新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖縣高級中學2024-2025學年高二上學期開學考試數學試題（解析版）

2023-2024學年高二數學開學測試考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數單位，則復數的虛部為（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用復數的除法運算，得到復數的代數形式，由此求得復數的虛部.【詳解】因為，所以虛部為1.故選：D．2.在中，內角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】根據，得，由余弦定理可求.【詳解】因為向量，，因為，所以，即，由余弦定理可得.因為，所以，故選：B.3.某中學全體學生參加了數學競賽，隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A.直方圖中x的值為0.035B.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數為30人C.估計全校學生的平均成績?yōu)?3分D.估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為95分【答案】D【解析】【分析】利用頻率分布直方圖的性質求解.【詳解】對于A：根據學生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A錯誤；對于B：在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數為100.015400=60人，故B錯誤；對于C：估計全校學生的平均成績?yōu)?50.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C錯誤.對于D：全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為分.故D正確.故選：D.4.已知直線平面，直線平面，則（）A.若與垂直，則與一定垂直B.若與所成的角為30°，則與所成的角也為30°C.是的充分不必要條件D.若與相交，則為一定是異面直線【答案】C【解析】【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用線面平行的判定定理和性質可判斷C選項；根據已知條件直接判斷與的位置關系，可判斷D選項.【詳解】對于A，當與垂直時，由線面垂直判定定理可得與不一定垂直，A錯誤；對于B選項，由線面角的定義可知，與所成的角是直線與平面內所有直線所成角中最小的角，若與所成的角為，則與所成的角滿足，B錯；對于C選項，若，，，則，即，若，因為，則與平行或異面，即.所以，是的充分不必要條件，C對；對于D選項，若與相交，則與相交或異面，D錯.故選：C.5.集合A=，，從A，B中各取一個數，則這兩數之和等于5的概率是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據古典概型公式解之即可.【詳解】從A，B中各取一個數，則這兩數之和可能為，，共有6個可能的結果，其中兩數之和等于5的有2個，

則從A，B中各取一個數，這兩數之和等于5的概率是故選：B6.如圖，已知長方體的底面為正方形，為棱的中點，且，，則四棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷出四棱錐的外接球球心位置并計算出球的半徑，從而求得外接球的體積.【詳解】設是的中點，設，依題意，四邊形是正方形，所以，是的中點，所以.，由于分別是的中點，所以，根據正方體的性質可知平面，所以平面，由于平面，所以，所以，所以是四棱錐的外接球球心，且外接球的半徑為，所以外接球的體積為.故選：A7.如圖所示，平行四邊形中，，點F為線段AE的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，化簡計算即可得出結果.【詳解】.故選：C.8.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據余弦定理和面積公式得到，結合同角的三角函數基本關系時可得，故可求的取值范圍，結合對勾函數的單調性可求的取值范圍.【詳解】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設，其中，所以，由對勾函數單調性知在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當時，；當時，；所以，即的取值范圍是．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現的點數可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現的點數，四人根據統(tǒng)計結果對各自的試驗數據分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現6點的描述是（）A.中位數為3，眾數為5 B.中位數為3，極差為3C.中位數為1，平均數為2 D.平均數為3，方差為2【答案】AD【解析】【分析】根據數字特征的定義，依次對選項分析判斷即可【詳解】對于A，由于中位數為3，眾數為5，所以這5個數從小到大排列后，第3個數是3，則第4和5個為5，所以這5個數中一定沒有出現6，所以A正確，對于B，由于中位數為3，極差為3，所以這5個數可以是3，3，3，4，6，所以B錯誤，對于C，由于中位數為1，平均數為2，所以這5個數可以是1，1，1，1，6，所以C錯誤，對于D，由平均數為3，方差為2，可得，，若有一個數為6，取，則，，所以，所以這4個數可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與矛盾，所以，所以這5個數一定沒有出現6點，所以D正確，故選：AD10.下列關于平面向量的說法中正確的是（）A.設為非零向量，若，則B.設為非零向量，若，則的夾角為銳角C.設為非零向量，則D.若點為的重心，則【答案】AD【解析】【分析】根據，平方后可得，可判斷A；根據數量積的意義結合向量的夾角含義判斷B；根據數量積的意義判斷C；根據三角形重心性質結合向量的線性運算可判斷D.【詳解】對于A，為非零向量，若，則，即，A正確；對于B，當時，，故，則的夾角為銳角或零角，B錯誤；對于C，為非零向量，則表示與共線的向量，表示與共線的向量，而不一定共線，故不成立，C錯誤；對于D，如圖設D為的中點，點為的重心，則，即即，D正確，故選：AD11.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折到△AB1M的位置，連接B1C和B1D，N為B1D的中點，在翻折過程中，則下列結論中正確的是（）A始終有AM⊥B1CB.線段CN的長為定值C.直線AB1和CN所成的角始終為D.當三棱錐B1﹣AMD的體積最大時，其外接球的表面積是【答案】ABD【解析】【分析】根據線面垂直、平行四邊形、線線角、外接球等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于四邊形是菱形，，所以三角形是等邊三角形，是的中點，所以，則在折疊的過程中，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，A選項正確.設是的中點，由于是的中點，所以，由于，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，在直角三角形中，為定值，，所以三角形是等邊三角形，所以，也即直線AB1和CN所成的角始終為，C選項錯誤.三角形的面積不變，所以當平面平面時，到平面的距離最大，由于平面平面且交線為，平面，，所以平面，由于平面，所以.同理可證得平面，由于平面，所以，所以三棱錐B1﹣AMD的體積最大時，其外接球的球心為，，所以外接球的半徑為，表面積為，D項正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復數z滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】【分析】設，由條件可得，根據復數幾何意義可求得最小值.【詳解】設，由可得，軌跡是以原點為圓心以2為半徑的圓，根據復數幾何意義知，表示復平面內到的距離，則最小值為，故答案為：113.若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于，且，，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由隨機事件互斥,發(fā)生的概率均不等0,且,由此能求出實數的取值范圍.【詳解】隨機事件互斥,發(fā)生的概率均不等于0,且,，即，解得:.故答案為：.14.如圖，三棱臺的上、下底邊長之比為，記三棱錐體積為，三棱臺的體積為，則______．【答案】【解析】【分析】利用相似關系確定上下底面面積的比值，將棱錐轉換頂點，結合體積公式求得兩個幾何體的體積，即可求解.【詳解】由三棱臺的上、下底邊長之比為，可得上、下底面的面積比為，設棱臺的高為，則點到的距離也為，上底面面積為，則下底面面積為，則.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設向量，，．（1）求向量；（2）若，求實數k的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由向量的線性運算求解即可；（2）由向量垂直的條件即可求解.【小問1詳解】因為，，則；【小問2詳解】因為，若，則，解得．16.某班20位女同學平均分為甲、乙兩組，她們的美學鑒賞課考試成績如下（單位：分）：甲組：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80乙組：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85（1）試分別計算兩組數據的極差和方差；（2）試根據（1）中的計算結果，判斷哪一組的成績較穩(wěn)定？【答案】（1）甲組數據的極差為30（分），方差為104；乙組數據的極差為30（分），方差為75.25（2）乙組的成績較穩(wěn)定．【解析】【分析】（1）根據公式直接求極差、平均數、方差即可；（2）根據（1）的結果可得答案．【小問1詳解】甲組最高分為95分，最低分為65分，極差為，平均數為，方差為，乙組最高分為95分，最低分為65分，極差為，平均數為，方差為；【小問2詳解】由于甲乙兩組極差相同，但乙組的方差小于甲組的方差，因此乙組的成績較穩(wěn)定．17.如圖，在正方體中，E，F，P，Q分別是，，，的中點．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據線面平行的判斷定理，轉化為證明線線平行，即可證明；（2）方法一，根據線面平行的判斷定理，轉化為證明線線平行，利用構造平行四邊形，證明線線平行；方法二，利用面面平行的性質定理，構造面面平行，即可證明線面平行.【小問1詳解】如圖，連接，．因為四邊形是正方形，且是的中點，所以是的中點，又是的中點，所以．又平面，平面，所以平面．小問2詳解】方法一取的中點，連接，，如圖所示，則有且．又且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．方法二取的中點，連接，，如圖所示，因為點是，的中點，所以，平面，平面，所以平面，因為點，分別是和的中點，所以，平面，平面，所以平面，且，，平面，所以平面平面．又平面，所以平面．18.某快餐店統(tǒng)計了近100天內每日接待的顧客人數，將前50天的數據進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖．組別分組頻數頻率第1組[20，30）40.08第2組[30，40）a

第3組[40，50）20b第4組[50，60）

0.32第5組[60，70）40.08合計

501.00（1）求a，b，c的值，并估計該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的平均數；（2）已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的方差為104，在后50天內每日接待的顧客人數的平均數為51，方差為100，估計這家快餐店這100天內每日接待的顧客人數的平均數和方差．【答案】（1）a＝6，，，47．（2）平均數49，方差為106【解析】【分析】（1）根據頻率與頻數的關系即可求解，由平均數的計算個數即可求解，（2）由整體平均數和方差的計算公式即可求解.小問1詳解】由表可知第4組的頻數為，所以，，第2組的頻率為，，前50天內每日接待的顧客人數的平均數為．【小問2詳解】設前50天接待的顧客人數分別為，，…，，后50天接待的顧客人數分別為，，…，，則由（1）知，前50天內每日接待的顧客人數的平均數，方差，后50天內每日接待的顧客人數的平均數，方差，故這100天內每日接待的顧客人數的平均數為，方差為19.在中，角的對邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；（2）由三角形的面積公式可得，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】由余弦定理得，因為B∈0,π【小問2詳解】由（1）可知，因為的面積為，即，所以，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.20.甲和乙進行多輪答題比賽，每輪由甲和乙各回答一個問題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響.（1）求兩人在兩輪比賽中都答對的概率；（2）求兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率；（3）求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數相等且至少為2的概率.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據相互獨立事件的概率公式計算即可；（2）兩人分別答兩次，總共四次中至少答對3道題，分五種情況計算可得答案；（3）分甲和乙均答對兩個題目、均答對三個題目兩種情況計算即可.小問