中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識10

中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問匯總

預(yù)備學(xué)問：

1.完全平方和(差)公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

3.立方和(差)公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

第一章集合

1.構(gòu)成集合的元素必需滿意三要素：確定性、互異性、無序性。

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖像法(文氏圖)。

3.常用數(shù)集：N(自然數(shù)集)、Z(整數(shù)集)、Q(有理數(shù)集)、R(實(shí)數(shù)集)、N+(正整數(shù)集)

4.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系：

(1)元素與集合是“6”與“召’的關(guān)系。

(2)集合與集合是“1”"”“=”“J”的關(guān)系。

注：(1)空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。(做題時多考慮中是否滿意題意)

(2)一個集合含有n個元素，則它的子集有2n個，真子集有2%1個，非空真子集有2n-2個。

5.集合的基本運(yùn)算(用描述法表示的集合的運(yùn)算盡量用畫數(shù)軸的方法)

(1)Al5={%1矛撾40才B}-.A與8的公共元素組成的集合

(2)/I^={xlx撾4取B}：A與8的全部元素組成的集合(相同元素只寫一次)。

(3)CVA：。中元素去掉A中元素剩下的元素組成的集合。

注：的(/B)=CuA、qBQ(XiB}=CVA\CVB

6.會用文氏圖表示相應(yīng)的集合，會將相應(yīng)的集合畫在文氏圖上。

7.充分必要條件:p是9的……條件p是條件，“是結(jié)論

假如pnq,那么p是q的充分條件;q是p的必要條件.

假如p=q,那么p是q的充要條件

第二章不等式

1.不等式的基本性質(zhì)：(略)

注：(1)比較兩個實(shí)數(shù)的大小一般用比較差的方法；另外還可以用平方法、倒數(shù)法。

(2)不等式兩邊同時乘以負(fù)數(shù)要變號??！

(3)同向的不等式可以相加(不能相減)，同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：

(1)a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=沙時，等號成立。

(2)a+b>24ab(a,be7?+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。(3)

注：”2(算術(shù)平均數(shù))>4ab(幾何平均數(shù))

2

3.一元一次不等式的解法(略)

4.一元二次不等式的解法

(1)保證二次項(xiàng)系數(shù)為正

(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法)，目的是求根：

(3)定解：(口訣)大于取兩邊，小于取中間。

5.確定值不等式的解法

\x\<a-a<x<a

若a>0,則<一

|x|>a<=>x>aSJu<-a

分式不等式的解法：與二次不等式的解法相同。注：分母不能為0.

第三章函數(shù)

1.函數(shù)

(1)定義：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集,假如根據(jù)某種對應(yīng)法則/,對A內(nèi)任一個元素x,在B中總有一個且只

有一個值y與它對應(yīng),則稱f是集合A到B的函數(shù),可記為：f:A/B,或/:x-y.其中A叫做函數(shù)/的定義域.函

數(shù)/在1的函數(shù)值，記作/①)，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合C(CUB),叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、解析法。

注：在解函數(shù)題時可以畫出圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使大部分題目變得更簡潔。

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

(1)定義域的求法：使函數(shù)(的解析式)有意義的X的取值范圍

主要依據(jù)：①分母不能為0,②偶次根式的被開方式20,

③特殊函數(shù)定義域：y=x°,xw0y=>0且aw1),尤wR

y=log&x,{a>0且a1),x>0

(2)值域的求法：y的取值范圍

①正比例函數(shù)：y=kx和一次函數(shù)：y=Zx+6的值域?yàn)镽

②二次函數(shù)：y=a/的值域求法：配方法。假如工的取值范圍不是R則還需畫圖像

③反比例函數(shù)：y=■的值域?yàn)閧yIyw0}

x

④另求值域的方法：換元法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性等等。

(3)解析式求法：在求函數(shù)解析式時可用換元法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法等。

3.函數(shù)圖像的變換

(1)平移

、向左平移、〃、向右平移〃、

向上平移向下平移

y=f(x)“y=f(x)+ay=/a)>y=f(x)-a

a個單位a個單位

(2)翻折

沿X軸=保留x軸上方圖像

y=/(x)-y=一/(x)3一，“下方翻折到上方fy="(x)I

上、下對折

4.函數(shù)的奇偶性

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

⑵若/(T)=—奇若/(—X)=/(X)f偶

注：①若奇函數(shù)在x=0處有意義，則/(0)=0

②常值函數(shù)/(x)=a(a/0)為偶函數(shù)

③/(%)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

5.函數(shù)的單調(diào)性

r什[/(七)</(%2),稱/Xx)在句上為增函數(shù)

增函數(shù)：尤值越大，函數(shù)值越大；X值越小，函數(shù)值越小。

減函數(shù)：尤值越大，函數(shù)值反而越??；％值越小，函數(shù)值反而越大。

6.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)的三種解析式

①一般式：/(x)=ax1+Z?x+c(QWO)

②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-k)2+h(QWO),其中(左,力)為頂點(diǎn)

③兩根式：/(x)=a(x-)(x-x2)(QWO),其中%i、%是/(無)=O的兩根

(2)圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì)：

①開口Q>0f開口向上avOf開口向下

2

-I…bp一工_/b4ac-bx

②對稱軸：x=----頂點(diǎn)坐標(biāo)：(----,---------)

2a2a4a

[△>o.有兩交點(diǎn)1+丫__2

③A與x軸的交點(diǎn)：｛A=0一有佼點(diǎn)④根與系數(shù)的關(guān)系：(韋達(dá)定理)':

A<0一無交點(diǎn)x-x=-

I1xa2

⑤/(x)=ax2+6x+c為偶函數(shù)的充要條件為b=0

⑥二次函數(shù)(二次函數(shù)恒大(小)于0)

/(x)〉0=<">°o圖像位于x軸上方/(x)<0o<“<°o圖像位于x軸下方

A<0A<0

⑦若二次函數(shù)對隨意X都有f(t-x)=f(t+x),則其對稱軸是尤=/。

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)幕的性質(zhì)與運(yùn)算

(1)根式的性質(zhì)：

①〃為隨意正整數(shù)，(折)”=a②當(dāng)〃為奇數(shù)時，廂=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，而=|。|

③零的任何正整數(shù)次方根為零；負(fù)數(shù)沒有偶次方根。

(2)零次癌：a°=1(awO)

(3)負(fù)數(shù)指數(shù)幕：。一"=」-(a"nwN*)

an

m____

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"=也"(a>0,m,iteN+Kn>1)

(5)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則：(a>0,m,n&R)

①d""=產(chǎn)"②("")"=優(yōu)""③(a-b)"=a"-b"

2.累運(yùn)算時，留意將小數(shù)指數(shù)、根式都統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)；一般將每個數(shù)都化為最小的一個數(shù)的〃次方。

一十珈/當(dāng)?！?時，y=x"在(0,+s)上單調(diào)遞增

當(dāng)a<0時，y=x"在(0,+co)上單調(diào)遞減

b

4.指數(shù)與對數(shù)的互化：a=N^logaN=b(a>0且awl)、(N〉0)

N

5.對數(shù)基本性質(zhì)：①log“a=1②log.1=0③a'陶N=N?yo^aa=N

⑤log”。與10gzla互為倒數(shù)olog”人log,a=1<=>log”b=--—

logba

ri

⑥logZ?"=-log/

m

6.對數(shù)的基本運(yùn)算：

M

logfl(M-N)=log0M+logaNlog0—=logflM—log“N

lgN

7.換底公式：log“N=O——(人>0且6工1)

log/,a

8.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

定

y=優(yōu)(〃〉0,。w1的常數(shù))y=log”x（a>0,awl的常數(shù)）

義

圖

像汽

24X

(1)xe7?,y>0(1)x>0,yR

性

(2)圖像經(jīng)過(0,1)點(diǎn)⑵圖像經(jīng)過(1,0)點(diǎn)

質(zhì)

⑶a>l,y=優(yōu)在R上為增函數(shù)；⑶。>l,y=logax在(0,+co)上為增函數(shù)；

0<。<1,丫=優(yōu)在尺上為減函數(shù)。0<a<1,y=log。x在(0,+co)上為減函數(shù)

9.利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小，將其變?yōu)橥住⑼?次)或用換底公式或是利用

中間值0,1來過渡。

10.指數(shù)方程和對數(shù)方程：①指數(shù)式和對數(shù)式互化②同底法③換元法④取對數(shù)法

注：解完方程要記得驗(yàn)證根是否是增根，是否失根。

第五章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個常數(shù)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為同一個常數(shù)

定

a2々2=>?,=a〃a〃一］=d&=旦==2=q(行0)

%Cl?^n-\

義

注：當(dāng)公差d=0時，數(shù)列為常數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)及公比均不能為0;

當(dāng)公比為1時，數(shù)列為常數(shù)列

通項(xiàng)n—1

%=%+(幾一l)da〃=aq

公式x

an—am(1)q"-m=2

推\17C片l—一

n-m

a1n

論

(2)=a加+(n-m)d⑵

(3)若根+〃=p+q,則〃根(3)若加+〃=〃+.,則

中項(xiàng)三個數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則有三個數(shù)Q、b、。成等比數(shù)列，則有

公式74+C

2b=a+c=b=-----b2=ac

2

前n

q(l—4")-a?q

項(xiàng)和3“二=(qW1)

〃221-q1-q

公式

I.已知前〃項(xiàng)和s“的解析式，求通項(xiàng)明

a=j5(〃=1)

(〃22)

2.弄懂等差、等比數(shù)通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的證明方法。(見教材)

第六章三角函數(shù)

1.弧度和角度的互換

JT1弧度=（圖）°

180"=乃弧度1。=一弧度a0.01745弧度?57°18'

18071

2.扇形弧長公式和面積公式

￡局1r1112

§二1。1TS身（記憶法：與5AABe類似）

3.隨意三角函數(shù)的定義：

sina=售上鄰邊X對邊y

cosa=—二一tana=

斜邊r斜邊r鄰邊X

4.特殊三角函數(shù)值

a0=0°-=30°工=45°-=60°-=90°

6432

VoVfV3v?

sina~T~2~T~T~T

V3“Vo

cosa■\l~4

~T~T~2~T

73

tana0i不存在

V

5.三角函數(shù)的符號判定

（1）口訣：一全二正弦，三切四余弦。（三角函數(shù)中為正的，其余的為負(fù)）

（2）圖像記憶法

6.三角函數(shù)基本公式

sinry

tana=-------（可用于化簡、證明等）

cosa

sin2or+cos2a=l（可用于已知sina求cosa；或者反過來運(yùn)用）

7.誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限。

JT

說明：指h,+a（左￡Z）,若左為奇數(shù)，則函數(shù)名要變更，若左為偶數(shù)函數(shù)名不變。

7.已知三角函數(shù)值求角。：

（1）確定角。所在的象限;（2）求出函數(shù)值的確定值對應(yīng)的銳角（3）寫出滿意條件的。?2?的角；（4）加上周期（同

終邊的角的集合）

8.和角、倍角公式

⑴和角公式：sin（a±/?）=sinacosA±cosasin分留意正負(fù)號相同

cos@±/?）=cosacos/?=psinasin/?留意正負(fù)號相反

/1八、tancir±tan/?

tan（6Z±/3）=----------------

1+tanatan0

（2）二倍角公式：sin=2sinacosecos2a=cos2a-sin2a—2cos2a-1=1-2sin2a

a

⑶半角公式:cos-=±

2

9.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

性質(zhì)

函數(shù)圖像

定義域值域同期奇偶性單調(diào)性

J[2^--,2^+-]T

22

T=271：

y=sinxxeR[-1,1]奇

12k兀+—2k兀+—]J

22

-V

J

[2k7i-兀,2kilT

T=2兀

y=cosxxeR[-1,1]偶

o[2左刀■,2左1+?]J

-V

9.正弦型函數(shù)y=Asin（Gx+°）（A>0,>0）

(1)定義域R,值域［—A4

(2)周期：T=——

co

(3)留意平移的問題：一要留意函數(shù)名稱是否相同，二要留意將X的系數(shù)提出來，再看是怎樣平移的。

(4).y=tzsinx+Z?cosx=\a1+b2sin(x+^?)

10.正弦定理

nhc

--=--=--=2R（R為AABC的外接圓半徑）

sinAsinBsinC

其他形式：（1）a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC（留意理解記憶，可只記一個）

（2）6/:Z?:c=sinA:sinB:sinC

11.余弦定理

+o2_々2

a2=b2+c2-2bccosA=>cosA=----------（留意理解記憶，可只記一個）

2bc

12.三角形面積公式

^\ARC=—cibsmC=—bcsmA=—acsinB（留意理解記憶，可只記一個）

MBC222

13.海倫公式：S惻0=^P（P-a）（P-b）（P-c）（其中P為A43C的半周長，P=；）

第七章平面對量

1.向量的概念

（1）定義：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：書寫時確定要加箭頭！另起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量表示為通。

（3）向量的模（長度）：

（4）零向量：長度為0,方向隨意。

單位向量：長度為1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的兩個向量。

反（負(fù)）向量：大小相等，方向相反的兩個向量。

2.向量的運(yùn)算

（1）圖形法則

三角形法則平形四邊形法則

（2）計(jì)算法則

加法：AB+BC=AC減法：AB-AC=CA

（3）運(yùn)算律：加法交換律、結(jié)合律注：乘法（內(nèi)積）不具有結(jié)合律

3.數(shù)乘向量：Aa（1）模為：（2）方向：％為正與a相同；4為負(fù)與a相反。

4.AB的坐標(biāo)：終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)。AB=（XB-xA,yB-

5.向量共線（平行）：三唯一實(shí)數(shù)/，使得I=/lZ。（可證平行、三點(diǎn)共線問題等）

6.平面對量分解定理：假如是同一平面上的兩個不共線的向量，那么對該平面上的任一向量3,都存在唯一的

一對實(shí)數(shù)再，％2，使得。=為4+/02。

7.留意AA3C中，重心（三條中線交點(diǎn)）、外心（外接圓圓心：三邊垂直平分線交點(diǎn)）、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心：三角平分

線交點(diǎn)）、垂心（三高線的交點(diǎn)）

8.向量的內(nèi)積（數(shù)量積）

（1）向量之間的夾角：圖像上起點(diǎn)在同一位置；范圍［0,乃］。

（2）內(nèi)積公式：a-b^a\\b\cos<a,b>

9.向量內(nèi)積的性質(zhì):

—*—*Q.b———*—*

（1）cos<a,b>=———（夾角公式）（2）a_l_6oa-b=0

\a\\b\

（3）a.a=|a"或|a|=J；.a（長度公式）

10.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：（1）AB={XB-xA,yB-yA）

（2）設(shè)a=（毛，％）,/?=（%2，,2），貝Ua+b=（xl+x2,yx+y2）2a=（2^,2y1）a-b=xlx2+yxy2

11.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若A（%，x）,B（X2，y2），點(diǎn)^（x,y）是線段AB的中點(diǎn)，則x=』；」,y=%；一

12.向量平行、垂直的充要條件：設(shè)。=（玉，%）石=（%2，%），貝U

a//b<4>--=（相對應(yīng)坐標(biāo)比值相等）

々%

aLboa-3=Oox1x2+yxy2=0（兩個向量垂直則它們的內(nèi)積為0）

11.長度公式

（1）向量長度公式：設(shè)a=（x,y）,則|a|='x2+y?

（2）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)點(diǎn)4區(qū)，%）,3（%2，%），則IAB|=加/-Xi）?+（%—％產(chǎn)

12.向量平移

（1）平移公式：點(diǎn)P（x,y）平移向量a=（《,a,）至UP（x',y'）,貝1記憶法：“新=舊+向量”

一[y'=y+a^

（2）圖像平移：y=/（%）的圖像平移向量a=（%,%）后得到的函數(shù)解析式為：y-ai=

第八章平面解析幾何

1.曲線C上的點(diǎn)與方程尸（x,y）=0之間的關(guān)系：

（1）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程尸（x,y）=0的解；

（2）以方程/（羽?。?0的解（x,y）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。

則曲線C叫做方程/（x,y）=0的曲線，方程尸（x,y）=0叫做曲線C的方程。

2.求曲線方程的方法及步驟：（1）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為（X,y）；（2）寫出動點(diǎn)在曲線上的充要條件；（3）用x,y的關(guān)系式

表示這個條件列出的方程；（4）化簡方程（不須要的全部約掉）；（5）證明化簡后的方程是所求曲線的方程。假如

方程化簡過程是同解變形的話第五步可省略。

3.兩曲線的交點(diǎn)：聯(lián)立方程組求解即可。

4.直線：

⑴傾斜角。：一條直線/向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫這條直線的傾斜角。其范圍是[0,萬）

(2)斜率：①傾斜角為90°的直線沒有斜率；②左=tan(z(傾斜角的正切)

③經(jīng)過兩點(diǎn)月(芯，%),舄(％2，為)的直線的斜率K=—~~—(X1wx2)

(3)直線的方程

①兩點(diǎn)式：上二江=土叢②斜截式：y=kx+b

為一％/一毛

③點(diǎn)斜式：y~y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

注：1.若直線/方程為3x+4y+5=0,則與/平行的直線可設(shè)為3x+4y+C=0；與/垂直的直線可設(shè)為4X-3Y+CR

2.求直線的方程最終要化成一般式。

(4)兩條直線的位置關(guān)系

kx：k2x+b

/]:y=x+4,2)=24:A%+與元+G=。4：4%+B2X+C2=0

A_"G

k與/2平行h=左2且優(yōu)。打

4B2C2

A_A_S_

4與1重合k[=左2且4—b2

2A?B?C*2

司

H

k與12相交k、wk?w

h.左2二—14A2+BlB2=0

注：系數(shù)為。的狀況可畫圖像來判定。

(5)點(diǎn)到直線的距離

①點(diǎn)P(x0,%)到直線A%+By+C=0的距離：d=

VA2+B2

5.圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(九一")2+(y-匕)2=/(廠>0)其中圓心(〃/)，半徑廠。

(2)一般方程：X1+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>0)

L、，DE、,rA/D2+E2-4F

圓心(----,----)半徑：r=----------------

222

(4)直線和圓的位置關(guān)系：主要用幾何法，利用圓心到直線的距離d和半徑〃比較。

d<ro本目交；d=ro本目切；d>ro本目離

6.橢圓

動點(diǎn)與兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之和等于常數(shù)2。

幾何定義

1PFI|+|PF2\=2a

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程-7+=1（焦點(diǎn)在光軸上）,十三=1（焦點(diǎn)在y軸上）

ab

1y

圖像'J"”

a,6,c的關(guān)系a2=b2+c2留意：通常題目會隱藏這個條件

對稱軸與對稱中心龍軸：長軸長2a；y軸：短軸長2A；0（0,0）

頂點(diǎn)坐標(biāo)(±4,0)(0,±。)

焦點(diǎn)坐標(biāo)（±c,0）焦距2c注：要特殊留意焦點(diǎn)在哪個軸上

離心率e=—=*--2<1

a\a

7.雙曲線

動點(diǎn)與兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的確定值等于常數(shù)2a

幾何定義

II|-|PF2||=2a

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程-5-—1(焦點(diǎn)在X軸上)當(dāng)―0=1（焦點(diǎn)在y軸上）

abab

JI

圖像

%cpX

/

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2留意：通常題目會隱藏這個條件

對稱軸與對稱中心龍軸：實(shí)軸長2a；y軸：虛軸長26；0（0,0）

頂點(diǎn)坐標(biāo)(±a,0)

焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)焦距2c注：要特殊留意焦點(diǎn)在哪個軸上

C及［

離心率

b、

漸近線y=±—x（焦點(diǎn)在無軸上）y=（焦點(diǎn)在y軸上）

a

注：等軸雙曲線：（1）實(shí)軸長和虛軸長相等na=b（2）離心率6=后（3）漸近線y=±x

8.拋物線

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡

幾何

定義\MF\=d（d為拋物線上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離）

焦點(diǎn)

X軸正半軸X軸負(fù)半軸y軸正半軸y軸負(fù)半軸

位置

2-

r

.p

\H_______；

Ir

圖像------1-Z

P0\FpX

X

-2H

-2--2

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x1=-2py(p>0)

方程

焦點(diǎn)械,0)斤(-F，0)戶（0,爭F(0,-^)

坐標(biāo)

準(zhǔn)線

x=---p-p

方程22

頂點(diǎn)19(0,0)

對稱

%軸y軸

軸

離心

e=l

率

注：（1）p的幾何意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

（2）駕馭焦點(diǎn)在哪個軸上的推斷方法

（3）圓錐曲線中凡涉及到弦長，都可用聯(lián)立直線和曲線的方程求解再用弦長公式:

|AB|=Jl+k2J（X]+々）--

（4）圓錐曲線中最重要的是它本身的定義??！做題時應(yīng)留意圓錐曲線上的點(diǎn)是滿意圓錐曲線的定義的!

第九章立體幾何

1.空間的基本要素：點(diǎn)、線、面

注：用集合符號表示空間中點(diǎn)（元素）、線（集合）、面（集合）的關(guān)系

2.平面的基本性質(zhì)

（1）三個公理：

①假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的全部的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。

②假如兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們的全部公共點(diǎn)組成的集合是過該點(diǎn)的一條直線。

③經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。

(2)三個推論：

①經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面。

②經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

③經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.兩條直線的位置關(guān)系：

(1)相交：有且只有一個公共點(diǎn)，記作=

(2)平行：a過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行。

b.平行于同一條直線的兩條直線平行

(3)異面：

①定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

71

②異面直線的夾角：對于兩條異面直線，平移一條與另一條相交所成的不大于一的角。留意在找異面直線之間的夾

2

角時可作其中一條的平行線，讓它們相交。

4.直線和平面的位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)：Ica

(2)直線與平面相交：/口。=4

(3)直線與平面平行

①定義：沒有公共點(diǎn)，記作：I//a

②判定：假如平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行。

③性質(zhì)：假如一條直線與一平面平行，且過直線的另一平面與該平面相交，則該直線與交線平行。

5.兩個平面的位置關(guān)系

(1)相交：=i

(2)平行：

①定義：沒有公共點(diǎn)，記作：“?！ㄊ?/p>

②判定：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面都平行，則兩平面平行

③性質(zhì)：a兩個平行平面與第三個平面都相交，則交線相互平行

。.平行于同一平面的兩個平面平行

a夾在兩平行平面間的平行線段相等

d.兩條直線被三個平行平面所截得的對應(yīng)線段成比例

6.直線與平面所成的角：

(1)定義：直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角

77

（2）范圍：[0,—]

2

7.直線與平面垂直

(1)判定：假如一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與平面垂直

(2)性質(zhì)：

①假如一條直線垂直于一平面，則它垂直于該平面內(nèi)任何直線；

②垂直于同一平面的兩直線平行；

③垂直于同始終線的兩平面平行。

8.兩個平面垂直

(1)判定定理：假如一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則兩個平面相互垂直。

(2)性質(zhì)定理：假如兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線與另一個平面垂直。

9.二面角

(1)定義：過二面角a—/—，的棱上一點(diǎn)。，分別在兩半平面內(nèi)引棱/的垂線QA、OB,則NAO6為二面角的

平面角

(2)范圍：［0,加

(3)二面角的平面角構(gòu)造：

①按定義，在棱上取一點(diǎn)。，分別在兩半平面內(nèi)引棱的垂線。4、OB,則NAO3即是

②作一平面與二面角的棱垂直，與兩半平面分別交于。4、OB,NAO3即是

第十章排列、組合與二項(xiàng)式定理

1.分類用加法：N=mx+m2+..+mn分步用乘法：N=mxm2....mn

2.有序?yàn)榕帕校阂?=〃(〃—1)(〃—2)……(〃—機(jī)+1)=—―

(n-m)!

工擊必加人心P：/一1)(“一2)……(n-m+I)n\

尢序?yàn)榻M合：=---=------------------------------=-----------

P：m!m!(n-m)!

階乘：P：=nl=n(n—l)(n—2).......x3x2x1

規(guī)定：0!=lC°=1

注：(1)做排列組合題的原則：先特殊，后一般！

(2)在一起，用捆綁法；不在一起，用插空法；另外的思索方法：一般法、解除法、分類探討法、機(jī)會均等法等等。

3.組合數(shù)的兩特性質(zhì)：(1)C；=C；；-m(2)C；"=C：+C：T

4.二項(xiàng)式定理：

nn'nrrn

(a+b)=C°a"b°+C\a-'b+……+C；ta-b+……C'^a'b'^+C'^a°b

nrr

通項(xiàng)：Tr+l=C'na-b,其中C：叫做第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。

注：(1)二項(xiàng)綻開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)與第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：是兩個不同的概念。

(2)楊輝三角

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)除每行兩端的1以外，每個數(shù)字都等于它肩上兩數(shù)之和，即c；+i=c;+￡丁

(2)與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C；：T

ri

(3)〃為偶數(shù)，綻開式有奇數(shù)項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(第一+1項(xiàng))

2

"+1

〃為奇數(shù)，綻開式有偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。(第——項(xiàng)和后一項(xiàng))

2

7.C：+C；+……C：+……C：=2"C：+C；+C：+……=C：+C：+C：+……=2^

第十一章概率與統(tǒng)計(jì)

一、概率.

1.概率：隨機(jī)事務(wù)A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2.等可能事務(wù)的概率：假如一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個，且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每

一個基本領(lǐng)件的概率都是工，假如某個事務(wù)A包含的結(jié)果有m個，那么事務(wù)A的概率P(A)=蟲.

nn

3.①互斥事務(wù)：不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)叫互斥事務(wù).假如事務(wù)A、B互斥，那么事務(wù)A+B發(fā)生(即A、B中

有一個發(fā)生)的概率，等于事務(wù)A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

②對立事務(wù)：兩個事務(wù)必有一個發(fā)生的互斥事務(wù)叫對立事務(wù).

留意：i.對立事務(wù)的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.

ii.互為對立的兩個事務(wù)確定互斥，但互斥不確定是對立事務(wù).

③相互獨(dú)立事務(wù)：事務(wù)A(或B)是否發(fā)生對事務(wù)B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事務(wù)叫做相互獨(dú)立事務(wù).

假如兩個相互獨(dú)立事務(wù)同時發(fā)生的概率，等于每個事務(wù)發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A>P(B).由此，當(dāng)兩個事務(wù)同時

發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個事務(wù)發(fā)生概率之積，這時我們也可稱這兩個事務(wù)為獨(dú)立事務(wù).

④獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依靠于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)

是獨(dú)立的.假如在一次試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的概率為P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事務(wù)恰好發(fā)生k次的概率：

Pn(k)=C：pk(l-P嚴(yán).

二、隨機(jī)變量.

1.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是不確定的.試驗(yàn)假如滿意下述條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的全部可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗(yàn)總是

恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗(yàn)之前卻不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

它就被稱為一個隨機(jī)試驗(yàn).

2.離散型隨機(jī)變量：假如對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按確定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨

機(jī)變量。

設(shè)離散型隨機(jī)變量占可能取的值為：％,無2，…，芭一…

自取每一"於值X］。=1,2,…)的概率尸(。=%)=p,,則表稱為隨機(jī)變量&的概率分布，簡稱自的分布列.

了2Xi

PP1P1Pi

有性質(zhì)①PiZO"=1,2,…；②pi+p2+…+P/+…=1.

留意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如:即4可以取0?

5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).

3.⑴離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事務(wù)可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在〃次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)中這個事務(wù)發(fā)生的次數(shù)。是一個隨機(jī)變量.假如在一次試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的概率是尸，那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中

這個事務(wù)恰好發(fā)生k次的概率是

P”=k)=C；pkq*k,(4=0,1,2,…，n,q=1-p).

于是得到隨機(jī)變量利的概率分布如下:_________________________________________________

J01kn

pC：P°q"C：pkq『kC：pnq°

由于恰好是二項(xiàng)綻開式

9+"=C°p°qn++…+C;pkqi+…+c：；p"q°

中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)