2025年河南省扶溝高級中學(xué)高三下-第一次考試數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025年河南省扶溝高級中學(xué)高三下-第一次考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)2.已知實數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為,點.已知動點在雙曲線的右支上,且點不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.5.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有6.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.7.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.88.在中,角的對邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.9.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是10310.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.611.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.12.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,點在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)14.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)15.已知點是拋物線上動點,是拋物線的焦點,點的坐標(biāo)為,則的最小值為______________.16.若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值為________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.(1)若,且恰為的左焦點,求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點,求證:在軸上不存在這樣的點,使得.18.(12分)已知函數(shù),的最大值為.求實數(shù)b的值;當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時,令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為?若存在,求實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.20.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.21.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點(不在棱的端點處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點,當(dāng)四邊形為菱形時,求長.22.(10分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=bnan,求數(shù)列

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.2.D【解析】

根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,

當(dāng),若為增函數(shù),則①,

當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,

變形可得:,

又由,可得在上單調(diào)遞減,則,

若在上恒成立,則有②,

若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③

聯(lián)立①②③可得:.

故選:D.本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).3.A【解析】

依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.4.C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時,,求得,故選:C.本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系,進(jìn)行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對稱,若關(guān)于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6.C【解析】

設(shè),計算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.7.A【解析】

由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.8.A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10.B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項積等).11.C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個選項中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為,B選項漸近線為,C選項漸近線為,D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當(dāng)時,故選:B考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因為,所以,又因為,所以.故答案為:本題主要考查三角形中向量的線性運算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.14.【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.15.【解析】

過點作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時,的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點,準(zhǔn)線方程為,過點作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時,的值最小.設(shè)切點,由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.16.【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖像的對稱性,求得的最小值.【詳解】解:將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度,可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對稱,可得,,,即時,的最小值為.故答案為:.本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)圖像的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2);(2)見解析.【解析】

(1)由圓的方程求出點坐標(biāo),得雙曲線的,再計算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時,等號成立,∴軸上不存在點,使得.本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運算,本題對學(xué)生的運算求解能力要求較高,解題時都是直接求出交點坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.18.(1);(2)時,在單調(diào)增;時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時,取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根,進(jìn)而可得結(jié)果.詳解:(1)由題意得,令,解得,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,取得極大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定義域為.①即,則,故在單調(diào)增②若,而,故,則當(dāng)時,;當(dāng)及時,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.③若,即,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增(3)由(1)知,所以,令,則對恒成立,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根,即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根,令,,則,設(shè),,則對恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,故恒成立,所以,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實根.綜上所述,不存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點睛:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值,屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個極值點,則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數(shù)值與極值的大小.19.(1);(2)【解析】

(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因為,故,.根據(jù)余弦定理:,..本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.20.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個整數(shù),可得結(jié)果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設(shè)成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若

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