2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)【一輪復(fù)習(xí)講義】第37練 直線的傾斜角與斜率、直線的方程（基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第37練直線的傾斜角與斜率、直線的方程（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線瓜-y+l=0的傾斜角為（）

n「n八「5"

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.

【詳解】由已知得y=&+i,

故直線斜率左=6

由于傾斜的范圍是［0,P），

TT

則傾斜角為

故選:B.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M倒,6）,點(diǎn)N（l,2括），則直線MN的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.135°

【答案】B

【分析】先由皿。，司，川1,2@求斜率，再求傾斜角.

【詳解】設(shè)直線的斜率為k,則上=型力=6?令直線禰V的傾斜角為。，貝！JtanO=6,。＜夕＜兀，

1—0

：.e=~.

3

故選：B

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/的傾斜角為60，且/在y軸上的截距為-1，則直線/的方程為（）

A.y=-^-x-\B.y=-^-x+1

33

C.y=y/3x-lD.y=^x+\

【答案】C

【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜截式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)橹本€/的傾斜角為60，所以直線/的斜率k=tan60=#）,

又直線/在,軸上的截距為-1,所以直線/的方程為＞=瓜-1;

故選：C

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/:Ax+2y+C=0（A,8不同時(shí)為0）,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)8=0時(shí)，直線/總與x軸相交

B.當(dāng)C=0時(shí)，直線/經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。

C.當(dāng)A=C=0時(shí)，直線/是x軸所在直線

D.當(dāng)ABwO時(shí)，直線/不可能與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相交

【答案】D

【分析】根據(jù)直線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，直線/：Ar+By+C=O（A,B不同時(shí)為0）.

c

A選項(xiàng)，當(dāng)5=0時(shí)，AwO,直線方程可化為％=-二，

A

此時(shí)直線/總與X軸有交點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，當(dāng)C=0時(shí)，直線方程為―+冷=0,

此時(shí)直線,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，當(dāng)A=C=O時(shí)，BHO,直線方程可化為y=。，

此時(shí)直線1是x軸所在直線，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，當(dāng)A3H0時(shí)，如x-y+l=O,

直線/過(guò)點(diǎn)（-1,0）,（0,1）,即直線/與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/：后九》+（1-27〃*一2=0的傾斜角為等，則機(jī)=（）

13

A.-B.1C.-D.-1

32

【答案】A

【分析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.

【詳解】因?yàn)橹本€1的傾斜角為,，所以斜率％=tang=-石.

所以旦=_右，解得：機(jī)="

2m-l3

故選：A

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若一次函數(shù)y=-2尤+1所表示直線的傾斜角為a,則sin2a+cos2a的值為（）.

A.-B.--C.-D.--

5555

【答案】D

【分析】由題意可得tan0=-2,化簡(jiǎn)sin2a+cos?a=生學(xué)世代入計(jì)算.

tana+\

【詳解】y=-2尤+1的斜率為左=—2即tana=-2

._2sinacosa+cos2a2tana+13

sm2a+cos2a=------------------------=-------------=——

sincos1tana+\5

故選：D.

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線4：6x+y=0與直線4：米-y+l=。，若直線4與直線4的夾角是

60°,則上的值為（）

A.百或0B.-8或0

C.V3D.-y[3

【答案】A

【分析】先求出4的傾斜角為120。，再求出直線4的傾斜角為0?；?0。，直接求斜率k.

【詳解】直線小氐+y=0的斜率為勺=-6,所以傾斜角為120。.

要使直線《與直線4的夾角是60。，

只需直線4的傾斜角為0°或60°,

所以k的值為0或

故選：A

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)直線/的方程為x+ycos，+3=0（6eR）,則直線/的傾斜角a的取值范圍

是（）

A.[0,p）

「萬(wàn)3

C.

_4乙

【答案】C

IT1

【分析】當(dāng)腐=。時(shí)，可得傾斜角為萬(wàn)，當(dāng)8S”。時(shí)，由直線方程可得斜率一嬴^山即然后由

余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可

TT

【詳解】當(dāng)cos6=0時(shí)，方程變?yōu)閤+3=0,其傾斜角為5,

當(dāng)cosdw0時(shí)，由直線方程可得斜率左=-一二，

cos"

COS0G[-1,1]且COS。W0,

:.kG(-<x),-l]u[1,-Ke),即tanaG(-OO,-1]D[1,+OO),

又合￡[0,乃)，

TT37r

由上知，傾斜角的范圍是

故選：C.

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線/：公-y+l=0,點(diǎn)A(L-3),8(2,3),若直線/與線段AB有公共點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.I,1]B.T，I

C.(-<?,-^-]u[l+oo)

D.(-℃,-4]k_>[l+co)

【答案】A

【分析】若直線/與線段AB有公共點(diǎn)，由A、8在直線/的兩側(cè)(也可以點(diǎn)在直線上)，得/(I,-3)/(2,3)40

(/(x,y)=G-y+l)可得結(jié)論.

【詳解】若直線Z與線段A3有公共點(diǎn)，則A、B在直線/的兩側(cè)(也可以點(diǎn)在直線上).

^f(x,y)=ax-y+\,則有/(I,-3)/(2,3)<0,即(r+3+1)(2。-3+1),,0.

解得-4轟打1,

故選：A.

TT37r

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知直線的傾斜角的范圍是a€,則此直線的斜率左的取值范圍是

44

A.[-1,1]B.[-1,0)(0,1]

C.[-1,+<?)D.(-<?,-1]u[l,+<x>)

【答案】D

【分析】利用直線斜率的定義結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可計(jì)算作答.

【詳解】當(dāng)直線的傾斜角ax]時(shí)，直線的斜率左=tana,因ae手

TTTTTT

則當(dāng)?！闧—,—）時(shí)，tanaNl,即左之1,當(dāng)aw（一,—]時(shí)，tanaW-1,即左（一1,

4224

所以直線的斜率k的取值范圍是

故選:D

11.（2023?北京西城?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰O(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線尤+沖=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直

線如7-根+3=。交于點(diǎn)P（x,y）,則|酬+|尸理的取值范圍是

A.函,26B.[VF0,2A/5]C.[A/10,475]D.[2如,44]

【答案】B

【詳解】試題分析：易得解0,0）,8（1,3）.設(shè)易x,y）,則消去加得:_3y=0,所以點(diǎn)P在以AB為

直徑的圓上，PA±PB,所以pA|2+|PB|2=|AB|2=10,|PA|=V10sin0,\PB\=710cos6>,貝!J

陷+照=&^116>+風(fēng)36>=2氐皿。+》因?yàn)楦?gt;0,附>0,所以0W6?q.所以

#4sin（0+：）41,而引必+|即42百.選B.

法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以R4_LPB,點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.

二、多選題

12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線xsina+ycos（z+l=0（aeR）,則下列命題正確的是（）

A.直線的傾斜角是乃-a

B.無(wú)論a如何變化,直線不過(guò)原點(diǎn)

C.直線的斜率一定存在

D.當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1

【答案】BD

【分析】根據(jù)直線方程考慮a的值，當(dāng)取夕上午時(shí)，顯然選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將原點(diǎn)代入直線方程；可知選項(xiàng)B

正確，當(dāng)cosa=0時(shí)選項(xiàng)C錯(cuò)誤；求出直線和兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出面積范圍即可判斷選項(xiàng)D正誤.

【詳解】解:由題知，直線xsina+ycosa+l=0（aeR）,

若a=2兀，則直線為>=-1,

傾斜角為0,與選項(xiàng)A不符,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

將原點(diǎn)（0,0）代入直線方程可得1=0不符，故選項(xiàng)B正確，

若a=］+eZ,則直線為x=±l，斜率不存在，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，交點(diǎn)為（。,-一二］1—-1-,。］,。."水"

Icosaj\sincrJ2

它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為彳--:=〈:=?.；?,

2cosasina2cosasmasin2a\

Isin2a\G（0,1］,..1,>1,

|sin2a\

故選項(xiàng)D正確，

故選:BD

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知3vl,直線/的方程為％-為+1=。，則直線/的傾斜角可能為（）

,八c?！ㄘ?6兀

A.0B.一C.一D.—

727

【答案】CD

【分析】對(duì)8分類討論結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即得.

【詳解】當(dāng)3<0時(shí)，則直線的斜率為％=《<。，所以直線的傾斜角可能為整，

D7

當(dāng)3=0時(shí)，則直線的斜率不存在，所以直線的傾斜角為

當(dāng)0<3<1時(shí)，則直線的斜率為左=1>1,所以直線的傾斜角范圍為1馬，不可能為0和J.

D乙）7

故選：CD.

三、填空題

14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若某直線經(jīng)過(guò)A（百，-1）,2（1,2-君）兩點(diǎn)，則此直線的傾斜角為.

【答案】120。

【分析】利用斜率公式求得斜率，進(jìn)而得到傾斜角.

2-指+1

【詳解】直線的斜率Z==-石=tana,

1—5/3

故傾斜角a=120。,

故答案為：120。.

15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線/的斜率為上傾斜角為a,而ad*"」則上的取值范

圍是.

【答案】［-73,0）

【解析】由直線傾斜角的范圍再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可求出k的取值范圍.

【詳解】當(dāng)2女<￡時(shí)，立Wtanavl,即且會(huì)<1；

6433

2%

當(dāng)『Wavjr時(shí)，-5/^Wtana<0,BP-5/3<k<0.

故答案為：卜6,。）.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角與斜率，解決本題的關(guān)鍵是直線傾斜角的正切值為直線的斜率.

16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（2,-退），并且它的傾斜角等于直線>犬的傾斜角的

2倍,則這條直線的一般式方程是.

【答案】瓜-y-36=0

【解析】設(shè)直線>=左》的傾斜角為a,則所求直線的傾斜角為2a,求出求直線的斜率為tan2?,利用點(diǎn)

斜式求出直線方程，化為一般式即可.

【詳解】設(shè)直線>=5尤的傾斜角為a,則所求直線的傾斜角為2a,

由tana=-J==—,且OWcrW/r,所以a=&,

636

即所求直線的斜率為tan2a=tan。6，

又該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-百），

故所求直線方程為：y+6=6（x-2）,即后-y-3有=0.

故答案為：yfix-=0.

17.（2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)校考三模）若直線y=3x的傾斜角為理則sin2a的值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)直線斜率為傾斜角的正切值，結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.

【詳解】由題可知，tan6Z=3,6ze[O,^）,

e.八八.2sincrcos6Z2tan?2x363

貝!Jsin2a=2sin（7cosa=——--------5—=——5-----=——=——=一.

sina+cosatana+\3+1105

故答案為：I3

18.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）直線4：了-1=0和直線小瓜-y=0的夾角大小是

【答案】m

6

【分析】由題意分別求出兩條直線的傾斜角，即可得答案.

【詳解】直線4：x-l=0的傾斜角為會(huì)，

直線小島-y=0的斜率為由，傾斜角為?，

直線4：x-i=o和直線&：辰—y=o的夾角大小為=：

故答案為：Y.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角和斜率，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線“無(wú)+丫-1=0與連接4（2,3）,8（-3,2）的線段總有公共點(diǎn)，貝匹的取值

范圍是

【答案】$+"

【分析】畫出圖形，由圖可得，要使直線與線段A3總有公共點(diǎn)，需滿足-。2左小或一⑥B，從而可求得

答案

【詳解】得直線依+廣1=。的斜率為一。，且過(guò)定點(diǎn)P（O,I）,

則由圖可得，要使直線與線段總有公共點(diǎn)，需滿足-此3或

.,.。4一1或〃2;.

20.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知當(dāng)工成同時(shí)，函數(shù)〃x）=如-1的圖象與g（x）=?的圖象有且只有一

個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象即可求解結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/（幻=，"-1過(guò)定點(diǎn)

如圖：

結(jié)合圖象可得：％AC歿M%A3，

即20轟如上上=幼弧2,

4-01-04

3

故答案為：12].

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知直線4的斜率為-0，直線4的傾斜角為直線《的傾斜角的一半，則直

線4的斜率為（）

A.-BB.-3C.百D.不存在

32

【答案】C

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切的二倍角公式，可得答案.

【詳解】由直線乙的斜率為-石，設(shè)其傾斜角為4,貝！|tana=-6,

由直線4的傾斜角為直線4的傾斜角的一半，設(shè)直線4的傾斜角為％，貝！12%=4,

tan4=tan2%=：；%j=-6（Gtanq+l）（tan%-⑹=0,解得tan-*或百，由傾斜角的取值

范圍為［O，P）,貝!Jtana=g,

故直線4的斜率為右.

故選：C.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線六。5。+*皿。=0,。€［0,充］的斜率的取值范圍為（）

A.（-00,73）B.（2,+co）C.（-瓜拒）D.（-8,2）

【答案】A

【分析】將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程，根據(jù)。的范圍求出tan。的范圍，進(jìn)而求出二范

tan。

圍即可求解.

【詳解】當(dāng)cos8=0時(shí)，直線xcose+ysine=0的斜率為％=0,

因?yàn)?<<9（"，所以cosOwO時(shí),tan6<-走或tan6>0,

63

由xcos。+ysin。=0,得y=一%=-----i—%,

sin0tan0

當(dāng)cos8W0即———w0時(shí),直線Xcose+ysin8=0的斜率為k=———.

tan。tan。

因?yàn)?<。<型，所以tand<-且或tan6>0,即一一^<0或一一二<6.

所以直線尤cosd+ysin6=0的斜率的取值范圍為（-8,0萬(wàn)（0,6）.

綜上所述，直線xcos夕+ysin〃=0的斜率的取值范圍為卜叫班）.

故選：A.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線京-丫+4T=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最

小，則直線的方程為（）

A.x-2y-7=0B.x-2y+l=0C.2%+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】c

【分析】由題意可知，k<0,求出直線依-y+4T=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（0,4-左），再由均

值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直線方程.

【詳解】直線區(qū)-y+4-欠=0可變?yōu)?）—y+4=0,所以過(guò)定點(diǎn)P（l,4）,又因?yàn)橹本€依-y+4T=0在兩

坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知左<0,

令x=0,y=4d,所以直線與y軸的交點(diǎn)為4(0,4-左)，

令y=0,X=l所以直線與X軸的交點(diǎn)為

所以4_4+1_：=5+(_1)+]_1)25+2/(_左)1_1]=5+4=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)此=-？即左=-2時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：2x+y-6=0.

k

故選：C.

4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))若過(guò)點(diǎn)P(l—a,1+a)和。(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(-2,1)B.(-1,2)

C.(-00,0)D.(-00,-2)U(1,+oo)

【答案】A

【詳解】???過(guò)點(diǎn)尸(1-a,1+。)和。(3,2d)的直線的傾斜角為鈍角

.?.直線的斜率小于0,即？丁-1<0.

：?(a—1)(Q+2)<0

??-2vav1

故選A.

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若過(guò)點(diǎn)尸(T0)的直線與以點(diǎn)4(1,2),2(-2,6)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的

傾斜角取值范圍為()

兀2兀]「〃"〃■[「八〃"[「2%、「八7i2?

A.B.C.0,-u—，^D.0,-U

143」143」L4jL3)4」(23」

【答案】A

【分析】先在直角坐標(biāo)系中作出產(chǎn),48三點(diǎn)，再求出尸4尸8的斜率，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的傾斜角，結(jié)合圖象可

知直線的傾斜角的取值范圍.

【詳解】如圖所示，設(shè)外的傾斜角為a,依的傾斜角為4，則所求直線的傾斜角的取值范圍為[氏四，

易得tana=kPA=-~—=1,tan(3=kPB=——=-A/3，

1+1—2+1

TT

又因?yàn)镺Wa,0〈,<萬(wàn)，所以&=[,￡=子QTT，

TT917

所以所求直線的傾斜角的取值范圍為--y

故選：A.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若0<]<（則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0,cosa）,4（sina,0）的直線的傾斜角為（

A.aB-A。C.兀一口D..a

【答案】B

【分析】先利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率，再利用誘導(dǎo)公式驗(yàn)證各選項(xiàng).

0-coscrcosa

【詳解】由題意，得該直線的斜率為左=，M0<a<—,

sina-0sina2

.,71、

sm（—+cr）

L/兀\、2_cosacosa

且tan（一+戊）=

28s（〉a）ri11。sin?

sin（?！猘）_sinasina

tan（7t-cr）=

COS（7l-6Z）-COS6ZCOS6Z

sin（-cr）-sinasin。

tan（-a）=

cos（-cif）cos。coscr

所以該直線的傾斜角為]+匹

故選:B.

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)〃zeR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線的->-%+3=0

相交于點(diǎn)P（P與AB不重合），貝『RIB面積的最大值是（）

A.V10B.5C.2A/5D-1

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合直線位置關(guān)系的判斷可得兩直線互相垂直,由直線過(guò)定點(diǎn)可得定點(diǎn)A與定點(diǎn)8,進(jìn)而

可得「耳2=|^|2=10,再利用基本不等式及三角形面積公式即得.

【詳解】由題意直線尤+72=0過(guò)定點(diǎn)A?。），

直線g-y—m+3=0可變?yōu)楦o(wú)一l）—y+3=0,所以該直線過(guò)定點(diǎn)3（1,3）,

所以|裕『=產(chǎn)+32=10,

J^lxm+mx（-l）=0,

所以直線x+沖=。與直線的-y-〃+3=o互相垂直，

所以|到?+|尸砰=|AB『=i0,

所以10=|尸&「+|尸砰22|上4H尸卻即|胡忖用<5,

當(dāng)且僅當(dāng)|/訓(xùn)=歸目=々時(shí)取等號(hào),

所以，SPAB=||PA|.|PB|<|,即..RW面積的最大值是,

故選：D.

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知。，b,c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，直線法-ay+c=0恒過(guò)定點(diǎn)A,且A在

12

直線如+犯+4=0上，其中機(jī)〃>0,則---；+一的最小值為（）

m+1n

24

A.-B.-C.2D.4

33

【答案】B

【分析】先由等差數(shù)列求得a+c=力，再由法-沖+。=。求出定點(diǎn)A坐標(biāo)，代入直線"式+”>+4=0得

121（12、

2根+〃=4,由^+—=2[2（m+1）+〃]-----;+—結(jié)合基本不等式即可求解.

m+1n6L」（加+1n）

、=0

【詳解】易知a+c=26,貝！I空x-ay+c=0,整理得。佶-/|+/彳+力=0,由「解得「二：

212J12J2+1=0〔》=-1

,2

貝（）A（—2,—1）,貝!j—2相一〃+4=0,即2根+〃=4,又mn>0,貝!|相>0,〃>0,

川仁.史亙

E12Inz--1（12]14+24

則。+/正（"+】）+〃]=!+574+------

m+16Vm+1n3

n4（m+l）f1

____1___Lm=—i94

當(dāng)且僅當(dāng)加+1=-n即2時(shí)取等,故+±的最小值為

m+1n3

2m+n=4[n=3

故選：B.

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線區(qū)-丁-左+2=。與直線工+外—2左—3=0交于點(diǎn)兒則尸到坐標(biāo)原點(diǎn)距

離的最大值為()

A.2拒B.2A/2+1C.2A/3D.26+1

【答案】B

【分析】?jī)芍本€均過(guò)定點(diǎn)且垂直，則交點(diǎn)P在以兩定點(diǎn)為直徑的圓上，由數(shù)形結(jié)合可求最值.

【詳解】?jī)芍本€滿足％/+(-1)?左=0,所以兩直線垂直，

由依一丫一左+2=0得1)—y+2=0,過(guò)定點(diǎn)4(1,2),

由x+外一2左一3=。得》-3+(>-2伙=0,過(guò)定點(diǎn)8(3,2),

故交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上，其中C(2,2),如圖所示，

則線段OP的最大值為|OC|+1=2夜+1.

故選:B.

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線/過(guò)點(diǎn)M(l,3),且分別交兩直線'=匕丁=-x于無(wú)軸上方的兩

點(diǎn)，。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為()

A.8B.9C.3A/10D.20

【答案】A

【分析】判斷直線斜率存在并設(shè)直線1的方程為y-3=Z(x-l),求出A3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出三角形的

面積，并化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意知直線1的斜率一定存在，斜率設(shè)為k,則直線1的方程為y-3=左5-1),

分別與y=%y=-x聯(lián)立可得A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)：匕=三，無(wú)B=片，

1一kK+1

X3-kk-3

故SMOB=2,亞\A\'V2|xg|=\xAXB\=，A3兩點(diǎn)都在x軸的上方,

1-kk+1

故一1＜左＜1,

=宜￡土%」1+處0].「2+^^=4+也二0+出＞4+2旺瓦亙=8

^OBk+11-kI/k+1JLl-k\k+1l-k~Nk+11-k

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)二，=巖，即左=：時(shí)等號(hào)成立，

4+1l-^3

故_AOB面積的最小值為8,

故選:A.

11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線乙：尤-2y-2=0的傾斜角為凡直線)的傾斜角為26,且直線)在

》軸上的截距為3,則直線4的一般式方程為()

A.x+y—3=0B.4%—3y+9=0C.3%—4y+3=0D.2x+y—3=0

【答案】B

【分析】根據(jù)正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.

【詳解】解：???直線4：尤-2〉-2=0的傾斜角為巴斜率為:，.?.tane=1，

???直線4的傾斜角為26,斜率為tan2，=」tan。金,

1-tan63

?,"z的方程為即4尤一3＞+9=0.

故選：B.

二、多選題

12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))直線/過(guò)點(diǎn)P(L3)且斜率為公若直線/與線段A3有公共點(diǎn)，A(-l,-4),5(2-3),

貝U上可以取()

A.-8B.-5C.3D.4

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，做出圖形，分析直線斜率可知上2MA，左V心"，再利用斜率公式求解%M，怎B即可.

7

【詳解】解：由于直線1過(guò)點(diǎn)尸（L3）且斜率為k,與連接兩點(diǎn)A（T-4）,以2,-3）的線段有公共點(diǎn)，則

kPB=-6,由圖可知，

時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)，可知AD符合.

故選：AD.

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線過(guò)點(diǎn)A。,2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線/方程可能

為（）

A.x—y+l=0B.x+y-3=0

C.2x-y=QD.x-y—l=0

【答案】ABC

【分析】討論直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)和直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的直線方程即可.

【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為左=咨=2,所求的直線方程為y=2x,即2x-y=0；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x±y=k,把點(diǎn)A（1,2）代入可得L2=k,或l+2=k,

求得k=-L或k=3,故所求的直線方程為x-y+1=0,或x+y-3=0；

綜上知，所求的直線方程為"7=0、x-y+l=0,或x+y_3=0.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用分類討論思想求直線方程的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知直線/:履-2y-4左+1=0,則下列表述正確的是（）

A.當(dāng)k=2時(shí)，直線的傾斜角為45

B.當(dāng)實(shí)數(shù)上變化時(shí)，直線/恒過(guò)點(diǎn)（4,gj

C.當(dāng)直線/與直線尤+2y-4=0平行時(shí)，則兩條直線的距離為1

D.直線/與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，可求出直線斜率，即可判斷選項(xiàng)正誤；

B選項(xiàng)，將直線方程整理為左0-4)+1-2、=0,由此可得直線所過(guò)定點(diǎn)；

C選項(xiàng)，由題可得發(fā)=-1,后由平行直線距離公式可判斷選項(xiàng)；

D選項(xiàng)，分別令x，y=o,可得直線與y軸，x軸交點(diǎn)為(。，上產(chǎn))，口-：，。;

11-4^(1\

則圍成三角形面積為彳?——?4--,后由基本不等式可判斷選項(xiàng).

22(k)

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)％=2時(shí)，直線方程為2x-2y-7=0,可得直線斜率為1,則傾斜角為45,故A正確;

B選項(xiàng)，由題可得上0-4)+1-2?=0,則直線過(guò)定點(diǎn)故B正確；

[2k^-2

C選項(xiàng)，因直線/與直線x+2y-4=。平行，貝！]°nk=-T,則直線方程為：-x-2>+5=0,

[一8左+2。8

即x+2y—5=0.貝()/與直線x+2y—4=0之間的距離為

1-4+5|1石

L=當(dāng)，故C錯(cuò)誤；

V12+225

1-4k

D選項(xiàng)，分別令X，y=o,可得直線與y軸，X軸交點(diǎn)為0,

2

7

又交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸正半軸，貝!1=>左<0.故圍成三角形面積為

4-->0

1k

|'三",I,一[=2+(—伏)+：\2+2卜k).圭=4,當(dāng)且僅當(dāng)

-4^=4-,即左=-9時(shí)取等號(hào).即面積最小值為4,故D正確.

_4k4

故選：ABD.

15.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)和(2,3),則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

B.直線/的斜率為1

原點(diǎn)到直線/的距離為正

C.

2

D.直線/的一個(gè)方向向量為〃=14

【答案】BC

【分析】由直線1經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以求出直線的斜率、直線的方程，利用直線的方程判斷選項(xiàng)的正誤.

【詳解】直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（L2）和（2,3）,所以直線的斜率左=.=1,故B正確；

2—1

易得直線的方程為y-2=lx（x-l）,即x_y+l=O,

令X=O,得y=i,即縱截距為1,令y=o,得X=-1,即橫截距為-1,故A錯(cuò)誤;

原點(diǎn)到直線I的距離4=7^="

故C正確;

A/1+I2

]_

因?yàn)樘?hào)=-1/1,所以〃=不是直線1的一個(gè)方向向量，故D錯(cuò)誤；

~2

故選：BC.

16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線/的方程為：x=my+l,則（）

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）

B.直線/斜率必定存在

C.根=四時(shí)直線/的傾斜角為60

D.m=2時(shí)直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為!

【答案】AD

【分析】利用直線系方程可判斷A,判斷直線的斜率可判斷B,求直線的傾斜角可判斷C,求解三角形的

面積可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由直線方程知：恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）,故正確；

對(duì)于B,當(dāng)機(jī)=0時(shí)x=l,直線斜率不存在，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,帆=百時(shí)有（尤-1）,設(shè)傾斜角為0,即tan8=],則傾斜角為。=《，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,m=2時(shí)，直線/:x=2y+l,則x、y軸交點(diǎn)分別為（I,。）,（。,-',所以直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三

角形面積為《xlx[=]，故正確；故選：AD.

224

17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)直線/的方程為（a+l）x+y+2-a=0（aeR）.下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，/不經(jīng)過(guò)第二象限

B.直線恒過(guò)定點(diǎn)（1,3）

C.不論。為何值，直線恒過(guò)第四象限

D.直線的傾斜角不可能是90°

【答案】ACD

【分析】將直線1變形為斜截式，由1不經(jīng)過(guò)第二象限，列出關(guān)于a的不等關(guān)系，求解即可判斷選項(xiàng)A,將

點(diǎn)代入方程即可判斷選項(xiàng)B,由直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,3),即可判斷選項(xiàng)C,由斜率與傾斜角的關(guān)系，即可判斷

選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,將1的方程化為，=-(。+1K+。-2,欲使1不經(jīng)過(guò)第二象限，

當(dāng)且僅當(dāng)[-(?。+二1)>0或[-(a.+二1)=0成立，所以故A正確；

[a-2<0[a-2<0

對(duì)于B,點(diǎn)(1,3)代入直線方程不成立，B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)橹本€恒過(guò)第四象限內(nèi)的點(diǎn)(1,-3),所以不論a為何值，直線恒過(guò)第四象限，C正確；

對(duì)于D,直線的斜率始終存在，為-(“+1),所以傾斜角不可能等于90。，D正確.

故選：ACD

三、填空題

18.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若直線/：>=-(。+1)%+“-2不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(f,T]

【分析】根據(jù)直線的斜率和在y軸上的截距建立不等式組求解即可.

【詳解】由直線不過(guò)第二象限需滿足

解得a<-l,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(e，TL

故答案為：(e，T]

19.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0),B(-3,4)兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則NAO3

的平分線所在直線的方程為.

【答案】y=2x

【分析】設(shè)NAO3的平分線的傾斜角為。，根據(jù)斜率公式結(jié)合^tan20可得tan。，由夕的范圍即可求解.

【詳解】由題意，可設(shè)/AC?的平分線的傾斜角為，，如圖，

4口口2tan84

則tan2。=k=即-----廠=——

0Bl-tan26^3

1jr

貝!）1311。=2或一1，又0＜2。＜兀，故0＜。＜5,

故后=tan，=2,

故ZAOB的平分線所在直線的方程為y=2x,

故答案為：y=2x

20.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸（2,1）作直線,分別交x軸、》軸的正半軸于A、8兩點(diǎn)，則使1PAi-IPBI

的值最小時(shí)直線/的方程為.

【答案】x+y-3=0

【分析】利用三角函數(shù)的定義求得1PAi，1尸洌關(guān)于。的表示，再利用倍角公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】如圖所示：設(shè)N54O=，，0。＜6＜90。，

/.|PA|-|FB|=-----------=------,

1111sin/cos。sin2(9

.?.26=90°,即2=45°時(shí),1叢1"依1取最小值,

此時(shí)，直線的傾斜角為135。，斜率為-1,

二直線的方程為y-l=-l（x-2）,即無(wú)+y_3=0.

故答案為：x+y-3=0.

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線4：y=Mx-4）與直線4關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，則直線4恒過(guò)定點(diǎn)

【答案】（0,2）

【分析】根據(jù)直線4：4）恒過(guò)定點(diǎn)，求其關(guān)于點(diǎn)（2,1）的對(duì)稱點(diǎn)，即可求解.

【詳解】因?yàn)?：y=Mx-4)過(guò)定點(diǎn)(4,0),

而(4,0)關(guān)于點(diǎn)(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)為(0,2),

又直線4:y=k(x-4)與直線12關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,

所以直線4恒過(guò)定點(diǎn)(。，2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線系過(guò)定點(diǎn)，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，屬于中檔題.

22.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))直線/過(guò)點(diǎn)P(1,4),分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點(diǎn)A,8兩點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|。川+|。邳最小時(shí)，/的方程為.

【答案】2x+y-6=0

【分析】由題意知直線斜率存在，設(shè)直線/的方程為V-4=/-1)求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)計(jì)算儂+匹，由均

值不等式求最值.

【詳解】經(jīng)檢驗(yàn)直線/的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線/的斜率為爪左＜0),

則直線I的方程為4=Mx-1),

4

令y=0得，令x=0得8(0,4-%),

貝1||。4+[0卻=(1_3)+(4_幻=5_(左+3=5+(-后+&)25+4=9,

kk—k

4

當(dāng)且僅當(dāng)一％=耳，即左=-2時(shí)，3+3|取得最小值.

此時(shí)/的方程為2x+y-6=0.

故答案為：2x+y-6=0

23.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))直線x+ycos"5=0的傾斜角a的取值范圍是.

兀371

【答案】一,----

44