河南省商周聯(lián)盟2024-2025學年高二數(shù)學下學期6月聯(lián)考試題理

PAGEPAGE12河南省商周聯(lián)盟2024-2025學年高二數(shù)學下學期6月聯(lián)考試題理考生留意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清晰．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：選修2-2，選修2-3，選修4-4，選修4-5．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)所對應的點為（）A． B． C． D．2．某產(chǎn)品的宣揚費用（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：45677608090100120依據(jù)上表可得回來直線方程，則宣揚費用為9萬元時，銷售額約為（）A．123萬元 B．128萬元 C．132萬元 D．138萬元3．已知，則對，（）A． B．C． D．4．在四張卡片上寫上甲、乙、丙、丁四位同學的名字，再隨機地發(fā)給這四位同學，在甲得到寫有自己名字的卡片的狀況下，其他人得到的都不是寫有自己名字的卡片的概率為（）A． B． C． D．5．若，則（）A．120 B．24 C．-24 D．-1206．已知復數(shù)，，則下列結論：①若，則；②若，則；③；④；⑤正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（）A． B． C． D．98．，，三人參與單位組織的平安生產(chǎn)學問（閉卷）競賽，三人向組織人員詢問結果，得知他們?nèi)税鼣埩诉@次競賽的前三名，未告知詳細名次，但供應了以下3條信息：①不是第一名；②不是第三名；③是第三名，并告知他們這3條信息中有且只有一條信息正確，那么該次競賽的第一名，其次名，第三名依次為（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、9．已知，若，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．10．“賽龍舟”是端午節(jié)的習俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)接近，某單位龍舟隊欲參與今年端午節(jié)龍舟賽，參與訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參與競賽，則不同的選派方法共有（）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種11．從集合中任取3個元素組成一個集合，記中全部元素之和被3除余數(shù)為的概率為，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．12．定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，，當時，的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，則（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．______．14．某校2000名學生的某次數(shù)學考試成果，則成果位于區(qū)間的人數(shù)大約是______人（注：若，則，，）15．30030能被______個不同正偶數(shù)整除．16．一幾何體是由圓柱及其上的半球組合而成，球的半徑等于圓柱底面半徑，若該組合體的體積為，當圓柱的半徑為______時，該組合體的表面積最?。?、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）某餐廳為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了60名男顧客和60名女顧客，每位顧客對該餐廳的服務給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足合計男顧客48女顧客24合計（1）完成上述列聯(lián)表，并推斷能否有95%的把握認為男、女顧客對該餐廳服務的評價有差異？（2）該餐廳為了進一步提高服務水平，改善顧客的用餐體驗，在不滿足的顧客中利用分層抽樣的方法抽取6人聽取他們的看法，并從這6人中抽取3人作為監(jiān)督員，設為抽取的3人中男顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（本小題滿分12分）用兩種方法證明：能被49整除．19．（本小題滿分12分）2024年五--期間，某大型超市舉辦了一次回饋消費者的有獎促銷活動，消費者消費每超過800元（含800元），均可抽獎一次，并獲得用相應的嘉獎（抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種）．抽獎方法及嘉獎如下：方案一：從裝有10個形態(tài)、大小、質(zhì)地完全相同的小球（其中紅球1個，白球2個，黑球7個）的抽獎盒中，一次摸出3個球，嘉獎規(guī)則為：若摸出1個紅球和2個白球，享受免單實惠；若摸出2個白球和1個黑球則打4折；若摸出1個紅球2個黑球，則打6折；若摸出1個白球2個黑球則打9折，其余狀況不打折．方案二：從裝有10個形態(tài)、大小、質(zhì)地完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．（1）若兩個顧客均分別消費了800元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單實惠的概率；（2）若某顧客消費了1000元，試從數(shù)學期望角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？20．（本小題滿分12分）（1）已知，且，用分析法證明：；（2）已知函數(shù)，證明：在上單調(diào)遞增．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰好有2個零點，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的一般方程及直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線的交點為，，與軸的交點為，．求的值．23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若對隨意，關于的不等式恒成立，求的取值范圍．商周聯(lián)盟2024~2025學年高二6月聯(lián)考·數(shù)學試卷（理科）參考答案、提示及評分細則1．D由題意，得，所以．所以在復平面內(nèi)對應的點為．故選D．2．C由表格數(shù)據(jù)知：，，由回來直線方程的性質(zhì)，得，所以，故，所以當萬元時，萬元．故選C．3．A．故選A．4．A設事務為“甲得到寫有自己名字的卡片”，事務為“其他三人得到的卡片都不是寫有自己名字的卡片”，則，，故．故選A．5．D令，則，所以，所以．故選D．6．A①錯誤，例如，滿足，但，；②錯誤，例如，，滿足條件．但二者是虛數(shù)，不能比較大小；③錯誤，等號左邊結果肯定是非負實數(shù)，等號右邊未必是實數(shù)；④正確；⑤錯誤，類似于③．故選A．7．C，由定積分的幾何意義知表示曲線（單位圓的上半部分）與直線，及坐標軸所圍成的圖形的面積，所以．所以．故選C．8．B由題意知若③對，則②也對，不合題意，故③肯定錯誤，則為第一名，或為其次名，若為第一名，則①正確，那么②錯誤，故為第三名，符合題意；若為其次名，此時①②同真，或同假，不合題意．故選B．9．B，令，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，又的定義域為，所以在，上單調(diào)遞減，又，，，，所以．故選B．10．C依據(jù)題意，設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此分3種狀況探討：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法．故選C．11．B記為中被3除余數(shù)為的數(shù)所組成的集合，則在，，中各有11個元素，在中任取3個元素，其和被3除余數(shù)為0，在，，各取一個元素，其和被3除余數(shù)為0，所以，同理可得，，很明顯，所以．故選B．12．D當時，，，，所以的取值為0，所以，所以；當時．，若時，，故，若時，，，故，所以，所以；當時，，若時，，故；若時．，故；若時，，故，5，所以，所以；當時，，若時，故；若時，，故；若時，，故，5，若時．，故，10，11，所以．所以；以此類推，可以歸納，得，所以，所以，所以．故選D．13．．14．43，其中，，所以，，所以，所以成果在的人數(shù)估計約為人．15．32先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，全部的偶因數(shù)為個．16．3法一：設圓柱的半徑為，高為，則，即，所以，所以該組合體的表面積，當且僅當，即時等號成立．法二：設圓柱的半徑為，高為，則，即，所以，所以該組合體的表面積，所以，令，得，易知當時，取得最小值．17．解：（1）滿足不滿足合計男顧客481260女顧客362460合計8436120所以，所以能有95%的把握認為男、女顧客對該餐廳服務的評價有差異．（2）由題意知，抽取的6人中男顧客，女顧客的人數(shù)分別為2人，4人，所以的取值為0，1，2，，，，所以其分布列為012所以其數(shù)學期望．18．證明：方法一：因為為整數(shù)，所以能被49整除．方法二：（1）當時，，能被49整除．（2）假設當，能被49整除，那么，當，．因為能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即當時命題成立，由（1）（2）知，能被49整除．19．解：（1）選擇方案一若享受到免單實惠，則須要摸出1個紅球，2個白球，設顧客享受到免單實惠為事務，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為．（2）若選擇方案一：設付款金額為元，則可能的取值為0、400、600、900、1000．，，，，，故的分布列為04006009001000所以．若選擇方案二：設摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）．因為，所以該顧客選擇其次種抽獎方案更合算．20．證明：（1）因為，且，所以，，，要證，只需證即可，只要證，即證，只要證，因為，，，所以，，所以成立．命題得證．（2）任取，，且，因為，所以，由，得，所以，所以，所以，所以，即．所以在上單調(diào)遞增．21．解：（1）函數(shù)的定義域為，，當時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，的兩根是，2．①當，即時，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當，即時，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）問題可以轉(zhuǎn)化為關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，因為（由易得），所以，令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，，所以，