湖南省長(zhǎng)沙市岳麓實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

機(jī)密★啟用前2024年下學(xué)期長(zhǎng)沙市岳麓實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試范圍：必修部分；考試時(shí)間：120分鐘，滿分120分.注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.已知是虛數(shù)單位，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則和虛部的概念求解即可.【詳解】由題意得，，虛部為.故選：C2.對(duì)于①，②，③，④．⑤，⑥，則為第三象限角的充要條件為（）A.①③ B.④⑥ C.②③ D.②⑤【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)性，結(jié)合充要條件的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因，，所以為第一象限角，因此不符合題意；B：因?yàn)?，，所以為第二象限角，因此不符合題意；C：因?yàn)?，，所以為第四象限角，因此不符合題意；D：因?yàn)椋?，所以為第三象限角，顯然當(dāng)為第三象限角時(shí)，，成立，故選：D3.若，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)求得，再運(yùn)用同角三角函數(shù)間的關(guān)系可得選項(xiàng)．【詳解】由已知可得，∴，，∴，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.表示的小數(shù)部分，則的值是A.-1 B.-2 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分母有理化得，通過(guò)對(duì)值的估算，得到的范圍，進(jìn)而得到的取值，再代入對(duì)數(shù)式求值.【詳解】因?yàn)?，而，則，所以，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查用逼近法估算無(wú)理數(shù)的大小，用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，考查對(duì)數(shù)式的運(yùn)算求值.5.函數(shù)（其中，的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意，,所以，令，則，即向右平移可以得到.考點(diǎn)：正弦型函數(shù)解析式函數(shù)圖像平移變換點(diǎn)評(píng)：在求解的圖像時(shí)，核心是理解各變量對(duì)圖像的影響，另外，函數(shù)平移口訣“左加右減，上加下減”是快速準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵.6.已知函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】，函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，構(gòu)造函數(shù)，關(guān)于中心對(duì)稱，利用等差數(shù)列性質(zhì)即可尋找其零點(diǎn)，即可求解.【詳解】，，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)，可得是單調(diào)增函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，關(guān)于中心對(duì)稱，且單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn)，將變形為，即，是公差不為0的等差數(shù)列，則一定是單調(diào)數(shù)列，不妨考慮：，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，即與軸的交點(diǎn)，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)對(duì)稱性與零點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于弄清已知函數(shù)的單調(diào)性對(duì)稱性和零點(diǎn)，需要掌握三次函數(shù)的基本性質(zhì)，例如此題考到三次函數(shù)必有對(duì)稱中心，根據(jù)函數(shù)圖象的中心對(duì)稱關(guān)系求值.7.在平面內(nèi)，四邊形ABCD的與互補(bǔ)，，則四邊形ABCD面積的最大值=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可求得，即角或，分類討論，由，計(jì)算三角形的面積，利用均值不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)榕c互補(bǔ)，，且四點(diǎn)共圓.所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以或.設(shè)四邊形的外接圓半徑為，則，解得.（1）設(shè).當(dāng)，則，故，此時(shí)，且，在中，，所以，即.所以四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積取得最大值為（2）當(dāng)，則，故，所以.因?yàn)?，所以，則在中由余弦定理得，所以，即.所以，此時(shí)，四邊形面積.綜上，四邊形面積的最大值等于，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形面積公式，均值不等式，屬于難題.8.在三棱錐中，．若與面所成角的最大值為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取中點(diǎn)分別為O，D，E，連，過(guò)D作于G，連，可證為所求線面角，設(shè)，用表示出求最值.【詳解】取中點(diǎn)分別為O，D，E，連，過(guò)D作于G，連，由，則，又，則，又平面，平面，，所以平面，又平面，則，又平面，平面，，則平面．又，故與面所成角與與面所成角相等，所以為所求線面角，設(shè)，則，，故，令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知斜線AB與平面交于點(diǎn)B，則直線AB與平面所成角的作法：（1）直接法作線面角：即定義法，過(guò)A作面垂線，垂足為，根據(jù)線面角的定義得為直線AB與平面所成角.（2）借助于面面垂直作線面角：過(guò)A點(diǎn)作平面的垂面，過(guò)A點(diǎn)作兩面交線的垂線，垂足為，則為直線AB與平面所成角.二、多選題（共18分）9.若，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可知ACD正確，舉特值可知B錯(cuò)誤.【詳解】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)A成立；取，則，此時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)C成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)D成立；故選：ACD.10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，在表達(dá)式中令結(jié)合已知即可驗(yàn)證；對(duì)于B，在表達(dá)式中令結(jié)合A選項(xiàng)分析即可驗(yàn)證；對(duì)于C，在表達(dá)式中令結(jié)合已知即可驗(yàn)證；對(duì)于D，結(jié)合B、C選項(xiàng)的分析即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，在中令，可得，又，所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，在中令，可得，又由A選項(xiàng)分析可知，所以，所以，由實(shí)數(shù)具有任意性，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，中令，結(jié)合，故可得，所以，由于實(shí)數(shù)具有任意性，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可知，而由B選項(xiàng)分析可知，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.設(shè)函數(shù)，已知在[0,2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B.在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)C.的取值范圍是[,）D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)求出整體的范圍，結(jié)合的圖象求出的范圍，然后再結(jié)合的圖象判斷A、B選項(xiàng)是否正確．對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合的范圍判斷整體是否在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi).【詳解】

因?yàn)?，則，有4個(gè)零點(diǎn)，則，，故C對(duì)；有兩個(gè)極小值點(diǎn)，2個(gè)或3個(gè)極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)，B對(duì)；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，故D對(duì)，故選：BCD三、填空題（共15分）12.若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.【詳解】解：令，得，由題意可知函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象（如圖），可知，.故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，方法是數(shù)形結(jié)合法，把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，本題屬于中檔題．13.在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)H，連接AH，DH，則可得為二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OA，OD，然后在中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，DH，由題意，，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)點(diǎn)H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OA，OD，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么________【答案】4021【解析】【分析】先把函數(shù)變形為,判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)在定義域上為增函數(shù)以及函數(shù)的定義域就可求出函數(shù)的最大值與最小值,進(jìn)而求出最大值與最小值之和.【詳解】函數(shù)

在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)

在上為增函數(shù),

而在上也為增函數(shù)

在上為增函數(shù)

，

故答案為4021【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值與最小值,關(guān)鍵是把函數(shù)化簡(jiǎn)成可以判斷單調(diào)性的形式.四、解答題（共77分）15.某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，舉辦了“愛(ài)貴陽(yáng)，護(hù)環(huán)境”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，為了解本次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)參賽學(xué)生的成績(jī)，從中抽取了名學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分，所有學(xué)生的得分都在區(qū)間中）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出如圖甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分?jǐn)?shù)莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）.（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中，的值；（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的2組學(xué)生中按分層抽樣抽取了5名學(xué)生，再?gòu)某槿〉倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生到觀山湖公園參加環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng)，求抽到的2名學(xué)生成績(jī)均在的概率（將樣本頻率視為概率）.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和莖葉圖中的數(shù)據(jù)即可求出;（2）由古典概型列出事件的所有情況即可求得概率.【小問(wèn)1詳解】由直方圖可知，分?jǐn)?shù)在中的頻率為，根據(jù)莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在中的頻數(shù)為3，所以樣本容量，根據(jù)莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在中的頻數(shù)為1，所以分?jǐn)?shù)在中的頻率為，所以，所以，由，得，綜上所述：，，．【小問(wèn)2詳解】由題意，本次競(jìng)賽成績(jī)樣本中分?jǐn)?shù)在中的學(xué)生有名，分?jǐn)?shù)在中的學(xué)生有名．抽取分?jǐn)?shù)在中的學(xué)生有名，抽取分?jǐn)?shù)在中的學(xué)生有名．設(shè)成績(jī)?cè)诜值膶W(xué)生為，，成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生為，，．從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，共有，，，，，，，，，共10種情況，其中2名同學(xué)均在共有，，共3種情況，設(shè)抽到的2名學(xué)生成績(jī)均在為事件，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)；(3).【解析】【分析】(1)取AD中點(diǎn)N，連接MN，CN，推證平面CMN與平面BPA平行而得；(2)由于M是PD中點(diǎn)，點(diǎn)P，D到平面ACM等距離，利用等體積法轉(zhuǎn)化求得；(3)作出二面角M-AC-D的平面角，由直角三角形求解而得.【詳解】(1)在四棱錐P-ABCD中，取AD中點(diǎn)N，連接MN，CN，如圖，因M是PD中點(diǎn)，則MN//PA，MN平面PAB，所以MN//平面PAB，由已知得BC//AN且BC=AN，則ABCN為平行四邊形，則CN//AB，CN平面PAB，所以CN//平面PAB，而平面CMN，MN平面CMN，平面CMN//平面PAB，又CM平面CMN，CM//平面PAB；(2)由(1)知MN//PA，，而PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，而AB⊥BC，則是矩形，CN⊥AD，平面ACM經(jīng)過(guò)線段PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)P，D到平面ACM距離相等，CN=AB=1，；(3)取AC中點(diǎn)O，連ON，OM，因CN=AN=1，CN⊥AN，則ON⊥AC，由(2)知MN⊥AC，所以AC⊥平面OMN，AC⊥OM，∠MON是二面角M-AC-D的平面角，中，MN⊥ON，MN=1，ON=，則，.【點(diǎn)睛】(1)三棱錐體積，可以利用等體積法轉(zhuǎn)化求解；(2)求二面角大小的方法，一是作出二面角的平面角解決，二是用空間向量方法解決.17.某公司為提高員工的綜合素質(zhì)，聘請(qǐng)專業(yè)機(jī)構(gòu)對(duì)員工進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，其中培訓(xùn)機(jī)構(gòu)費(fèi)用成本為12000元.公司每位員工的培訓(xùn)費(fèi)用按以下方式與該機(jī)構(gòu)結(jié)算：若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過(guò)30人時(shí)，每人的培訓(xùn)費(fèi)用為850元；若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多一人，培訓(xùn)費(fèi)減少10元.已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn)，設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為人，每位員工的培訓(xùn)費(fèi)為元，培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的利潤(rùn)為元.（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工為多少人時(shí)，培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)？并求最大利潤(rùn).【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)題意，只要注意超過(guò)30人時(shí)，每多1人才能減少10元，因此可分類，和（），在時(shí)，培訓(xùn)費(fèi)用為；（2）利潤(rùn)是用每人的培訓(xùn)費(fèi)用乘以培訓(xùn)人數(shù)減去成本12000，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)分類求得最大值，然后比較即得．詳解：（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，..（2）當(dāng)時(shí)，,x=30時(shí),取得最大值.當(dāng)時(shí),,,當(dāng)或時(shí),取得最大值.因?yàn)?，?dāng)公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為或時(shí)，培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)元.點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，這只要認(rèn)真審題，仔細(xì)閱讀題目就可得出．函數(shù)應(yīng)用題中關(guān)系式一般在題中都有給出，關(guān)鍵是要讀懂題意．18.在中，分別是所對(duì)的邊，,，三角形的面積為，（1）求的大??；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知可求得，化簡(jiǎn)可求C；(2)，求得，再根據(jù)余弦定理，利用，解得的值.【小問(wèn)1詳解】,【小問(wèn)2詳解】由，得又解得19.如圖，一個(gè)角形海灣，（常數(shù)為銳角）.擬用長(zhǎng)度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：圖1圖2方案一：如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；方案