黑龍江省大慶市2025屆高三數(shù)學下學期4月第二次教學質量監(jiān)測試題二模理

②，因為，由正弦定理得，，……………2分因為,,是的內角，所以，所以，綻開得，，因為是的內角，所以，所以，……………4分因為是的內角，……………5分所以．……………6分（2）因為，為銳角三角形，所以，解得．……………8分在中，，所以，即，……………10分由可得，，所以，所以．……………12分18．（本小題滿分12分）解：（1）由題意得，總人數(shù)為200人，年齡在45歲及以下的人數(shù)為人，沒運用過政府消費券的人數(shù)為人，完成表格如下：運用過政府消費券沒運用過政府消費券總計45歲及以下903012045歲以上503080總計14060200……………2分由列聯(lián)表可知，……………4分因為，所以有90%的把握認為該市市民民是否運用政府消費券與年齡有關．……………6分（2）由題意可知，從該市45歲及以下的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，沒運用政府消費券的頻率為，所以，的全部可能取值為0，1，2，3，……………7分，，，，……………9分所以的分布列為：0123……………10分所以．……………12分19．（本小題滿分12分）解：（1）取中點為，連接、，因為是正方體，點和為所在棱中點，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，……………2分在正方形中，點和為中點，所以∥，……………3分所以∥，……………4分又因為，，……………5分所以//平面．……………6分（2）因為為正方體，所以，以為坐標原點，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設正方體棱長為1，則，所以，，，……………7分設平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，取，則，故，……………8分又，即，取，則，故，……………9分設二面角的平面角為，則，……………10分整理得，可化簡為，解得，所以當時，二面角的平面角的余弦值為．……………12分20．（本小題滿分12分）解：（1）因為橢圓的長軸長為4，所以，即．……………1分又因為橢圓的離心率為，，即，……………2分所以，所以橢圓的方程為．……………4分（2）法一：當斜率為0時，，，， 同理，當斜率不存在時，也有．……………5分當斜率存在且不為0時，設斜率為，則方程為，設，聯(lián)立得，易知，且，，……………6分由弦長公式得，，……………8分設，因為，所以直線的斜率為，所以，……………9分所以，，……………10分因為，當且僅當即時取“=”，所以，.……………11分明顯，所以的最小值為，此時..……………12分法二：當斜率為0時，，，， 同理，當斜率不存在時，也有．……………5分當斜率存在且不為0時，設斜率為，則方程為，設，聯(lián)立得，易知，且，，……………6分由弦長公式得，，……………8分設，因為，所以直線的斜率為，所以，……………9分所以，……………10分所以，當且僅當時取“=”，此時，……………11分因為，所以的最小值為，此時．……………12分21．（本小題滿分12分）解：由題意得，……………1分當時，因為，由得，解得；由得，解得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．……………3分當時，因為，由得，解得；由得，解得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．……………5分所以，當時，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．……………6分證明：由題意知，直線的斜率，又因為，所以，因為，所以.……………7分故.因為，所以，，，整理可得，即，（*）……………9分令，則，欲證（*）成立，等價于證明成立，即證：，令函數(shù)，則，，所以在上為單調遞增函數(shù)，……………11分所以，即成立，所以．……………12分22．（本小題滿分10分）解：（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)可得直線的一般方程為，……………2分由，得，即，整理可得曲線的直角坐標方程為．……………4分（2）直線經(jīng)過點，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入橢圓中，整理得，……………6分明顯，設點，對應的參數(shù)分別為，，則有，，……………8分因為同號，故．……………10分23．（本小題滿分10分）解：（1）法一：由肯定值三角不等式可得，……………2分當且僅當時，等號成立，所以．……………4分法二：因為．=1\*GB3①當時，；……………1分=2\*GB3②當時，；……………2分=3\*GB3③當時，；……………3分綜上，的最小值．