9.2.3用樣本估計(jì)總體課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

德宏州民族第一中學(xué)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1.第p百分位數(shù)的定義2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟3.四分位數(shù)課前回顧眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義，計(jì)算及其比較學(xué)習(xí)目標(biāo)為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過(guò)樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律．但有時(shí)候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征．例如，對(duì)于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會(huì)更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對(duì)于一個(gè)國(guó)家國(guó)民的身高情況，我們可能會(huì)更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)．例4利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)査數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．因?yàn)閿?shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以我們可以據(jù)此估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，其中位數(shù)約為6.6t．假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？思考小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時(shí),不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來(lái)的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒(méi)有變化，還是6.6t．這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變．因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感．平均數(shù)、中位數(shù)（1）平均數(shù)中位數(shù)（3）中位數(shù)平均數(shù)（2）探究平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．在圖9.2—8的三種分布形態(tài)中．平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō)，如果直方圖的形狀是對(duì)稱的(圖9.2-8(1))，那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”(圖9.2-8(2))，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”(圖9.2-8C3))，那么平均數(shù)小于中位數(shù)．也就是說(shuō)，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊．平均數(shù)、中位數(shù)（1）平均數(shù)中位數(shù)（3）中位數(shù)平均數(shù)（2）例5

某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表9.2-5所示．校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表9.2-5中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性．分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實(shí)上是幾種不同的類別．對(duì)于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適．解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來(lái)表示表中的數(shù)據(jù)（圖9.2-9）．可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適．由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理．眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息．眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度．因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值也不敏感．一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù)．探究樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無(wú)法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖.這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎？在頻率分布直方圖中，我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的．此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布．這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替．

這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)8.79相差不大．如圖9.2-11所示．這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大．以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)的各自特點(diǎn)，并研究了用樣本的特征量估計(jì)總體的特征量的方法．需要注意的是，這些特征量有時(shí)也會(huì)被利用而產(chǎn)生誤導(dǎo)．例如，假設(shè)你到人力市場(chǎng)去找工作，有一個(gè)企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬(wàn)元”，你該如何理解這句話？這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況．例如，可能這個(gè)企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低（如大多數(shù)是5萬(wàn)元左右），而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達(dá)到100萬(wàn)元，在這種情況下年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多．盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個(gè)企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù)．所以，我們要強(qiáng)調(diào)“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”，但同時(shí)又要防止被數(shù)據(jù)誤導(dǎo)，這就需要掌握更多的統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法．小結(jié)反思作業(yè)：優(yōu)化課后訓(xùn)練A組練習(xí)（第208頁(yè)）1．根據(jù)表9.2-2中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該市2015年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和第80百分位數(shù)．（注：已知該市屬于“嚴(yán)重污染”等級(jí)的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)400）．空氣質(zhì)量等級(jí)（空氣質(zhì)量指數(shù)AQI）頻數(shù)頻率優(yōu)（AQI≤50）8322.8%良（50<AQI≤100）12133.2%輕度污染（100<AQI≤150）6818.6%中度污染（150<AQI≤200）4913.4%重度污染（200<AQI≤300）308.2%嚴(yán)重污染（AQI>300）143.8%合計(jì)365100%2．假設(shè)你是某市一名交通部門的工作人員，你打算向市長(zhǎng)報(bào)告國(guó)家對(duì)本市26個(gè)公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額．已知國(guó)家對(duì)本市一條新公路的建設(shè)投資為2000萬(wàn)元人民幣，對(duì)另外25個(gè)公路項(xiàng)目的投資是20?100萬(wàn)元，這26個(gè)投資金額的中位數(shù)是25萬(wàn)元，平均數(shù)是100萬(wàn)元，眾數(shù)是20萬(wàn)元．請(qǐng)你根據(jù)上面的信息給市長(zhǎng)寫一份簡(jiǎn)要的報(bào)告．為了避免極端值對(duì)平均數(shù)的影響，可以把新建設(shè)公路項(xiàng)目和另外25個(gè)公路項(xiàng)目分開報(bào)告，例如公路建設(shè)的總投資額為2600萬(wàn)元，其中一條新公路的建設(shè)投資2000萬(wàn)元，其他25項(xiàng)公路是擴(kuò)建或部分路段的改造項(xiàng)目，它們的平均投資是24萬(wàn)元．3．某校舉行演講比賽，10位評(píng)委對(duì)兩位選手的評(píng)分如下：甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后，剩下8個(gè)評(píng)分的平均數(shù)．那么，這兩個(gè)選手的最后得分是多少？若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎?你認(rèn)為哪種評(píng)分辦法更好？為什么？?jī)煞N評(píng)分方法甲、乙得分的平均數(shù)見下表：選手8位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)甲8.008.14乙8.068.05如果采用去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分的評(píng)分方法，乙選手比甲選手得分高．但是如果按照10位評(píng)委的平均分作為最后的得分，甲選手的得分反而比乙的高.這是因?yàn)橛幸粋€(gè)評(píng)委給甲選手評(píng)分為9.9，高出其他評(píng)委的評(píng)分很多，這一個(gè)評(píng)委的評(píng)分使排名順序發(fā)生了改變．去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分的評(píng)分機(jī)制可以規(guī)避個(gè)別評(píng)委對(duì)選手得分的影響．統(tǒng)計(jì)學(xué)在軍事中的應(yīng)用——二戰(zhàn)時(shí)德國(guó)坦克總量的估計(jì)問(wèn)題俗話說(shuō)，知己知彼方能百戰(zhàn)百勝．在第二次世界大戰(zhàn)期間，德國(guó)制造坦克的技術(shù)非常先進(jìn)，坦克的大量使用使納粹德國(guó)占據(jù)了戰(zhàn)場(chǎng)主動(dòng)權(quán)．因此，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對(duì)盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義．為此，除了通過(guò)常規(guī)情報(bào)收集信息外，盟軍請(qǐng)來(lái)了統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與情報(bào)的收集和分析工作．根據(jù)德國(guó)戰(zhàn)后公布的生產(chǎn)記錄顯示，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的結(jié)果與真實(shí)值非常接近，而通過(guò)常規(guī)情報(bào)進(jìn)行的估計(jì)則與真實(shí)值相去甚遠(yuǎn)．下表是二戰(zhàn)期間的三個(gè)月中，德國(guó)記錄的生產(chǎn)坦克的數(shù)目和情報(bào)估計(jì)、統(tǒng)計(jì)估計(jì)的坦克數(shù)目．時(shí)間德國(guó)記錄/輛情報(bào)估計(jì)/輛統(tǒng)計(jì)估計(jì)/輛1940年6月12210001691941年6月27115502441942年8月3421550327統(tǒng)計(jì)估計(jì)有如此高的精確度，統(tǒng)計(jì)學(xué)家是怎么做到的呢？原來(lái)，盟軍在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)