廣東省潮洲市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省潮洲市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上斷的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至11小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.函數(shù)在處的切線斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，，所以函數(shù)在處的切線斜率為，故選：B.2.某校高二級學(xué)生參加某次考試，其數(shù)學(xué)成績，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，所以，所以．故選：B3.已知隨機變量的分布列為：123450.10.30.10.1則（）．A.0.4 B.1.2 C.1.6 D.2.8〖答案〗D〖解析〗依題意可得，所以．故選：D.4.的展開式中的系數(shù)為（）．A.60 B.120 C.15 D.30〖答案〗A〖解析〗二項式展開式的通項為：（且），故該展開式中的系數(shù)為．故選：A5.已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減．則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，得在上恒成立，令，易得在單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：B.6.橢圓的左、右焦點分別為，，過點且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因為為等邊三角形，則，，因為，所以橢圓的離心率為．故選：A.7.近年來，潮州以其品種繁多的美味小吃、獨特的文化魅力和民俗風(fēng)情吸引八方游客.據(jù)統(tǒng)計，潮州古城區(qū)2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人數(shù)（十萬人）的數(shù)據(jù)如下表：123451215192430由此得到關(guān)于的回歸直線方程為，則可以預(yù)測潮州古城區(qū)2024年接待的游客人數(shù)約為（）十萬人A.36.5 B.37 C.35.2 D.35.6〖答案〗D〖解析〗由題意得，，代入，得，解得，所以關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時，．故選：D8.把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，則試驗成功的概率為（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗設(shè)A＝“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球”，B＝“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是紅球”，則容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.（二）多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是的極小值，是的極大值B.是的極大值，是的極小值C.在上單調(diào)遞增D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BD〖解析〗由圖知，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，．故選：BD10.某所高中的辯論隊要從5名高一學(xué)生和4名高二學(xué)生中選出4人去參加一場辯論比賽．下列說法正確的是（）A.被選中的4人中恰有1名高一學(xué)生的概率為B.被選中的4人中恰有1名高二學(xué)生的概率為C.如果高一學(xué)生中的甲和高二學(xué)生中的乙至多有1人入選，則有105種選法D.如果高一學(xué)生中的甲和高二學(xué)生中的乙至多有1人入選，則有140種選法〖答案〗AC〖解析〗被選中的4人中恰有1名高一學(xué)生的概率為，A正確；被選中的4人中恰有1名高二學(xué)生的概率為，B錯誤；如果高一學(xué)生中的甲和高二學(xué)生中的乙至多有1人入選，包含兩種情況，第一種情況，甲和乙都不入選，有種；第二種情況，甲乙恰有1人入選，有種選法，則如果高一學(xué)生中的甲和高二學(xué)生中的乙至多有1人入選，共有種選法，C正確，D錯誤．故選：AC11.如圖、在長方體中，，，，，分別是，，的中點．則下列說法正確的是（）A.平面B.C.三棱錐的體積為D.若點在平面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連結(jié)，．，分別是，的中點．則，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面，∴A正確；對于B，由題意知四邊形為正方形，則，又平面，平面，故，平面，∴平面．又∵平面，∴，故B選項正確；對于C，，∴C選項是正確的；對于D，因為平面，而平面平面，且點在平面內(nèi)，則點的軌跡是平面與平面的交線，即直線，所以的最小值在時取到．此時在中，，，，上的高為，∵，∴，故D錯誤．故選：ABC二、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.有2名老師和3名學(xué)生站成一排照相，若這2名老師都不站在兩端，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗2名老師都不站在兩端，故有種站法；剩下3個位置，站3名學(xué)生，有種站法，故不同的站法共有種．故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)的圖象為曲線，若曲線存在與直線垂直的切線，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，∴，∵曲線存在與直線垂直的切線，∴有解，∴，故實數(shù)的取值范圍是．故〖答案〗為：14.“楊輝三角”最早出現(xiàn)在中國數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法》中，是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一.如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為、?，第行的第3個數(shù)字為，則________，數(shù)列的前項和________．〖答案〗①②〖解析〗由題意知，．故〖答案〗為：，.三、解答題（本題共5小題，第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在公差為3的等差數(shù)列中，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和．解：（1）∵等差數(shù)列滿足，公差為3，所以，所以，則，∴數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，，∴所以?，所以16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：（1）由題意得的定義域，且因為函數(shù)在處取值得極值，所以解得此時，，令得或，令得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意，所以．（2）由（1）得，，令，得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極小值，所以當(dāng)時，的最小值為17.致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動．并對某年級100位學(xué)生競賽成績進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績在內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績?nèi)藬?shù)510152520205（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男10女35合計（2）某班級實行學(xué)分制，為鼓勵學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學(xué)分”趣味活動方案：規(guī)定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎2次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎1次學(xué)分加5分，中獎2次學(xué)分加10分．若學(xué)生甲成績在內(nèi)，請列出其本次讀書活動額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男104050女153550合計2575100假設(shè):此次競賽成績與性別無關(guān).,所以沒有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列為：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）18.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）在線段上取一點，使，連結(jié)、，在中，因為，，所以，所以且，因為，，且，所以，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因為底面是正三角形，，所以點，點，點，點，點，因為，所以點，則，，，設(shè)平面的一個法向量為．由，令，得平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為?19.已知拋物線的焦點到點的距離為，，