2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)+題型專訓(xùn)正方形（原卷版+解析）

專題27正方形

考點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)

知識回顧

1.正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

2.正方形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。

所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組

對角，把正方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點(diǎn)是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，

過每一組對邊中點(diǎn)的直線也是對稱軸。

微專題

1.（2023?黃石）如圖，正方形048c的邊長為將正方形。ABC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則點(diǎn)2的

對應(yīng)點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為（）

A0

第1題

A.(-,0)B.（V2,0）C.（0,V2）D.（0,2）

2.（2023?廣州）如圖，正方形ABC。的面積為3,點(diǎn)E在邊C￡＞上，且CE=1,/ABE的平分線交于

點(diǎn)、F,點(diǎn)、M,N分別是BE,BE的中點(diǎn)，則的長為（）

娓

C.2-V3D.

2

3.（2023?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形.若

圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是（）

第3題第4題

A.4B.8C.12D.16

4.（2023?青島）如圖，。為正方形A2CD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形.若42=2,則OE的

長度為（）

A.—B.V6C.2A/2D.273

2

5.（2023?泰州）如圖，正方形A8C。的邊長為2,E為與點(diǎn)。不重合的動點(diǎn)，以O(shè)E為一邊作正方形DEFG.設(shè)

DE=di,點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為必、力，則力+心+為的最小值為（

第7題

6.（2023?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED,過點(diǎn)。作。尸，BC,垂

足為R則。尸的長為（）

B.5-2

A.273+2C.3-V3D.V3+1

3

7.（2023?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板中，8。為對角線，E,

B分別為BC,C。的中點(diǎn)，分別交BO,EF于O,P兩點(diǎn)，M,N分別為30,的中點(diǎn)，連

接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板.則在剪開之前,關(guān)于該圖形,下列說法正確的有（）

①圖中的三角形都是等腰直角三角形；

②四邊形MPE8是菱形；

③四邊形PFDM的面積占正方形ABC。面積的

4

A.只有①B.①②C.①③D.②③

8.（2023?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD

內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.

第8題第9題

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積

C.ZX8所的面積D.△AE7?的面積

9.（2023?重慶）如圖，在正方形A8C。中,AE平分/8AC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是邊上一點(diǎn)，連接。咒

若則/的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5

10.（2023?重慶）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC、3。相交于點(diǎn)。.E、尸分別為AC、BD上一點(diǎn),

MOE=OF,連接AF,BE,EF.若/AFE=25°,則/CBE的度數(shù)為（）

第11題

A.50°B.55°C.65°D.70°

11.（2023?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A'滿足44'=1

AC,則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是.

12.（2023?海南）如圖，正方形42c。中，點(diǎn)￡、尸分別在邊BC、CD上,AE^AF,NEAF=30°,則/

AEB=°；若的面積等于1,則A8的值是

E

第12題第13題

13.（2023?廣西）如圖，在正方形ABC。中，48=4后，對角線AC,相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E是對角線AC

上一點(diǎn)，連接8E,過點(diǎn)E作EfUBE,分別交CO,BD于點(diǎn)、F,G,連接8尸，交AC于點(diǎn)H,將△EfH

沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)”'恰好落在8。上，得到.若點(diǎn)F為C。的中點(diǎn)，則△EGH'的

周長是

14.（2023?無錫）如圖，正方形ABC。的邊長為8,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，//G垂直平分AE且分別交AE、BC

15.（2023?江西）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長方形（如圖所

示），則長方形的對角線長為

考點(diǎn)二：正方形的判定

知識回顧

1.直接判定：

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。

2.利用平行四邊形判定:

一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

3.利用菱形與矩形判定：

①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

②對角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對角線相互垂直的矩形是正方形。

/----------------------------------------------------"X

微專題

16.（2023?紹興）如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=2AB=2,NA3C=60°,E,尸是對角線上的動

點(diǎn)，MBE=DF,M,N分別是邊A。，邊8C上的動點(diǎn).下列四種說法：

①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；

②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF-,

③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；

④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

17.（2023?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

18.（2023?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在8c上方分別作等邊△AC。、△ABE、ABCF.且點(diǎn)A在

△8CF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：①四邊形尸￡是平行四邊形；②當(dāng)/8AC=150°時(shí)，四邊形AOFE是

矩形；③當(dāng)A2=AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB=AC,且NR4C=150°時(shí)，四邊形4DFE是正

方形.其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號）.

考點(diǎn)三：中點(diǎn)四邊形:

知識回顧

X___________________/

1.中點(diǎn)四邊形的定義：

將任意四邊形各條邊的中點(diǎn)順次連接起來得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。

2.中點(diǎn)四邊形的判定：

①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

②對角線相互垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形。（菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形）

③對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。（矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形）

④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。（正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形）

微專題

19.（2023?玉林）若順次連接四邊形A8C。各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形A8C。的兩條對

角線AC,BD一定是（）

A.互相平分B.互相垂直

C.互相平分且相等D.互相垂直且相等

20.（2023?德陽）如圖，在四邊形A8CD中，點(diǎn)E,F,G,”分別是48,BC,CD,D4邊上的中點(diǎn)，則下

列結(jié)論一定正確的是（）

A.四邊形EfGH是矩形

B.四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形A8CD的內(nèi)角和

C.四邊形EFGH的周長等于四邊形A8CD的對角線長度之和

D.四邊形EfGH的面積等于四邊形ABCD的面積的工

4

專題27正方形

考點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)

知識回顧

3.正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

4.正方形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。

所以正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，

且平分每一組對角，把正方形分成了四個(gè)全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點(diǎn)是對稱中心，對角線所在

直線是對稱軸，過每一組對邊中點(diǎn)的直線也是對稱軸。

微專題

1.(2023?黃石)如圖，正方形0ABe的邊長為J5，將正方形048c繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

45°,則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)81的坐標(biāo)為()

峰

Bf------'C

A0

A.(-拒，0)B.(V2,0)C.(0,72)D.(0,2)

【分析】連接08,由正方形的性質(zhì)和勾股定理得OB=2,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得81在y軸

正半軸上，且。81=。8=2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接

:正方形OABC的邊長為、歷，

：.0C=BC=?ZBCO=90°,ZBOC=45°,

???0B=VOC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2>

..?將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到Bi的位置,

，81在y軸正半軸上，且。81=。8=2,

...點(diǎn)81的坐標(biāo)為（0,2）,

故選：D.

2.（2023?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3,點(diǎn)E在邊CZ）上，且CE=1,/ABE的

平分線交A。于點(diǎn)尸，點(diǎn)M,N分別是BE,8F的中點(diǎn)，則MN的長為（）

y/~6yf3rrV6-V2

A.-----B.C.2-A/3D.------------

222

【分析】連接EF,由正方形ABCD的面積為3,CE=1,可得DE=M-1,tmZEBC

=絲=」=?，即得

NEBC=30°，又A尸平分可得/ABF=」NA2E=30°,

BCV332

故&尸=單_=1,DF^AD-AF=V3-b可知所=&?！?如＞＜（V3-1）=娓-

V3

-1_V6-V2

衣，而M,N分別是BE,8尸的中點(diǎn)，即得MN=￡F

22

【解答】解：連接ER如圖：

三

:正方形ABC。的面積為3,

：.AB=BC=CD=AD=43,

：CE=1,

:.DE=M-1,tan/E2C=四=3=近，

BCV33

：.ZEBC=3Q°,

ZABE=ZABC-Z￡BC=60°,

平分/ABE,

AZABF=-^ZAB￡=30°,

2

在RtZ\ABF中，4尸=媽=1,

V3

：.DF=AD-AF=43-1,

；.DE=DF,△DM是等腰直角三角形，

.,.EF=V2￡>E=V2X-1)=遍-近,

'：M,N分別是BE,8歹的中點(diǎn)，

MN是ABEF的中位線，

；5“二%返

故選：D.

3.（2023?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成

的大正方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周

長是（）

C.12D.16

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小正方形的邊長，然后即可得到小正方

形的周長.

【解答】解：由題意可得，

小正方形的邊長為3-1=2,

小正方形的周長為2X4=8,

故選:B.

4.（2023?青島）如圖，。為正方形ABC。對角線AC的中點(diǎn)，AACE為等邊三角形.若A2

=2,則OE的長度為（）

A.B.V6C.272D.2A/3

2

【分析】首先利用正方形的性質(zhì)可以求出AC,然后利用等邊三角形的性質(zhì)可求出0E

【解答】解：：四邊形ABCO為正方形，AB=2,

；.AC=2&,

1/0為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，XACE為等邊三角形，

AZAOE=90°,

；.AC=AE=2&,AO=M，

.,.<?E=V2><V3=V6.

故選：B.

5.（2023?泰州）如圖，正方形的邊長為2,E為與點(diǎn)。不重合的動點(diǎn)，以DE為一

邊作正方形DE/G.設(shè)?！?力，點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、曲，則力+“2+出的最

小值為（）

A.72B.2C.272D.4

【分析】連接AE,那么，AE=CG,所以這三個(gè)d的和就是AE+EF+FC,所以大于等于

AC,故當(dāng)AE尸C四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接AE,

?/四邊形DEFG是正方形，

ZEDG=90°,EF=DE=DG,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZADC=90a,

：.ZADE=ZCDG,

：.AADE^ACDG（SAS）,

：.AE=CG,

di+d2+d3=EF+CF^-AE,

???點(diǎn)A,E,F,C在同一條線上時(shí)，EF+C尸h4E最小，即力+。2+為最小，

連接AC,

?*.di+d2+d3最小值為AC,

在RtzXABC中，AC=?AB=2近,

di+d2+d3最小—AC=2y[2,

6.（2023?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形43ED過點(diǎn)。

作。尸，8C,垂足為尸，則的長為（）

A.2-\/3+2B.5-C.3-V3D.y/3+1

3

【分析】方法一：如圖，延長D4、BC交于點(diǎn)G,利用正方形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)可

得：ZBAG=90°,AB=2,ZABC=6Q°,運(yùn)用解直角三角形可得AG=2?,0G=2+2

再求得NG=30°,根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出答案.

方法二：過點(diǎn)E作EG_L。/于點(diǎn)G,作EHLBC于點(diǎn)H,利用解直角三角形可得EH=1,

BH=g,再證明△B￡7理ZYDEG,可得DG=BH=如,即可求得答案.

【解答】解：方法一：如圖，延長D4、BC交于點(diǎn)G,

:四邊形ABED是正方形，

：.ZBAD=90°,AD=AB,

AZBAG=180°-90°=90°,

?/△ABC是邊長為2的等邊三角形，

：.AB=2,NABC=60°,

：.AG=AB'tanZABC=2Xtan6Q0=2后

DG=AD+AG=2+2A/3，

；/G=90°-60°=30°,DFLBC,

,-.DF=Ar)G=Ax(2+2V3)=1+如，

22

故選D.

方法二：如圖，過點(diǎn)E作EGJ_。尸于點(diǎn)G,作于點(diǎn)H,

則N8HE=NOGE=9(T,

VAABC是邊長為2的等邊三角形，

???A5=2,ZABC=60°,

???四邊形A3ED是正方形，

；?BE=DE=2,ZABE=ZBED=90°,

：.ZEBH=1SO°-ZABC-ZABE=180°-60°-90°=30°,

EH=BE-sinZEBH=2?sin300=2X^=1,BH=BE'COSZEBH=2COS30°=如，

2

:EGLDF,EHLBC,DFYBC,

：.ZEGF=ZEHB=NDFH=90°,

四邊形EG"是矩形，

：.FG=EH=1,ZBEH+ZBEG=ZGEH=90°,

■:NDEG+NBEG=9Q°,

：.ZBEH=ZDEG,

在△BET?和△DEG中，

:.ABEH絲/\DEG(A4S),

：.DG=BH=yf3,

:.DF=DG+FG=M+1,

故選：D.

7.(2023?隨州)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABC。中，

8。為對角線，E,E分別為8C,CD的中點(diǎn)，分別交8。，EF于O,P兩點(diǎn)，M,

N分別為80,。。的中點(diǎn)，連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板.則在

剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有（）

①圖中的三角形都是等腰直角三角形；

②四邊形是菱形；

③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的

4

A.只有①B.①②C.①③D.②③

【分析】①利用正方形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)可以解決問題；

②利用①的結(jié)論可以證明解決問題；

③如圖，過M作于G,設(shè)AB=8C=無，利用正方形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)分

別求出BE和MG即可判定是否正確.

【解答】解：①如圖，尸分別為BC,CD的中點(diǎn)，

:.EF為4CBD的中位線，

J.EF//BD,

'：AP±EF,

J.APLBD,

:四邊形ABCD為正方形，

；.A、0、P、C在同一條直線上，

.?.△ABC、AACD.AABD.△BCD、△048、△OA。、AOBC、△。小都是

等腰直角三角形，

N分別為2。，。。的中點(diǎn)，

C.MP//BC,NF//OC,

：.△DNF、A0MP也是等腰直角三角形.

故①正確；

而

②根據(jù)①得PM,:.BMWPM

2

四邊形MPE8不可能是菱形.故②錯(cuò)誤；

@VE,尸分別為BC,。的中點(diǎn)，

：.EF//BD,EF=—BD,

2

:四邊形ABCD是正方形，且設(shè)A8=BC=x,

.".BD=-\[2x,

'：AP±EF,

：.AP±BD,

:.BO=OD,

.?.點(diǎn)P在AC上,

：.PE=—EF,

2

：.PE=BM,

四邊形BMPE是平行四邊形，

：.BO=^BD,

2

為2。的中點(diǎn)，

44

為8c的中點(diǎn)，

：.BE=^-BC=—x,

22

過/作MG_LBC于G,

:.MG=?-BM=LX,

24

四邊形BMPE的面積,

8

二四邊形BMPE的面積占正方形ABCD面積的工.

8

,:E、F是BC,CQ的中點(diǎn)，

S^CEF=—S/\CBD——-S四邊形A8CZ）,

48

...四邊形尸F(xiàn)DM的面積占正方形ABC。面積的（1-■!-」-工）=1.

2884

故③正確.

故選：C.

8.（2023?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放

置在矩形ABC。內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面

A.正方形紙片的面積B.四邊形E打汨的面積

C.△BEP的面積D.△AEH的面積

【分析】根據(jù)題意設(shè)尸D=x,GH=y,則/7/=尤-y，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長

相等，可得AP=x+y,先用面積差表示圖中陰影部分的面積,并化簡，再用字母分別表

示出圖形四個(gè)選項(xiàng)的面積，可得出正確的選項(xiàng).

【解答】解：設(shè)尸。=羽GH=y,則尸"=x-y,

???矩形紙片和正方形紙片的周長相等，

2AP+2(x-y)=4%,

,9.AP—x+y,

?.?圖中陰影部分的面積=8矩形ABC。-2MDH-IS^AEB

=(2x+y)(2x-y)-2xA*(x-y)(2x+y)-2X-A_*(2x->)-%0

=4x2-j2_(2x2+xy-2xy-y2)-(2x2-xy)

=412-y2-2^+xy+y2-2^+xy

=/2xy9

A、正方形紙片的面積=/,故A不符合題意；

B、四邊形EPG8的面積=；,故2不符合題意；

C、的面積=//尸8。=/孫，故C符合題意；

2

D、"￡7/的面積謁/小人2》(x-y)=~xy-Ay,故。不符合題意；

故選：C.

9.(2023?重慶)如圖，在正方形ABC。中，AE平分N8AC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)廠是邊AB上

一點(diǎn)，連接。凡若BE=AF,則NCZ)尸的度數(shù)為()

S

B'-----------E----------C

A.45°B.60°C.67.5°D.'77.5°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到/AD尸的度數(shù)，從而

可以求得NCD尸的度數(shù).

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

：.AD=BA,ZDAF=ZABE=90°,

在△IMP和△ABE中，

△DAF^AABE(SAS),

/ADF=/BAE,

平分/BAC,四邊形ABC￡)是正方形，

AZBAE=^ZBAC=22.5°,ZADC=90°,

2

AZAZ)F=22.5°,

：.ZCDF=ZADC-ZADF^9Q°-22.5°=67.5°,

故選：C.

10.(2023?重慶)如圖，在正方形ABC。中，對角線AC、3。相交于點(diǎn)O.E、尸分別為AC、

8。上一點(diǎn)，且OE=OF,連接AF,BE,EF.若NAFE=25°,則/C8E的度數(shù)為()

【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的

內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?..四邊形ABC。是正方形，

...NAOB=/AO￡)=90°,OA=OB=OD=OC.

'：OE=OF,

...△OEF為等腰直角三角形，

：.ZOEF=ZOFE=45a,

VZAFE=25°,

AZAFO=ZAFE+ZOFE=10°,

AZFAO=20°.

在△AOB和△BOE中，

fOA=OB

<ZA0F=ZB0E=90o-

OF=OE

A(SAS).

：.ZFAO=ZEBO=20°,

?：OB=OC,

???△OBC是等腰直角三角形，

：.ZOBC=ZOCB=45°,

AZCBE=ZEBO+ZOBC=65°.

故選：C.

n.（2023?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABC。沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A，

滿足AV=』AC,則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是

3

【分析】由正方形邊長為3,可求AC=3&,則=1AC=V2.由平移可得重疊部

3

分是正方形，根據(jù)正方形的面積公式可求重疊部分面積.

【解答】解：?.?正方形ABC。的邊長為3,

；.AC=3&,

AA4,=AAC=V2;

AA,C=2&,

由題意可得重疊部分是正方形，且邊長為2,

?"S重疊部分=4.

故答案為：4.

12.（2023?海南）如圖，正方形ABCZ）中，點(diǎn)￡、尸分別在邊BC、C￡＞上，AE^AF,ZEAF

=30°,則°；若的面積等于1,則的值是

【分析】利用“HL”先說明△ABE與△ADP全等，得結(jié)論NBAE=NZMF再利用角的

和差關(guān)系及三角形的內(nèi)角和定理求出NAE&先利用三角形的面積求出AE,再利用直角

三角形的邊角間關(guān)系求出AB.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZB=ZD=90°.

在RtAABE和RtAADF中，

[AB=AD,

lAE=AF，

RtAABE^RtAADF(HL).

NBAE=ZDAF.

：.NR4E=1(/BAD-ZEAF)

2

=A(90°-30°)

2

=30°.

AZAEB^60°.

故答案為：60.

過點(diǎn)尸作PGLAE,垂足為G.

四，

AF

：.FG=sinZEAFXAF.

'：SAAEF=^XAEXFG=^XAEXAFXsinZEAF=l,

22

.-.AxAE2Xsin30°=1.

2

即」XAFXJLU.

22

：.AE=2.

在RtAABE中，

'：cosZBAE=^-,

AE

.*.AB=cos30oXAE

=近義2

2

=V3.

故答案為：V3.

13.（2023?廣西）如圖，在正方形ABC。中，AB=4后,對角線AC,3。相交于點(diǎn)。.點(diǎn)

E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)E作分別交CD,BD于點(diǎn)、F,G,連接

BF,交AC于點(diǎn)H,將△EfW沿斯翻折，點(diǎn)X的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在8D上，得到△

EFH'.若點(diǎn)/為C。的中點(diǎn)，則△EGH'的周長是.

【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)翻折的性質(zhì)得△EGH四△EGH,所以△EG”'

的周長=Z\EG8的周長，接下來計(jì)算△EG8的三邊即可；證明△3ME注AFNE(ASA)

和△BEO四△￡1"(A4S),得0E=PF=2,0B=EP=4,利用三角函數(shù)和勾股定理分別

計(jì)算EG,G8和EH的長，相加可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EML2C于作ENLCD于N,過點(diǎn)尸作尸P,AC于尸，

連接G”，

:將△EPH沿EF翻折得到△EE/T,

:.AEGH沿4EGH,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=CD=BC=4yf2^NBCD=90°,ZACD=ZACB=45

:.BD=JiBC=8,尸是等腰直角三角形，

?尸是CD的中點(diǎn),

:.CF=]cD=2五,

：.CP=PF=2,OB=2BD=4,

2

VZACD=ZACB,EMLBC,ENLCD,

：.EM=EN,NEMC=NENC=NBCD=90°,

AZMEN=90°,

■:EFLBE,

：.ZBEF=90°,

:"BEM=NFEN,

:ZBME=NFNE,

:.ABMEqAFNE(ASA),

：.EB=EF,

NBEO+/PEF=ZPEF+ZEFP=90°,

???ZBEO=/EFP,

?：/BOE=/EPF=9U°,

:?△BEO%AEFP(A4S),

AOE=PF=2,0B=EP=4,

GOPF

tanZOEG==即0G=2

OEEP"TI

???OG=1,

：.EG=｛「2+]2=病,

?：OB〃FP,

：.ZOBH=ZPFH,

AtanZOBH=tanZPFH,

.OH=PH

**0BPF，

.OH_4_

??——~乙0,

PH2

：.0H=2PH,

尸=OC-PC=4-2=2,

.*.O//=ZX2=A,

33

在RtZXOGH中，由勾股定理得:

A/\EGH'的周長=/\或汨的周長=￡H+EG+G8=2+?+遙+<|=5+遍.

故答案為：5+^5-

14.（2023?無錫）如圖，正方形4BC。的邊長為8,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，HG垂直平分AE

且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G,則BG=.

【分析】設(shè)CG=x,則BG=8-x,根據(jù)勾股定理可得

CE2+CG2,可求得X的值，進(jìn)而求出8G的長.

【解答】解：連接AG,EG,

AR

是C。的中點(diǎn)，

.?.￡）E=CE=4,

設(shè)CG=x,則2G=8-x,

在RtZ\ABG和RtZ\GCE中，根據(jù)勾股定理，得

AB2+BG2=C￡2+CG2,

即82+（8-x）2=42+X2,

解得x=7,

：.BG=BC-CG=8-7=1.

故答案是：L

15.（2023?江西）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)

長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為.

【分析】根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2,長方形的寬是正方形對角線的

一半為1,然后利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2,

長方形的寬是正方形對角線的一半為1,

則長方形的對角線長=（F+22=遙.

故答案為：V5-

考點(diǎn)二：正方形的判定

知識回顧

4.直接判定：

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。

5.利用平行四邊形判定：

一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

6.利用菱形與矩形判定：

①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

②對角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對角線相互垂直的矩形是正方形。

微專題

16.（2023?紹興）如圖，在平行四邊形A8CD中，AD=2AB=2,ZABC=6Q°,E,尸是對

角線8。上的動點(diǎn)，且BE=DF,M,N分別是邊AD,邊上的動點(diǎn).下列四種說法:

①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF-,

②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF-,

③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；

④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可.

【解答】解：連接AC,MN,且令A(yù)C,MN,相交于點(diǎn)O,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

\'BE=DF,

：.OE=OF,

只要OM=ON,那么四邊形MENF就是平行四邊形，

:點(diǎn)E,尸是8。上的動點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF,故①正確；

只要MN=EF,OM=ON,則四邊形MEN尸是矩形，

；點(diǎn)E,尸是80上的動點(diǎn)，

存在無數(shù)個(gè)矩形MEN凡故②正確；

只要MALLEE0M=0N,則四邊形MENF是菱形，

?.,點(diǎn)E,尸是2D上的動點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)菱形MENR故③正確；

只要MN=EF,MNLEF,0M=0N,則四邊形MEN/是正方形,

而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；

故選：C.

17.（2023?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：4對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

8、有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

C、對角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

。、對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

18.（2023?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在上方分別作等邊△AC。、AABE、△

BCF.且點(diǎn)A在△8CF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：①四邊形AQPE是平行四邊形；②當(dāng)/BAC

=150°時(shí)，四邊形AOEE是矩形；③當(dāng)A2=AC時(shí)，四邊形AOFE是菱形；④當(dāng)

AC,且/BAC=150°時(shí)，四邊形ADFE是正方形.其中正確結(jié)論有

（填上所有正確結(jié)論的序號）.

【分析】①利用SAS證明△￡1/冷冬△AC2,得出￡F=AC=A￡＞；同理由△C￡）pgZ\CAB,

得DF=AB=AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四

邊形，即可判斷結(jié)論①正確；

②當(dāng)NBAC=150°時(shí)，求出/EW=90°,根據(jù)有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形即

可判斷結(jié)論②正確；

③先證明