2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺提升-圓中證明及存在性問題（含解析）

專題07圓中證明及存在性問題

題型一：全3及存在桂向黑

IU中證明及

存在性問題題型二：切疑及存在性問曷

意型三：相似與存在性問號

典例剖析

【例1】（2024?河南南陽一模）如圖，己知。/的半徑為4,或是圓的直徑，點夕是。/的切線"上

一個動點，連接46交。力于點〃袋EF〃AB,連接母AF.

（1）求證：aAB叱叢ABF；

（2）當/CAB=時，四邊形破為菱形;

（3）當/廬時，四邊形戶為正方形.

【分析】（1）由EF〃AB,得NEE4;NFAB,ZCAB=ZAEF,又/AE氏/AFE,得：NBAC=NBAF,又AFAB,

A（=AF,證得△/比2△/班（2）連接bG依據(jù)/外F為菱形，確定出N08的度數(shù)；（3）由四邊形/儂'是

正方形，得4戶應(yīng)力信4啦.

【解析】解：（1）'：EF//AB,

：.AEFA^AFAB,ZCAB=AAEF,

'：AE=AF,

:./AEF=/AFE,：.ABAC=ZBAF,

又AB=AB,A(=AF,:.叢AB8XABF(SAS)；

(2)如圖，連接我C,

?.?四邊形42破是菱形，

:.A±EF=FD=AD,

"：CE=2AE,N(7法90°,

.?./瓦產(chǎn)30°,Z627^60°,

,JEF//AB,

：.ZAE/^ZCAB=G0°,

故答案為：60°；

(3)由四邊形力儂'是正方形，得A爐戊4俏4垃.

【變式1T】(2024?開封二模)如圖，在△/劭中，AB=AD,46是。。的直徑，DA、陽分別交。。于

點￡、C,連接及7,OE,OC.

(1)當/胡。是銳角時，求證：△①隹△皈'；

(2)填空:

①若力6=2,則△/如的最大面積為；

②當?shù)呐c。。相切時，若AB=應(yīng),則的長為.

【答案】（1）見解析；（2）工；1.

2

【解析】解：（1）連接力G

?.U是。。的直徑，J.ACLBD,

U：AD=AB,:?/BAC=/DAC,:?BC=EC,

又,：0方OE,o(=oa

???△皈絲△睨(SSS),

(2)@'：AB=2,

：.OA=1,

設(shè)△/必的邊0A上的高為x,

**?SXAOE=—OAXh

2

==h,

2

要使加AOE最大，需A最大，

點￡在。。上，力最大是半徑,

即：力最大=1

：.S"OE最大為:—;

2

②如圖所示，

當物與。。相切時，則/〃46=90°,

■:AAAB=日

；.N4即=45°,

：/夕是直徑，

:./ADB=9Q°,

：.AC=BC=—AB=1.

2

[例2](2024?濟源一模)如圖，XABC中，AB=AC,以AB為直徑的0。與BC相交于點〃與G4

的延長線相交于點E,過點D作DFLAC于點F.

(1)試說明DF是?0的切線；

(2)①當/用。時，四邊形力眥為矩形；

②當tanC=時，AC=3AE.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)證明：連接劃,

：.ZB=ZODB,

?：AFAC,

???/斤NC,

：.AODB^AC,

：.OD//AC,

'：DF±AC,

：.ODLDF,點、D在?0上,

.?.加'是。。的切線；

(2)45°,理由如下：

由四邊形/眥為矩形，得NBOD=90°,

：.ZB=45°,

：.ZC=ZB=45°,

故答案為：45°；

(3)—,理由如下，

2

連接班1,：48是直徑，.?.//吩90°,

'：AB=AC,A(=3AE,:.AB=3AE,dAE,

:.B^二A百一A才=84片，

即B樣2a,AE,

cBE2yf2CEV2

在鹿△龍。中，tQnC^---=-------=---

CE4CE2

故答案為：—

2

【變式2-1](2024?安陽一模)如圖，在△/8C中，AB=A(=^L,以為直徑的。。交比■于點〃交4c

于點￡,點戶是26的延長線上一點，且/如伊!/4連接DE,OE.

2

(1)求證：如是。。的切線.

(2)填空：①當/尸的度數(shù)為時，四邊形儂石是菱形；

②當/掰華45。時，應(yīng)的面積為.

【答案】(1)見解析；(2)30；272-2.

【解析】解：(1)連接切,

D

1

,：0土OD,/PDB=—NA,

2

：.40DB=/ABD=9Q°--Z^=90°—乙PDB,

2

：.ZODB+ZPDB=^0°,

：.ZODP=90°,

「勿是。。的半徑，

如是。。的切線.

(2)①30。，理由如下：

NR30°,則N8內(nèi)＞=60°,

.?.△6勿是等邊三角形，

：.ZADP-30°,N4=60°,

△/必是等邊三角形，即//循60°,

：.ZEOD=6Q°,

.?.△a總是等邊三角形，

OB=BADE=OE,

即四邊形碎是菱形；

②連接龍，AD,如上圖，

為直徑，

：.ZADB=^Q°,ADLBC,ZABB=90°,

:AB=AC,：.O為BC中點,

SADC所—SABCE，

2

???/胡華45°,:.A樣BE,△/龐是等腰直角三角形,

'：AB=A(=^,：.AE=BF=2y[l,小4-2應(yīng)，

SAD"—SABCE,

2

=1x1^.CE

22

=1X1X2A/2X（4-2⑸

22

=20-2.

[例3]（2024?洛陽三模）如圖，AB是。。的直徑，點C是。。上一點，AD和過點C的切線相互

垂直，垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于點P.

（1）求證：Ad-AD,AB.

（2）點E是/"S所對的弧上的一個動點（不包括A,B兩點），連接EC交直徑AB于點F,Z

加R64°.

①當/瓦廬°時，△的為等腰三角形；

②當NECB=。時，四邊形/儂為矩形.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）連接",

?切是切線,

：.OCLCD,

'：ADLCD,

OC//AD,

：.ZACO^ZCAD,

,：0歸OC,

：.NACO=ZCAO,

：.ZCAD^ZCAO,

：46為直徑，

小/氏90°,

：./\ACD^/\ABC,

.ADAC

"AC~AB'

即：Ad=AD?AB.

(2)①45；②58,理由如下：

①物664°,

片26°,ZCAB=ZDAC=32°,

:/夕下是的外角，

:./CFP>32°,即

由/尸C廬NG4於32°,知Z.FCP>2PCB^2P,

由△也?為等腰三角形，得POPF,

:.ACFP^II°,

ZAO^45°,N￡CS=90°—//上45°,

故答案為：45；

②由力儂是矩形，得尸與。重合，

:./ECB^9Q°-ZACO=90°-32°=58°,

故答案為：58.

【變式3-1](2024?洛陽二模)如圖，4ABC內(nèi)接于。。，過點B的切線BE〃AC,點P是優(yōu)弧/C上

一動點(不與A,C重合)，連接PA,PB,PC,PB交AC千D.

(1)求證：PB斗分2APC；

(2)當止3,以=4時，求AB的長.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）證明：連接0B,

則OBLBE,

?:BE"AC,

：.OBLAC,

?,?弧/廬弧式；

:./AP*/BPC,

:?PB平分/APC、

(2)由(1)知，/APF/BPC,

ABAOABPC,

：.ABAOAAPB,

■:/AB廬/PBA,

^△ABD^XPBA,

.ABBD

??訪一耘’

即空=，

4AB

廬2,即的長為2.

壓軸精練

1.(2024?河師大附中模擬)如圖，在上%中，NZ叱90°,以力。為直徑的。。與加交于點〃

過〃作。。的切線交CB于E.

(1)求證：EB^EC\

(2)若以點0、D、E、。為頂點的四邊形是正方形，試推斷△力笈的形態(tài)，并說明理由.

【解析】解：

(1)證明：連接切,

???歐為。。的切線，

??,然是。。的切線，

：.DE^CE,Z6^=90°,

???NM+N瓦廬90°,

OQOD,

：.ZOAJ^ZODA,

,.?/處分/廬90°,

：.ZB=ZEDB9

:?D±BE,

：.EB=EC；

(2)△/回是等腰直角三角形，理由如下:

??,四邊形如必是正方形，

：.ZDEB=90°，

由（1）知CE-BE,

，△方劭是等腰直角三角形，

/斤45°,

，//=45°,

即AC=BC,

XVZACB=9Q°,

.?.△/8C是等腰直角三角形.

2.（2024?焦作二模）如圖，以心△46c的直角邊46為直徑作。。與斜邊/C交于點。，￡為6c邊的中

點，連接龐，OE.

（1）求證：應(yīng)是。。的切線.

（2）填空：①當斤______一時，四邊形/在是平行四邊形；②連接勿，在①的條件下探究四邊形

如劭密的形態(tài)為________.

【答案】（1）見解析；（2）45；正方形.

【解n析】（1）連接OD,BD,

,."6為直徑，

:￡為死的中點，

:.D辰B5CE,

?：0廬OB,0序OE,

：./\ODE^^OBE,

???N〃廬N位廬90°,

???ODLDE,

即"是。。的切線.

(2)①若四邊形加切是平行四邊形，則加〃Z8,

???/歸NCDE,

■:/CD序/C,

：.乙4二NC,

VZABC=90°,

：.ZA=45°；

②由/斤45。，得N42345。，即N”戶90。，

9：ZEBO=ZOD^90°,

工四邊形施切是矩形，

???四邊形2〃劭是平行四邊形，

：.ZE0B=ZA=4：5o,

???/￡好/龐廬45°,

JOB=BE,

???四邊形OBED是正方形.

3.(2024?周口二模)如圖，在仇△/阿中，N廬90。，/廬6,CD平分/ACB交AB于點、D,點。在

上，以。。為半徑的圓經(jīng)過點〃而切。。于反

(1)求證：AD^AE.

(2)填空：

①當NZ?時，四邊形2戊應(yīng)是正方形；

②當8a時，四邊形40是菱形.

E

C

ADB

【答案】見解析.

【解析】解：（1）證明：連接0E,

,:CD*分乙ACB,

：.AOCD=ZBCD,

?IOOOD,

：.AOCD=AODC,

：?/ODO/BCD,

：.OD//BC,

,.?/戶90°,

ZADO=90°,

???Z〃是圓。的切線，

???2￡是圓。的切線，

：.AD=AE

(2)①45；②26，理由如下:

①是正方形，

???OFAD,

：.ZOAD=45°,

???/4陰45°；

②四邊形4DCE為菱形,

:?A廬CD,/CAA/ACD,

■:/BCW/ACD,

:./CDB4S,N8O300,

???CD=2BD,

?.I廬6,

二盼2,BC=2y/3,

故答案為：45；2A/3.

4.(2024?信陽一模)如圖，Z8是。。的弦，〃為半徑刃的中點，過〃作6/a以交弦”于點￡,交

。。于點尸，AC序CB

(1)求證：勿是。。的切線；

(2)連接/尸，BF,求//郎的度數(shù).

【答案】見解析.

【解析】解：(1)證明：連結(jié)OB,

,/C序CB,

:./CB&/CEB,

U：CDLOA,

：.ZDAE+ZAED=^°,

■:/CE氏/AED,

：.ZDAE+ZCB^0°,

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZOBA+ZCB^90°,即/曬+90°,

.?.6。是。。的切線；

（2）解：連結(jié)陽OF交AB于H,（見上圖）

'：DFVOA,AD=OD,

：.FA=FO,

'：OP=OA,

...△的尸為等邊三角形，

；.//帕60°,

：.ZABF^~ZAO^O°.

2

5.（2024?南陽畢業(yè)測試）如圖，在△/位中，AC=CE,。。經(jīng)過點4C,且與邊/￡,位分別交于點

D,凡點方是劣弧/C上的一點，且弧除弧處；連接4?,BC,CD.

求證：匡△力6a

【解析】證明：連接明

:./CAE=NE,

?.?四邊形477內(nèi)接于

：.ZCAE+ZCFD=180°,

‘：/CFm/DF串\8Q°,

：.ACAE=ADFE,

：.ZDFE=ZE,

:.DF=DE,

:弧8年弧隴

：.BC=DF,

：.BC=DE,

:四邊形4?"內(nèi)接于0。，

同理可得：/B=/CDE,

在如和△45C中，

'JAOCE,AABOACDE,BODE,

：./\CDE^/\ABC.

6.(2024?濮陽二模)如圖，是半圓。的直徑，點尸是半圓上不與點48重合的動點，PC//AB,點

〃是8中點.

(1)求證：四邊形儂了是平行四邊形；

(2)填空：

①當時，四邊形是菱形；

②連接即，當NABP=______時，fC是。。的切線.

【答案】(1)見解析；(2)120；45

【解析】(1)證明：：先■〃明

：.ZPCM=ZOAM,ZCPM=ZAOM.

:點〃是郎的中點,

：.OM=PM,

:.△CPgAAOM,

：.PC=OA.

'：OA=OB,

：.PC=OB.

'：PC//AB,

...四邊形儂P是平行四邊形.

（2）解:①?.?四邊形40%是菱形，

：.0A=PA,

"：0A=0P,

：.OA=OP=PA,

，△力8是等邊三角形，

ZA=ZA0P=6Q°,

:./B0仁120°；

②：先是。。的切線，

C.OPLPC,N（W=90°,

'：PC//AB,

：.ZBOP^90°,

'：0P=0B,

:./ABP=/OPB=45：

7.（2024?南陽模擬）如圖，46為。。的直徑，尸為弦4c的中點，連接沖并延長交弧/C于點。，過

點〃作。。的切線，交胡的延長線于點￡.

（1）求證：AC//DE-,

（2）連接/久CD、OC.填空

①當//。的度數(shù)為時，四邊形為菱形；②當力=/￡=2時，四邊形/儂的面積為.

【答案】（1）見解析；（2）30；273.

【解析】（1）證明：?.?尸為弦/C的中點,

：.AF=CF,⑺過圓心0

：.FOLAC,

即/板=90°,

:龍是。。切線,

???ODIDE

即/功390°,

：.DE//AC.

(2)①當N而。=30°時，四邊形4。切是菱形，理由如下:

連接⑦ADOC,

'：ZOAC=30°,OF工AC

：.NW60°

,:AO=DO,ZAOF=QQ°

???△/①是等邊三角形

■:AFLDO

：.DF=FO,AF=CF,

???四邊形2067?是平行四邊形

'：AO=CO

，四邊形2次》是菱形.

②連接CD,

AC//DE,OA=A^2,：.OD=2OF,DE=2AF

'：AC=2AF,：.DE=AC,旦DE〃AC

???四邊形4。應(yīng)是平行四邊形

'：OA=AE=OD=2

：.OF=DF=1,OE=4

在.Rt叢ODE中,由勾股定理得：DE=26,

二?S四邊形ACDE=DE乂DF

=273XI

答案為：2后.

8.(2024?商丘二模)如圖，在放中，ZBAC=90°，ZC=30°以邊上ZC上一點。為圓心,

物為半徑作。。，。。恰好經(jīng)過邊8c的中點〃并與邊/C相交于另一點汽

(1)求證：物是。。的切線.

(2)若AB=^,￡是半圓/前上一動點，連接/￡,AD,DE.

填空:

①當弧/￡的長度是.時，四邊形/叱是菱形;

②當弧/￡的長度是.,時，△/龐是直角三角形.

2?71

一；一成JT?

33dl

ZC=30°,

：.AB=-BC,

2

是斜邊8c的中點,

：.BD=-BC,

2

：.AB=BD,

：./BAD=ABDA,

?：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.Z0DB=ZBA0=90o,

即ODLBC,

???切是。。的切線.

(2)①若四邊形/皿應(yīng)是菱形，連接應(yīng);

則AB//DE,

???/為華90°,

：.DELAC,

得：AD=BD=AB=CD=-BC=,

2

???△/劭是等邊三角形，OD=\,

：.ZADB=&0°,

?：/CDE=60。,

：.ZADE=180°-ZADB-ZCDE=Q0o,

：.ZAOE=2ZADE=120°,

???弧/￡的長度為：1Z2d1二空；

1803

故答案為：—；

3

②??3〃為弦(不是直徑)，

???//瓦阜90°,

(7)若N/加=90°,則點￡與點分重合，弧2￡的長度為：180"1=孫

180

（77）若/DAE=90°,則應(yīng)是直徑，貝4應(yīng)=2/49吐60。,

60%xl1

弧2￡的長度為:----=—兀；

180----3

故答案為：！〃或".

3

9.（2024?開封二模）如圖，在出中，NACB=90°,以點/為圓心，4C為半徑，作。4交AB

于點〃交。的延長線于點￡,過點￡作/6的平行線交。/于點凡連接"；BF,DF.

（1）求證：△AB&AABF；

（2）填空：

①當/CAB=。時，四邊形"叱為菱形；

②在①的條件下，BC=c勿時，四邊形力〃殛的面積是加.

【答案】（1）見解析；（2）①60；②6.

【解析】（1）證明：?.?用〃/昆

：.4E=/CAB,NEFA=/FAB,

"：AE=AF,

：.ZE=ZEFA,

：.ZFAB=ZCAB,

又：/4。，AB=AB,

:.XAB慳XABF；

（2）①當/。8=60°時，四邊形/母F為菱形.

由/竊8=60°,得/用。=/必尸=60°,

：.EF=AD=AE=DF,

...四邊形/叱是菱形.

②：四邊形/窈9是菱形，NAEF=NCAB=60°,

：.—xAE2=6y/3,

2

：.AE=2y/3,

：.AO2y/3，

：.Bl=y/3A(=6.

10.(2024?名校?？?如圖，在放△/8C中，//四=90°,以直角邊況為直徑作O。，交AB于點、D,

￡為AC的中點，連接班：

(1)求證：應(yīng)為。。的切線；

(2)已知比’=4.填空：

①當DE=時，四邊形切方為正方形；

②當DE=時，勿為等邊三角形.

【答案】(1)見解析；(2)2；2百.

【解