江蘇省常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)2024～2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期初調(diào)研數(shù)學(xué)試卷命題人：xxx審卷人：xxx2024.08一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)集合間關(guān)系求解.【詳解】由得，由可得，故，其它都不正確.故選：B2.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式和恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用任意角三角函數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，所以.故選：B.3.已知向量滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.【詳解】依題意，在上投影向量為，則，于是，而，則，所以向量與向量的夾角為.故選：C4.荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”在“進(jìn)步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經(jīng)過365天的“進(jìn)步值”，看作是經(jīng)過365天的“退步值”，則大約經(jīng)過（）天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的100倍（參考數(shù)據(jù)：，）A.100 B.230 C.130 D.365【答案】B【解析】【分析】設(shè)大約經(jīng)過天“進(jìn)步值”大約是“退步值”的倍，依題意可得，根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的關(guān)系及換底公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)大約經(jīng)過天“進(jìn)步值”大約是“退步值”的倍，此時(shí)“進(jìn)步值”為，“退步值”為，即，所以，則，所以天．故選：B5.已知sinα-β=1A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)閟in(α-β)=則sin(所以cos(2故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．6.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)由復(fù)合而成，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷在區(qū)間上是增函數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故由在區(qū)間上是減函數(shù)，可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，結(jié)合函數(shù)的圖象即可判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)椋瑇=2時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，故，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，由對(duì)稱性可得在上的大致圖象如下圖所示，則在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.故選：C.8.已知函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意先賦值代入等量關(guān)系式求出，再賦值得，進(jìn)而依據(jù)此計(jì)算規(guī)則逐步求出，即求出是周期為6的周期函數(shù)，再依據(jù)此計(jì)算規(guī)則結(jié)合和求出，進(jìn)而結(jié)合周期即可求解.【詳解】取代入，得即，由題解得，令代入得，故，所以是周期為6的周期函數(shù)，又，，所以，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依次賦值和代入分別得到和，再依據(jù)所得條件推出即函數(shù)周期為6和，進(jìn)而根據(jù)周期性和即可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則以下選項(xiàng)正確是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用期望與方差的性質(zhì)結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由正態(tài)分布密度曲線知其關(guān)于對(duì)稱，利用對(duì)稱性知，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列式子結(jié)果為的是（）①；②；③；④．A.① B.② C.③ D.④【答案】ABC【解析】【分析】利用即可得①正確；，進(jìn)而利用正弦和角公式即可得②正確；由與正切的和差角公式即可得③正確④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，由于，所以；對(duì)于②，由于，所以；對(duì)于③，因?yàn)?，；?duì)于④，因?yàn)椋?；故選：ABC11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】直接利用“巧值點(diǎn)”的定義，一一驗(yàn)算即可.【詳解】對(duì)于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值點(diǎn)”.對(duì)于B：∵，∴，令，即，無(wú)解，故沒有“巧值點(diǎn)”.對(duì)于C：∵，∴，令，即，由和的圖像可知，二者圖像有一個(gè)交點(diǎn)，故有一個(gè)根，故有“巧值點(diǎn)”對(duì)于D：∵，∴，令，即，可得，無(wú)解，故沒有“巧值點(diǎn)”.故選：AC【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；(2)根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】求出在處的切線方程，設(shè)出的切點(diǎn)聯(lián)立方程組可解得.【詳解】對(duì)于，易知，切線斜率為，切點(diǎn)為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設(shè)切點(diǎn)，由，解得.故答案為：213.已知函數(shù)的圖象與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，聯(lián)系余弦函數(shù)在上的單調(diào)性分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，在上，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，極小值為；在上，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，極小值為所以函數(shù)的圖象與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：14.已知函數(shù)其中，，的部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由圖像可求出函數(shù)，然后根據(jù)求解函數(shù)的零點(diǎn)存在的值并結(jié)合區(qū)間上只有兩個(gè)零點(diǎn)，從而求解.【詳解】由圖象對(duì)稱性可知，函數(shù)的圖象與軸正半軸第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由圖可知為其對(duì)稱軸，則，解出，由于，故，，則，，因?yàn)椋?，于是，由于，故，因此，易知，因?yàn)樵?，上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．除特別說(shuō)明外，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15.已知都是銳角，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）因?yàn)槎际卿J角，而，可得

，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得

；（2）湊角可得

，由兩角差的余弦公式展開，代值即可得解.試題解析：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，且，解得.（2）由（1）可得，.因?yàn)闉殇J角，，所以.所以.16.第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，請(qǐng)用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【答案】（1）（2）該球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用貝葉斯公式求黑球來(lái)自甲、乙箱的概率，比較它們的大小，即可得結(jié)論.【小問1詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得：.【小問2詳解】該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率該球取自乙箱的概率因?yàn)樗栽撉蛉∽砸蚁涞目赡苄愿?17.已知三棱錐平面，為的中點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)二面角余弦值大小為時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法建立方程，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又，，平面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；【小?詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，由，則，令，解得，所以，由，得，解得或，故或.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類，討論函數(shù)的單調(diào)性即得；（2）將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究并作出函數(shù)的圖象，即得的取值范圍；（3）由原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，就參數(shù)分類討論，找到使恒成立時(shí)的情況，即得的取值范圍.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)；時(shí)；綜上，時(shí)，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】令得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，則.又因時(shí)，時(shí)，作出函數(shù)的圖象，由圖可得，要使直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，須使，即，故的取值范圍是.小問3詳解】由得，因，即得，（*），易得時(shí)，不等式成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，（*）恒成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則方程有兩根，，可得當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞減；又，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和不等式恒成立問題，屬于難題.對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的探究，一般考慮參變分離法，不易分離變量的則考慮根據(jù)參數(shù)，分析討論函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷求解；對(duì)于由不等式恒成立的求參問題，一般是分離變量后，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，對(duì)于不易轉(zhuǎn)化時(shí)，可以通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)參數(shù)范圍，討論函數(shù)不等式何時(shí)恒成立.19.設(shè)為大于3的正整數(shù)，數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，從中選取項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，記為，如果對(duì)于任意的，均有，那么我們稱數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)數(shù)列．（1）若數(shù)列為，寫出所有數(shù)列；（2）如果數(shù)列公差為，證明：；（3）記“從數(shù)列中選取項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列為數(shù)列的數(shù)列”的概率為，證明：．【答案】（1）2，3，1，4；3，2，4，1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義求解即可；（2）由題知，為的最大值或最小值的一個(gè)排列，則有為的最大值或最小值的一個(gè)排列，分類討論即可證明；（3）由（2）知，數(shù)列任意元子集必存在2個(gè)數(shù)列，則任意取項(xiàng)的排列數(shù)為，而為數(shù)列的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，所以．【小問1詳解】由數(shù)列的定義知，的數(shù)列為：2，3，1，4；3，2，4，1．【小問2詳解】對(duì)于項(xiàng)的數(shù)列一個(gè)數(shù)列，因?yàn)閷?duì)于，均有，所以，所以不是所有項(xiàng)中的最大值或最小值，所