2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5-橢圓【課件】

第八章平面解析幾何第5節(jié)橢圓ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做______.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的______，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的______，焦距的一半稱為半焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若________，則集合P為橢圓；(2)若________，則集合P為線段；(3)若________，則集合P為空集.1.橢圓的定義橢圓焦點(diǎn)焦距a＞ca＝ca＜c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)××√√解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于|F1F2|時(shí)，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時(shí)，不存在這樣的圖形.D2.已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是(

)當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)等號(hào)成立.C解析由題意可知，橢圓E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.D因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2解析連接QA(圖略).由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.1.如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是(

) A.橢圓

B.雙曲線 C.拋物線

D.圓A設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，∴∠F1PF2＝60°.60°∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2，0)，4.已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________.又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，若焦點(diǎn)在y軸上，例1

求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)；解

設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，解析因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，訓(xùn)練1(1)(多選)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為(

)BD角度1離心率D由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1，由∠F1F2P＝120°，解析如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，因?yàn)锳B平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點(diǎn)，因?yàn)檫^F2且與x軸垂直的直線為x＝c，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，以AB為直徑的圓的圓心為(c，0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，A化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，解析設(shè)P(x0，y0)，則－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∵－1≤y0≤1，角度2與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問題解析法一設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，D所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，即△MF1F2是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，即2(a2－c2)＝c2，則2a2＝3c2，D解析設(shè)左焦點(diǎn)F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，A∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.所以當(dāng)m＝5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為2.5FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A.(±3，0)

B.(0，±3)C.(±9，0)

D.(0，±9)解析根據(jù)橢圓方程可得焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3).B解析依題意可知，c＝b，C解析設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16，2c＝8，3.已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(

)DBA.曲線C不可能是橢圓B.“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件C.“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件D.“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件解析對(duì)于A，當(dāng)1＜k＜4且k≠2.5時(shí)，曲線C是橢圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)k＝2.5時(shí)，4－k＝k－1，此時(shí)曲線C是圓，B錯(cuò)誤；CD所以“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件，C正確；ACD解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6為定值，A正確；△ABF的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF|＋|BF|，因?yàn)閨AF|＋|BF|為定值6，∴|AB|的取值范圍是(0，6)，∴△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是(6，12)，B錯(cuò)誤；∴△ABF為直角三角形，C正確；7.若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為________.解析橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，從而b2＝4，解析以線段A1A2為直徑的圓是x2＋y2＝a2，直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，即a2＝3(a2－c2)?2a2＝3c2，解

∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，解由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)B(x，y)，∴b2＝a2－c2＝2.解

連接PF1.即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B