2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 數(shù)列 階段測試五

考案［十五］階段測試（五）數(shù)列

（本試卷滿分150分，測試時(shí)間120分鐘）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（2024?重慶巴蜀中學(xué)期中）數(shù)列｛a。｝：2,—5,9,-14,…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（C）

A.a〃=（―1）"T（3〃-1）

B.a〃=（―1）

,、?nn+3

D.Hn—（-1）2

［解析］（選項(xiàng)驗(yàn)證法）數(shù)列｛aj第一項(xiàng)為正數(shù).選項(xiàng)BD中的通項(xiàng)公式求出的第一項(xiàng)均

為負(fù)數(shù)，故解除BD；選項(xiàng)A中對(duì)應(yīng)的as=8,解除A.故選C.

2.（2024?皖江聯(lián)盟聯(lián)考）”｛aj為等比數(shù)列”是“｛1ga｝為等差數(shù)列”的（B）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［解析］若｛lgaj為等差數(shù)列，則21gaf=lga?+lga?+i,即氤+\=ara?+2,因此

｛a〃｝為等比數(shù)列，必要性成立；若｛aj為等比數(shù)列，則a0+z,但項(xiàng)可以為負(fù)數(shù)，對(duì)

應(yīng)的1g4無意義，充分性不成立.故選B.

3.（2024?山東淄博試驗(yàn)中學(xué)檢測）已知數(shù)列｛aj為等比數(shù)列,若a2a3=24，且&與2&

的等差中項(xiàng)為*則&=（C）

A.35B.33

C.16D.29

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛&J的公比為。由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a2a3=aia=2a“又&W0,

551Q-,1

所以a=2,由a與2a7的等差中項(xiàng)為彳，知a+2a7=2X］,所以a7=］,所以"=—=石，則

444QAo

d=2=16.故選C.

Q

4.（2024?湖南長沙一中期中）數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)&=〃，0$2號(hào)一sir?號(hào)，，其前刀項(xiàng)和

為S,則&。為（A）

A.470B.490

C.495D.510

02〃兀2〃兀

［解析］由題可知劣=力。0$工一，cos—「關(guān)于〃的取值如下表:

Oo

n123456???

2/7Ji

11…

C0S3-2-2~2-2

由表中數(shù)據(jù)可得cos等的周期為3,則&。=(—W^+32)+(一生產(chǎn)+62)+…+

222

(28+292、、門3k—2+3k—122rti5

-9+30,設(shè)bk=----------------------+(3A),則bk=9k—1,所以&0=9義(1

5

+2H---1-10)--X10=470,故選A.

5.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國民間普及珠

算和數(shù)學(xué)學(xué)問起到了很大的作用，在這部著作中，很多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九

兒問甲歌”就是其中一首，內(nèi)容為：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來爭三歲,

共年二百七歲期，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.這位公公年齡最大的兒子的年齡為(D)

A.26歲B.29歲

C.32歲D.35歲

［解析］設(shè)第〃個(gè)兒子的年齡為為(1W〃W9),貝是公差d=-3的等差數(shù)列，由題

9X8

意得&=9&+-y-X(—3)=207,解得@=35.故選D.

6.(2024.長沙一中期中)在數(shù)列｛a｝中,&=2,且為+加尸春則數(shù)

列［1的前2022項(xiàng)和為（B）

A-2--0-2-2R-4--0-4-4

20232023

20214040

C-----n-----

10102021

［解析］當(dāng)時(shí)，因?yàn)閍+a—1=—J—+2,所以成一愛—1一2（為一為—J=〃，整理

3，n3，n—1

22

得（品一1）—-1）2=77,所以（4—1）—（51—1）2=刀+（刀-1）+…+2.因?yàn)槟?12,所以

（^―1）2=~~~—（〃22）,當(dāng)n=l時(shí)，"=2滿意上式，所以---二~~2=----J-=

2an-1nn-r1

111

--+

2、—所以數(shù)列*「士的前2022項(xiàng)和So22=2xfl232O22

=2Xf1-20234044

礪，故選B.

2023

7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且&-2&=5,則d9+aio+dll+劭2的最小

值為（C）

A.10B.15

C.20D.25

［解析］由題意，可得a9+.310+1+512=512—&,由Ss-2a=5,可得&—&=W+5.

又由等比數(shù)列的性質(zhì)，知2,&—&,S12一友成等比數(shù)列，則&（S12-&）=（&—a）2.于是為

S+5225/25

+dio+&i+512=512—Ss=7—II1022、/X~I10=20,當(dāng)且僅當(dāng)&=5時(shí)

等號(hào)成立.所以4+&o+aii+ai2的最小值為20.故選C.

8.（2024?東北師大附中段考）已知｛2｝是各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，S為其前刀項(xiàng)和，甌

+i=aI+ia〃（〃eN*）,且不等式一+—+???+——?對(duì)隨意正整數(shù)〃恒成立,則實(shí)數(shù)

見的最小值是（D）

A.0B.-1

C.-2D.—3

［解析］由｛a｝是等差數(shù)列知￡〃+i=（2〃+l）a+i,將其代入￡〃+1=4+1為中，得到（2刀

1

-

+1)2+1=2+1品.因?yàn)?+1W0,所以a=2〃+1,〃￡N*.所以----+2+32

3，n3，n+127777

111T

1I-+

---一--

2〃+1-2〃+3)所以蒜+蒜125+-517—扁

國1

因?yàn)椴坏仁?+■-+…+—Lw對(duì)隨意〃GN*恒成立，所以2"+4》合二對(duì)隨意n

ai改為&41&1+1”；3；06〃十9

GN*恒成立，即所以2?》2,—3.故選D.

〃十9J

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.每個(gè)小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，全部

選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得。分）

9.下列說法正確的是（BC）

A.給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

B.若等差數(shù)列｛左的公差刊0,則|a.|是遞增數(shù)列

C.若a,b,c成等差數(shù)列，則士2可能成等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，則數(shù)歹心為+24+』不肯定是等差數(shù)列

［解析］A選項(xiàng)，給出數(shù)列的有限項(xiàng)不肯定可以確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，故A不正確；B

選項(xiàng)，由等差數(shù)列性質(zhì)知，若公差流0,貝口為｝必是遞增數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)a=b

=c=l時(shí)，-=7=-=1,則其是等差數(shù)列，而當(dāng)3=1,8=2,c=3時(shí)不成立，故C正確；

abc

D選項(xiàng)，數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為%所以a+2a+1=&+（刀-1）d+2ai+2〃d=3ai

+（3〃-l）d也是等差數(shù)列，故D不正確.故選BC.

10.1921年宏大的中國共產(chǎn)黨成立，經(jīng)過28年的浴血奮戰(zhàn)，于1949年成立了中華人

民共和國，從今中國人民站起來了.到2024年習(xí)近平總書記在慶祝中國共產(chǎn)黨成立100年

大會(huì)上莊重宣告：我們實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)，正向著全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國的

其次個(gè)奮斗目標(biāo)邁進(jìn).現(xiàn)有一個(gè)等差數(shù)列｛4｝,其公差d與各項(xiàng)均為正整數(shù)，為=1921,3

=1949,a=2021,下列說法正確的是（BC）

A.d的最小值為4

B.m,〃滿意關(guān)系式25m一7刀=18

C./n+n的最小值為34

D.滿意條件的出〃有且僅有4組

[解析]由題意得"=上）=’普，所以勿=8,〃=26時(shí)，d=4,同理可求得d=2,d

m—1n-1

=1,故A錯(cuò)誤；化簡可得25〃—7〃=18,故B正確；由^?二平今一二令今

m—1n—1m—1n—1

\m=l1+1

,fFN*,所以加+〃的最小值為34,C正確；滿意條件的方=1,2,4,因此滿

[77=25f+1

意條件的加，刀有且僅有3組，D錯(cuò)誤.故選BC.

1L（2024?重慶試驗(yàn)中學(xué)預(yù)料）在公比。為整數(shù)的等比數(shù)列｛包｝中，S是數(shù)列｛a｝的前

刀項(xiàng)和，若4?a=32,/+a=12,則下列說法正確的有（ABC）

A.q=2

B.數(shù)歹U｛S+2｝是等比數(shù)列

C.&=510

D.數(shù)列｛1ga｝是公差為2的等差數(shù)列

[3,2*續(xù)=32,

[解析]因?yàn)閿?shù)列｛a｝是等比數(shù)列，所以色&=aa=32,由?_解得

[/十白=12,

\或《因?yàn)楣萹為整數(shù)，所以/=4,a=8,,=—=2,&=2,a=2”，

[2=4[&=8,勿

O1一OnOXZ1一O8

A正確；$+2=———+2=2n+,,故數(shù)歹!j｛$+2｝是等比數(shù)列，B正確；&=—,/

1一幺1一2

=29—2=510,C正確；1ga?=lg2"=nlg2,易知數(shù)列｛lgaj不是公差為2的等差數(shù)列，

D錯(cuò)誤.故選ABC.

12.（2024?重慶育才中學(xué)調(diào)研）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)之積為北，且a〃

2&1,0〈a；?W1J

+i=11〃￡N*,則（AB）

一,取>1,

3，n

A.當(dāng)〃22時(shí)，0<aX2

B.當(dāng)g〈a《l時(shí)，北”=1

C.無論頊取何值，均存在46"使得4+〃=&對(duì)隨意的〃6”成立

D.無論為取何值，數(shù)列｛&｝中均存在與國相等的另一項(xiàng)

[解析]若a.e(0,1],則2+y(0,2],若a〉l,則“小(0,1),故a〃+ie(0,2],A

正確；力〈a1<1今&=2a￡(1,2)=1]今&=一￡(1,2)na=故有8〃+4Hn，

22dl)a\

11

若

--則--2

北〃=（。便2石3a）=1,2

4?

先按;，1,2的周期改變，其中沒有與&相等的項(xiàng)，故CD均不正確.故選AB.

三、填空題（本題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分）

13.（2024?四川成都雙流中學(xué)階段性檢測）已知等比數(shù)列｛aj滿意a+a3=10,az+a

=5,則｛4｝的刖〃項(xiàng)積&&&…a的取大值為64.

1

設(shè)等比數(shù)列⑸的公比為0則產(chǎn)安=/+a

［解析］2-

cL\氏

51""T12-

751=10,解得ai=8,.二囪〃2&…&=H?/+2+3+…+（〃-D=8〃.-----=23n~2=2~2n+2n.n

4n27-1

22

17

￡N*,「?當(dāng)〃=3或4時(shí)，一萬〃2+5〃取最大值，為6,「?（2/&…&）max=26=64.

14.（2024?江蘇南通二診）在等差數(shù)列｛d｝中，S為其前力項(xiàng)和，既>0,W=Si3,則S

取到最大值時(shí)，刀=8,9.

［解析］因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以可設(shè)S=4〃2+6〃（46為常數(shù)）.因?yàn)?>0,2=

S3,所以公差d<0,所以3=水0，所以對(duì)應(yīng)的拋物線y=Zx2+8x（x￡R）開口向

44-1317

下，對(duì)稱軸方程為尸方一=5.又匹N*,所以當(dāng)?shù)?8,9時(shí)，S取最大值.

15.記S為數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和，Sn=l—an,記北=&a+芻〃5H---1~曲2-1/底1,則北=

［解析］由題意有31=1—31,得為=￡.由S=1一品知當(dāng)?shù)?2時(shí)有$_1=1—27,兩式

o111

作差得上=5(欄2),故數(shù)列面｝是以5為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列,可得數(shù)列幅｝的通項(xiàng)

公式為a“一亍,

16.(2024?北京海淀區(qū)聯(lián)考)某空調(diào)制造廠用若干臺(tái)效率相同的機(jī)器組裝空調(diào).若全部

機(jī)器同時(shí)開動(dòng)，則需24小時(shí)完成某項(xiàng)任務(wù)；若一臺(tái)接一臺(tái)地開動(dòng)，每相鄰兩臺(tái)機(jī)器啟動(dòng)時(shí)

間間隔相同，那么到完成該項(xiàng)任務(wù)時(shí)，第一臺(tái)的工作時(shí)間是最終一臺(tái)的7倍，則其次種狀況

下最終一臺(tái)的工作時(shí)間是小時(shí).

［解析］設(shè)有n臺(tái)機(jī)器，每相鄰兩臺(tái)機(jī)器啟動(dòng)時(shí)間間隔為d小時(shí)，最終一臺(tái)工作時(shí)間為

r小時(shí)，依題意得，力+(〃-1)d=7力且〃力—d=24〃，化簡得(〃-l)d=6力且2力+

(//—1)4=48,解得2=6.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(2024?河北省級(jí)聯(lián)測)(本題滿分10分)已知等比數(shù)列｛aj中,&=1,且2a?是曷

和4al的等差中項(xiàng),數(shù)列伉｝滿意卜=1,用=13.且4—2原i.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛a+4｝的前n項(xiàng)和T?.

［解析］(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為g.

因?yàn)镾i=1,所以ai=a、q=q,a§=a\@=q.

因?yàn)?a2是as和4al的等差中項(xiàng)，所以4a2=a3+4a”

即4g="+4,解得<7=2.

所以a尸a\(T'=2"T.

(2)因?yàn)?+2+4=24+1所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，又6尸1,

13—1

益=13,所以公差d=^^=2.

故b”=2n—l.

1—2,"

所以7L=ai+&+az+&H----a?~\~b?=(ai+a?-|----1-a?)+bz-\----1-b^)=--+

i—z

l+2〃-1n?,,

——------=2〃+行一1.

18.(2024?福建莆田一中月考)(本題滿分12分)在“①a+1,a3-l,備一3成等比數(shù)

列，②S是as和a23的等差中項(xiàng)，③｛azj的前6項(xiàng)和是78”這三個(gè)條件任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面橫線上，并解答.

已知數(shù)列｛aj為公差大于1的等差數(shù)列，a?=3,前〃項(xiàng)和為S,且

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=2",Cn=anbn,求數(shù)歹U｛若的前人項(xiàng)和北.

注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［解析］(1)設(shè)｛a｝的公差為。

選條件①：由題意知(a-1)2=(01+1)(含一3),即("+2)2=(4—d)4d,

2

解得d=2或因?yàn)樾?,所以d=2,

5

所以區(qū)=3,2(z?—2)(7—3+2(7?-2)=2n—1.

選條件②：由題意知2W=&+d23,

(5x4\

則215為+―~—0=/+4+/+21%即10(/一審+20d=2&+224,解得d=2,

所以an=a2+(77—2)d=3+2(〃-2)=2刀一1.

6義5

選條件③：｛a2)的前6項(xiàng)和是78,即az+ai+a；+…+?2=6a2+一~一義2d=18+30d=

78,解得4=2,

所以an=a2+(/?—2)d=3+2(〃-2)=2〃-1.

(2)由(1)知a=(2〃-l)X2",

則方=1X21+3X22+5X2,H---F(2/7-1)X2",①

27；=1X22+3X23+5X24H----(2〃-3)X2"+(2〃-1)X2"+1,②

①一②得一北=2,+2----P2")-(2/7-1)X2"+1

221—977-1

=2+2X-~——-(2/7-1)X2"+1

1—N

=(—2〃+3)2田一6,③

所以北=(2〃-3)2升|+6.

19.(本題滿分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為Sn,滿意2S+1=2成+a〃(AeN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵已知對(duì)于隨意的〃eN*,不等式《----恒成立，求實(shí)數(shù)〃的最小值.

U>102U>3On

［解析］(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2功+1=2送+囪，又4>0,所以a=1.

2S+1=24+4(/?￡N*),

當(dāng)〃22時(shí)，2ST+1=2成—I+&TG;￡N*),

作差整理得1=2(a+a―1)(a—a-1),

因?yàn)閍>0,所以a+2―DO.

所以為一a—1=；(〃22).

故數(shù)列｛&｝為首項(xiàng)為1,公差為巳的等差數(shù)列，所以％=號(hào).

n刀+3

=

(2)由(1)知Sn

美-煮)

所以

114

從而+~c

023

r4

X1卜

K—1+[+■)+.”+3

<,1,1111、4(n1

X11+5+5—〃+「“+2—〃+3尸§*1^6-―〃+1一

市1—言11守22且1當(dāng)，〃一+8時(shí)工，M1+E1+&1+…+1m-豆22,

所以故"的最小值為

yy

20.(2024?遼寧大連二十四中等校聯(lián)考)(本題滿分12分)已知等差數(shù)列｛aj的公差為

正實(shí)數(shù)，滿意a=4,且a,as,as+4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛&>｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)數(shù)列｛&>｝的前〃項(xiàng)和為S,若氏=1,且________,求數(shù)列4｝的前〃項(xiàng)和北,

以下有兩個(gè)條件：①S=2〃一1,ndN；②S"=2b「\,〃GN*,從中選一個(gè)合適的條件，填

入上面橫線處，使得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，并依據(jù)題意解決問題.

［解析］(1)設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,d>0.

因?yàn)閍,ch,as+4成等比數(shù)列，

所以W=ai(as+4),即(4+2"2=4(4d+8),解得d=2,

所以a?=2n+2

(2)選①，S=2"—1,〃3*,

當(dāng)時(shí),bn=SLSn-\=2"一',

當(dāng)n=l時(shí)等式也成立，所以4=2〃T.

則4?瓦二(〃+1)?2",所以北=2X2+3X22+4X2-------5+1)?2°,

則27^=2X22+3X23T-----"2"+(A+L)?2°+1,

22x1-977-1

兩式相減得一7；=4+22+23H-----F2"—(〃+l)?2"+i=4+-----------------------—(〃+1)?2"

1—Z

+1=—〃?2〃+1所以Tn=n?*.

選②，Sn=2bn—1,〃￡N*,

當(dāng)〃22時(shí)，bn=Sn—Sn-i=2bn—2bn-i,所以bn=2bn-i,

所以數(shù)列｛4｝為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以

則&1?bn=(〃+1)?2",

以下步驟同選①.

21.(2024?山西太原期末)(本題滿分12分)已知數(shù)列｛a｝中，.31=2,力為+i—〃(刀+1)

=2