D錯誤。(7)除偶然誤差外，鉤碼振動過程中受空氣阻力的影響，可能會使本實驗產(chǎn)生誤差。實驗用單擺測量重力加速度的大小科學(xué)探究梳理用單擺測量重力加速度的大小。當(dāng)擺角較小時，單擺做簡諧運動，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得出g＝eq\f(4π2,T2)l，測出單擺的擺長l和振動周期T，就可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。帶中心孔的小鋼球、約1m長的細(xì)線、帶有鐵夾的鐵架臺、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。1．做單擺將細(xì)線穿過中心帶有孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結(jié)，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架上，讓擺球自然下垂。如圖所示。2．測擺長用毫米刻度尺量出擺線長L(精確到毫米)，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝L＋eq\f(D,2)。3．測周期將單擺從平衡位置拉開一個角度(不超過5°)，然后釋放小球，記下單擺做30次或50次全振動的總時間，算出平均每做一次全振動的時間，即為單擺的振動周期T。4．改變擺長，重做幾次實驗。數(shù)據(jù)處理的兩種方法：方法一：公式法。根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)。將測得的幾組周期T和擺長l分別代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出多組重力加速度g的值，再求出g的平均值，即為當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?。方法二：圖像法。由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以擺長l為縱軸，以T2為橫軸描點作圖，作出的l-T2圖像理論上是一條過原點的直線，如圖所示，求出圖像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。1．本實驗的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點固定，小球質(zhì)量大、體積小，細(xì)線輕質(zhì)非彈性，振動是在同一豎直平面內(nèi)的振動等。2．本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量和擺線長度的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計擺球的全振動次數(shù)；使用刻度尺測量擺線長度時，要多次測量取平均值以減小誤差。3．利用圖像法處理數(shù)據(jù)具有形象、直觀的特點，同時也能減小實驗誤差。利用圖像法分析處理數(shù)據(jù)時要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。1．小球選用質(zhì)量大、體積小的鋼球。2．選用1m左右難以伸縮且盡量輕的細(xì)線。3．懸點位置不能發(fā)生變化，懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。4．單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于5°。5．選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準(zhǔn)全振動的次數(shù)?？茖W(xué)探究精研考點一教材原型實驗例1(2023·新課標(biāo)卷)一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動微調(diào)旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖a所示，該示數(shù)為________mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數(shù)如圖b所示，該示數(shù)為________mm，則擺球的直徑為________mm。(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖c所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時，實際擺角________5°(填“大于”或“小于”)。(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50cm，則擺長為________cm。實驗中觀測到從擺球第1次經(jīng)過最低點到第61次經(jīng)過最低點的時間間隔為54.60s，則此單擺周期為________s，該小組測得的重力加速度大小為________m/s2。(結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，π2取9.870)[答案](1)0.007(0.006、0.007、0.008均可)20.033(20.032、20.033、20.034均可)20.026(20.024、20.025、20.026、20.027、20.028均可，須對應(yīng)前兩空的差值)(2)大于(3)82.51.829.83[解析](1)題圖a中示數(shù)為d0＝0mm＋0.7×0.01mm＝0.007mm，題圖b中示數(shù)為d1＝20mm＋3.3×0.01mm＝20.033mm，則擺球的直徑為d＝d1－d0＝20.026mm。(2)如圖所示，O1為懸點，AB∥OO1，A和B是角度盤上示數(shù)為5°的位置。由題意知，角度盤固定在桿上O點時，∠AO1O＝5°，由圖可知，將角度盤固定在O點上方，示數(shù)為5°時，實際擺角∠BO1O>∠AO1O＝5°。(3)單擺的擺線長度為l0＝81.50cm，則擺長為l＝l0＋eq\f(d,2)＝81.50cm＋eq\f(2.0026,2)cm＝82.5cm。每完成一次全振動，單擺經(jīng)過最低點兩次，故此單擺全振動次數(shù)N＝eq\f(61－1,2)＝30，周期為T＝eq\f(t,N)＝eq\f(54.60,30)s＝1.82s，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得，該小組測得的重力加速度大小g＝eq\f(4π2l,T2)＝9.83m/s2。例2(2023·河北高考)某實驗小組利用圖1裝置測量重力加速度。擺線上端固定在O點，下端懸掛一小鋼球，通過光電門傳感器采集擺動周期。(1)關(guān)于本實驗，下列說法正確的是________。(多選)A．小鋼球擺動平面應(yīng)與光電門U形平面垂直B．應(yīng)在小鋼球自然下垂時測量擺線長度C．小鋼球可以換成較輕的橡膠球D．應(yīng)無初速度、小擺角釋放小鋼球(2)組裝好裝置，用毫米刻度尺測量擺線長度L，用螺旋測微器測量小鋼球直徑d。螺旋測微器示數(shù)如圖2，小鋼球直徑d＝________mm，記擺長l＝L＋eq\f(d,2)。(3)多次改變擺線長度，在小擺角下測得不同擺長l對應(yīng)的小鋼球擺動周期T，并作出l-T2圖像，如圖3。根據(jù)圖線斜率可計算重力加速度g＝________m/s2(保留3位有效數(shù)字，π2取9.87)。(4)若將擺線長度誤認(rèn)為擺長，仍用上述圖像法處理數(shù)據(jù)，得到的重力加速度值將________(填“偏大”“偏小”或“不變”)。[答案](1)ABD(2)20.035(3)9.87(4)不變[解析](1)使用光電門測量時，光電門U形平面與被測物體的運動方向垂直是光電門使用的基本要求，故A正確。測量擺線長度時，要保證擺線處于伸直狀態(tài)，故B正確。單擺是一個擺線長度不變、擺線質(zhì)量不計、擺球可視為質(zhì)點的理想化模型，研究單擺時，需要使空氣對擺球的阻力可以忽略，若用較輕的橡膠球代替小鋼球，則擺線質(zhì)量的影響變大，空氣阻力對擺球的影響變大，會增大誤差，故C錯誤。為了保證小鋼球在豎直平面內(nèi)做單擺運動，而不形成圓錐擺，應(yīng)無初速度釋放小鋼球；單擺只有在擺角很小的情況下才可視為做簡諧運動，才能使用公式T＝2πeq\r(\f(l,g))計算重力加速度，因此應(yīng)小擺角釋放小鋼球，故D正確。(2)由題圖2可知，小鋼球直徑d＝20mm＋3.5×0.01mm＝20.035mm。(3)由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得l＝eq\f(g,4π2)·T2，則l-T2圖像中圖線的斜率k＝eq\f(g,4π2)，可得g＝4π2k，由題圖3知，圖線的斜率k＝eq\f(1.10－0.60,4.40－2.40)m/s2＝eq\f(1,4)m/s2，解得g＝9.87m/s2。(4)若將擺線長度L誤認(rèn)為擺長l，因L＝l－eq\f(d,2)＝eq\f(g,4π2)·T2－eq\f(d,2)，則仍用上述圖像法處理數(shù)據(jù)，圖線斜率不變，仍為k＝eq\f(g,4π2)，所以得到的重力加速度值將不變。例3(2023·廣東省東莞市高三下聯(lián)合模擬預(yù)測)實驗小組的同學(xué)在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。(1)下列最合理的裝置是________。(2)為使重力加速度的測量結(jié)果更加準(zhǔn)確，下列做法合理的有________。A．測量擺長時，應(yīng)測量水平拉直后的擺線長B．在擺球運動過程中，必須保證懸點固定不動C．?dāng)[球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大D．測量周期時，應(yīng)該從擺球運動到最高點時開始計時(3)某同學(xué)課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找到了一塊雞蛋大小、外形不規(guī)則的大理石塊代替小球進(jìn)行實驗。如圖1所示，實驗過程中他先將石塊用細(xì)線系好，結(jié)點為M，將細(xì)線的上端固定于O點。然后利用刻度尺測出OM間細(xì)線的長度l作為擺長，利用手機(jī)的秒表功能測出石塊做簡諧運動的周期T。在測出幾組不同擺長l對應(yīng)的周期T的數(shù)值后，他作出的T2-l圖像如圖2所示。①該圖像的斜率為________。A．g B.eq\f(1,g)C.eq\f(4π2,g) D.eq\f(g,4π2)②由此得出重力加速度的測量值為________m/s2。(π取3.14，計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字)③實驗中，該同學(xué)測量擺長時使用細(xì)線長，而非懸點到石塊重心之間的距離，這對重力加速度測量結(jié)果的影響是：測量值________真實值。(填“>”“＝”或“<”)[答案](1)D(2)BC(3)①C②9.86③＝[解析](1)根據(jù)單擺理想模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應(yīng)使用密度較大、體積較小的鐵球；為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應(yīng)用不易形變的細(xì)絲線，懸點應(yīng)該用鐵夾固定。故選D。(2)測量擺長時，應(yīng)在擺線豎直拉直時測量，故A錯誤；在擺球運動過程中，為使擺長不變化，必須保證懸點固定不動，故B正確；擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大，如擺角太大，單擺運動將不能再看作簡諧運動，單擺周期公式不再適用，故C正確；測量周期時，為減小測量誤差，應(yīng)該從擺球運動到最低點時開始計時，故D錯誤。(3)①由題圖1可知，設(shè)M點到石塊重心的距離為d，根據(jù)單擺的周期公式可得T＝2πeq\r(\f(l＋d,g))，整理得T2＝eq\f(4π2,g)l＋eq\f(4π2d,g)，故該圖像的斜率為k＝eq\f(4π2,g)，故選C。②由題圖2可知，k＝eq\f(4.0,99.0－（－1.0）)×102s2/m＝4s2/m，又k＝eq\f(4π2,g)，解得g＝π2＝9.86m/s2。③由上述分析可知，T2＝eq\f(4π2,g)l＋eq\f(4π2d,g)，可知d是否等于零，即l是否為擺長，并不影響T2-l圖像斜率，而題中用斜率計算重力加速度，故重力加速度的測量結(jié)果不受影響，測量值＝真實值?？键c二實驗拓展與創(chuàng)新例4某班同學(xué)組織春游爬山，在山頂發(fā)現(xiàn)一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質(zhì)量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進(jìn)行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預(yù)留出打結(jié)部分的長度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：Ⅰ.將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；Ⅱ.移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內(nèi)擺動；Ⅲ.從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機(jī)中的“秒表”軟件計時(記為第1次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94.20s。(1)根據(jù)步驟Ⅲ，可得小石塊擺動的周期T＝________s。(2)經(jīng)百度查得該地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝________m。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結(jié)果準(zhǔn)確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測量值________(填“>”“<”或“＝”)真實值。[答案](1)4.71(2)5.5(3)>[解析](1)從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機(jī)中的“秒表”軟件計時(記為第1次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，共經(jīng)歷n＝eq\f(41－1,2)＝20個周期，總時間為n·T＝t，解得T＝eq\f(t,n)＝4.71s。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，解得擺長為l＝eq\f(T2g,4π2)＝eq\f(4.712×9.79,4×3.142)m＝5.5m，擺長即為古樹的樹圍，即C＝l＝5.5m。(3)山頂?shù)暮０屋^高，所以實際重力加速度較小，而計算所使用的重力加速度偏大，所以該古樹樹圍的測量值>真實值。課時作業(yè)1．(2020·浙江7月選考)某同學(xué)用單擺測量重力加速度，(1)為了減少測量誤差，下列做法正確的是________(多選)；A．?dāng)[的振幅越大越好B．?dāng)[球質(zhì)量大些、體積小些C．?dāng)[線盡量細(xì)些、長些、伸縮性小些D．計時的起、止位置選在擺球達(dá)到的最高點處(2)改變擺長，多次測量，得到周期平方與擺長的關(guān)系圖象如圖所示，所得結(jié)果與當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎迪喾?，但發(fā)現(xiàn)其延長線沒有過原點，其原因可能是________。A．測周期時多數(shù)了一個周期B．測周期時少數(shù)了一個周期C．測擺長時直接將擺線的長度作為擺長D．測擺長時將擺線的長度加上擺球的直徑作為擺長答案(1)BC(2)C解析(1)單擺在擺角很小的情況下才做簡諧運動，故單擺的擺角不能太大，一般應(yīng)小于5°，則擺的振幅也不能太大，故A錯誤；實驗時應(yīng)盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的擺球，以減小空氣阻力對實驗的影響，故B正確；為了減小實驗誤差，擺線應(yīng)選擇細(xì)些、長些、伸縮性小些的繩子，故C正確；擺球經(jīng)過平衡位置(最低點)時速度最大，選此位置計時較準(zhǔn)確，故D錯誤。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，有T2＝eq\f(4π2,g)·l。實驗測得的結(jié)果與當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎迪喾?，則T2-l圖線斜率為理論值eq\f(4π2,g)；所得T2-l圖線沒有過原點，圖線在T2軸的截距為正，則T2＝eq\f(4π2,g)·(l＋l0)，故原因可能是測量擺長時直接將擺線的長度作為擺長，故選C。2．(2023·湖南省衡陽市高三下二模)(1)某同學(xué)在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，測量擺長。用米尺測得擺線長度為99.50cm，用游標(biāo)卡尺測得小鐵球的直徑如圖甲所示，則擺球的直徑為________cm。(2)用停表測量單擺的周期。把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，當(dāng)單擺穩(wěn)定時，擺球到達(dá)________(選填“最高”或“最低”)點時開始計時，并計數(shù)為零。單擺每經(jīng)過這點時計一次數(shù)，當(dāng)數(shù)到100次時，如圖乙所示，所用的時間為________s，則單擺的周期為________s。(3)他計算得出的重力加速度為________m/s2(結(jié)果保留兩位小數(shù))，比實際的重力加速度要大，其原因是________。A．?dāng)[球太重B．?dāng)[角太小C．開始計時時停表過遲按下D．實驗中全振動次數(shù)計少了答案(1)1