人教版初中數(shù)學同步講義八年級下冊第07講 專題2 平行四邊形（特殊的平行四邊形）中的折疊問題（解析版）

第07講專題1平行（特殊）四邊形中的折疊問題類型一：平行四邊形中的折疊問題類型二：矩形中的折疊問題類型三：菱形中的折疊問題類型四：正方形中的折疊問題類型一：平行四邊形中的折疊問題1．如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿著AC所在的直線折疊得到△AB′C，B′C交AD于點E，連接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，則B′D的長是（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故選：B．2．如圖，將?ABCD折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，若∠AMF＝50°，則∠A＝65°．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案為：65．3．如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折疊的性質(zhì)得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故選：C．4．如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為36°．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案為：36°．5．如圖，P是平行四邊形紙片ABCD的BC邊上一點，以過點P的直線為折痕折疊紙片，使點C，D落在紙片所在平面上C′，D′處，折痕與AD邊交于點M；再以過點P的直線為折痕折疊紙片，使點B恰好落在C′P邊上B′處，折痕與AB邊交于點N．若∠MPC＝74°，則∠NPB′＝16°．【解答】解：∵點C，D落在紙片所在平面上C′，D′處，折痕與AD邊交于點M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案為：16．類型二：矩形中的折疊問題6．如圖，矩形ABCD沿對角線BD折疊，已知長BC＝8cm，寬AB＝6cm，那么折疊后重合部分的面積是（）A．48cm2 B．24cm2 C．18.75cm2 D．18cm2【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，∴S△BDE＝DE×CD÷2＝18.75cm2．故選：C．7．如圖，長方形紙片ABCD，E為CD邊上一點，將紙片沿BE折疊，點C落在點C'處，將紙片沿AE折疊，點D落在點D'處，且D'恰好在線段BE上．若∠AEC'＝α，則∠CEB＝（）A． B． C． D．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故選：A．8．數(shù)學老師要求學生用一張長方形的紙片ABCD折出一個45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點B落在AD上的點B'處，∠EAD即為所求，乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點分別落在點B'，D'處，AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求，A．只有甲的折法正確 B．甲和乙的折法都正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確【解答】解：甲：將紙片沿折痕AE折疊，使B點落在AD上的B'點，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點落在AC上的點B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故選：B．9．如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一點，將△ABM沿AM折疊，使點B落在B'處，若∠AMB＝α，則∠B'AD等于（）A．α﹣90° B．α﹣45° C．90°﹣2α D．90°﹣α【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根據(jù)折疊可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正確．故選：C．10．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFG＝37°點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將紙片兩端分別沿EF，GH折疊至如圖所示的位置，若EF∥GH，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37° B．74° C．96° D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故選：B．11．如圖，將長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點A，D分別落在A1，D1的位置，再將△A1EG沿著AB對折，將△GD1N沿著GN對折，使得D1落在直線GH上，則下列說法正確的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③當MN∥EF時，∠AEF＝120°．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：由折疊可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正確；∵∠D1GN＝∠MGN不一定為45°，∴GH不一定垂直GD1，故②錯誤；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH與EF共線，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正確；故選：B．類型三：菱形中的折疊問題10．如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點C對應點為點C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分線，∴P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：D．11．如圖，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的點，沿BE折疊△ABE，點A恰好落在BD上的點F，那么∠BFC的度數(shù)是75°．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根據(jù)折疊可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案為：75°．12．如圖，菱形ABCD中，∠D＝120°，點E在邊CD上，將菱形沿直線AE翻折，使點D恰好落在對角線AC上，連接BD′，則∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵將菱形沿直線AE翻折，使點D恰好落在對角線AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案為75．13．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝90°；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案為：90°．（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即點G與點H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴點D，G，F(xiàn)三點在同一條直線上．過點D作DM⊥BC，交BC的延長線于點M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，設BF＝x，則MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案為：．類型四：正方形中的折疊問題14．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFC＝120°，若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則∠AEB′為（）A．70° B．65° C．30° D．60°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故選：D．15．如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．若FN＝3，則正方形紙片的邊長為2．【解答】解：設正方形紙片的邊長為x，則BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案為：2．16．如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點，將△ABE沿AE折疊至△AB'E處，BE與AC交于點F，若∠EFC＝69°，則∠CAE的大小為（）A．10° B．12° C．14° D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故選：B．17．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，折痕BF與AE交于點H，點F在AD上，若DE＝5，則AH的長為．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，∵S△