2023-2024學年高一數(shù)學下學期期末復習：復數(shù) 知識點（人教A版2019必修第二冊）

《人教A版必修二知識點匯總》

第7章《復數(shù)》知識點匯總

7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

1.復數(shù)的概念

(1)定義

形如a+bi(a,6CR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，且全體復數(shù)所構(gòu)成的集合

叫做復數(shù)集.

這樣，方程/=—1在復數(shù)集。中就有解x=i了.

(2)表示方法

復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z=a+bi(a,beR),其中a與6分別叫做復數(shù)z的實部與

虛部.

溫馨提示:①產(chǎn)=-1；②i和實數(shù)之間能進行加法、乘法運算；(3)實部aeR,虛部beR.

(3)實例運用

例1說出下列復數(shù)的實部和虛部：

-2+—j,7~2+E,-'_3j,i,0.

解：-2+?的實部為-2,虛部為芯

2的實部為，無，虛部為1；

“梳的實部為虛部為0；

—的實部為0,虛部為一

E的實部為0,虛部為1;

0的實部為0,虛部為0;

2.復數(shù)相等的充要條件

(1)設a,b,c,d都是實數(shù)，貝!|a+bi=c+di=a=c且b=d.

即“兩個復數(shù)相等的充要條件是它們的實部與虛部對應相等.”

(2)特別地，a+bi=O0a=b=O.即”0的實部與虛部都為0”.

(3)實例運用

例2求滿足下列條件的實數(shù)x,y的值：

①(久+y)+(y—l)i=(2久+3y)+(2y+l)i；

解：由題意可得

解得％=4,y=-2

②(％+y—3)+(%—2)i=0.

x+y3

解:由題意可得｛~_^°=0

解得％=2,y=1

3.復數(shù)的分類

(1)實數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)的概念與充要條件

對于復數(shù)a+bi(a,bCR),

①當且僅當6=0時，它是實數(shù)；例如.?2,-V3,-|,0都是實數(shù).

②當且僅當a=6=0時，它是實數(shù)0；

③當670時，它叫做虛數(shù)；例如：2—3i,—5+7i,—0.2i都是虛數(shù).

④當a=0且640時，它叫做純虛數(shù).例如2i,—02,|i都是純虛數(shù).

(2)復數(shù)的分類

由上探究可知，復數(shù)a+biGt,66R)可分類如下：

虛數(shù)集(bWO)實數(shù)集R

(b=0)

廣、復數(shù)集C

(純虛數(shù)必

(二0且呵

復數(shù)z=a+bi的分類

(3)實例運用

例3當實數(shù)TH取什么值時，復數(shù)z=m+1+(m-l)i是下列數(shù)？

(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

解：(1)當虛部租一1=0,即根=1時，復數(shù)z是實數(shù)；

(2)當虛部血一1。0,即7HW1時，復數(shù)Z是虛數(shù)；

,實部m+1=0m=—1

(3)當時，即｛故當爪=-1時，復數(shù)Z是純虛數(shù).

.虛部m—10znW1

7.1.2復數(shù)的幾何意義

1.復平面的概念

如圖，點Z的橫坐標是a,縱坐標是6,復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示.

通過建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，%軸叫做復平面口虛軸，一

■一對應

3點Z(a,b)<<-------->復數(shù)z=a+bi

實軸，y軸叫做虛軸."

1

例如，復平面內(nèi)的原點(0,0)表示實數(shù)0,實軸上的點(2,二32,。，2、E

-1

0)表示實數(shù)2,虛軸上的點(0,—1)表示純虛數(shù)一i,點(-2,3)-2

■3

表示復數(shù)一2+3i.-4

注1：實軸上的點都表示實數(shù)；

注2：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

2.復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)的幾何意義------用點表示復數(shù)

由復平面的概念引入可知：每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每

一個點，有唯一的復數(shù)和它對應.

由此可知，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)的點按如下方式建立了---對應關(guān)系：

----對應復平面內(nèi)的點

復數(shù)z=a+bi<------------->

Z(Q,b)

注：這是復數(shù)的第一種幾何意義一一用點表示復數(shù).

(2)復數(shù)的幾何意義二一一用向量表示復數(shù)

如圖，設復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)2=a/萬，連接0Z,顯然向量OZ由點Z唯一確定；反過來，點

Z也可以由向量而唯一確定.

因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量建立了如下一一對應關(guān)系(實數(shù)0與零向量對應)，

即

—對應-------z-

復數(shù)z=a+bi<…>平面向量OZ

注：這是復數(shù)的第二種幾何意義一一用起點為坐標原點的平面向量表示復數(shù).

3.復數(shù)的模

如圖，當我們用向量0Z表不復數(shù)2=。時

規(guī)定：向量應的模叫做復數(shù)的?；蚪^對值，記作

\z\或|Q+bi\.

即\z\=\a+bi\=Va2+b2.

簡稱為：“一個復數(shù)的模等于它實部與虛部的平方和再開算術(shù)平方根.”

注：特別地，當b=0時，那么是一個實數(shù)a,它的模就等于|a|.

簡稱為：”實數(shù)的模等于這個實數(shù)的絕對值

4.共機復數(shù)

共輾復數(shù)丫[虛軸

(1)定義:復數(shù)z=a+bi

b[

如圖，一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)2

1

時，這兩個復數(shù)叫做互為共扼復數(shù)Ym2%土扁

-1

注：特別地，虛部不等于0的兩個共施復數(shù)也叫做共軻虛-2

出----4__

數(shù).例如3+5i與3—5i互為共朝復數(shù).”共地復數(shù)2=2的

(2)表示性質(zhì)：共枕復數(shù)z與工在復平面內(nèi)對應的點

關(guān)于X軸(實軸)對稱.

復數(shù)Z的共軻復數(shù)用z表示，即如果z=a+抗，那么

z=a—bi.

(3)性質(zhì)

共軻復數(shù)復數(shù)z與2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于x軸(實軸)對稱.

5.實例運用

例3設復數(shù)Z]=4+3i,Z2=4—3i.

(1)在復平面內(nèi)畫出復數(shù)Zi，Z2對應的點和向量；

(2)求復數(shù)Z],Z2的模，并比較它們的模的大小.

解：(1)如圖，復數(shù)zi/2對應的點分別為Z1(4,3),

Z2(4,—3),對應的向量分別為西，兩，且復數(shù)Z1*2互為共軻復數(shù).

(2)已知z】=4+3i,z2=4-3t.

22

/.|zt|=|4+3i|=V4+3=5

\z2\=|4-3i|=g+(-3)2=5

故\zi\—%I

7.2.1復數(shù)的加、減運算及其幾何意義

1.復數(shù)加法的運算

(1)復數(shù)加法的運算法則

規(guī)定：設Z]=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,d6R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的和為

(a+bi)+(c+di)-(a+c}+(b+d)i

簡述為：”兩個復數(shù)相加，實部與實部相加作為和的實部，虛部與虛部相加作為和的虛部.”

例如(2+3i)+(-1+i)=[2+(-1)]+(3+l)i=1+4i

注：由復數(shù)的加法法則可以看出

(1)兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù)；

(2)特別地，當Z1，Z2都是實數(shù)時，把它們看作復數(shù)時的和就是這兩個實數(shù)的和.

(2)復數(shù)加法的運算律

根據(jù)復數(shù)加法的運算法則可知：對任意的Zi，Z2，Z3€C,都有

zZ

(1)交換律：Zt+Z2-2+1；

(2)結(jié)合律：(zt+Z2)+Z3w+(z2+z3).

注：實數(shù)集中加法的交換律、結(jié)合律在復數(shù)集中仍然成立，且實

數(shù)集中的移項法則(移正為負、移負為一正)在復數(shù)集中仍然成立.

(3)復數(shù)加法的幾何意義

如圖所示，設復數(shù)Zi=a+bi,z2=c+di分別與向量。Z；,0Z；對

應，四邊形0Z1ZZ2為平行四邊形，則

Zi+Z2就對應著復平面中的向量0Z.

2.復數(shù)的減法運算

(1)復數(shù)的減法法則

規(guī)定：復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+由)+(%+yi)=a+bi的復數(shù)％+yi(%,yER)叫

做復數(shù)a+bER)減去復數(shù)c+di(c,dER)的差，

記作：x+yi=(a+bi)—(c+di).

(a+bi)—(c+di)=(a—c)—(b—d)i

例1計算(2+4i)+(3—4i)；

解：原式=(2+3)+[4+(-4)]i=5

例2設復數(shù)z的共扼復數(shù)為5,若復數(shù)z滿足2z+N=3—2￡,求z..

解:設z=a+bi｛a,be/?),則z的共扼復數(shù)，=a-b,

2z+z-=2(a+bi)+(a—bi)=2a+2bi+a—bi=3a+bi

又二?已知2z+5=3—2i,即3a+bi=3-2i

???｛曰,解得｛仁J

故z=l-2i

例3已知復數(shù)Zi=3+4。z2=3—4i,求z1一z2.

解：、?已知復數(shù)Zi=3+4i,z2=3-4i,

.?.Z1-z2=(3+4i)-(3-4i)=(3-3)+[4-(-4)]i=Si

例4計算

(1)5-(3+2t)

解⑴：5-(3+2i)=5—3—2i=2-2i

(2)(5—6i)+(—2—i)—(3+4i)

解(2)：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=5-6i-2-i-3-4i=-Hi

7.2.2復數(shù)的乘、除運算

1.復數(shù)加法的運算

(1)復數(shù)乘法的運算法則

規(guī)定：設Zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積為

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bet+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc}i

簡述為：“兩個復數(shù)相乘，先用多項式乘多項式展開，再將武=-1代入化簡.”

例如(2+3i)(-l+i)=-2+2i—3i+3t2=-5一i.

注：由復數(shù)的乘法法則可以看出

①兩個復數(shù)的積仍然是一個確定的復數(shù)；

②特別地，當Zi，Z2都是實數(shù)時，把它們看作復數(shù)時的積就是這兩個實數(shù)的積.

(2)復數(shù)乘法的運算律

根據(jù)復數(shù)乘法的運算法則可知：對任意的Z1，Z2，Z3eC,都有

Z

①交換律：Z[Z2=Z21；

②結(jié)合律：(Z1Z2)Z3=Z1G2Z3)；

③分配律：Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

注：復數(shù)乘法的運算律與多項式乘法的運算律相同，同時相應的公式----如完全平方公式(a±6)2=

a2±2ab+>、平方差公式94-/>)(a-/?)=a2-川以及乘方運算法則在復數(shù)范圍內(nèi)都適用.

2.復數(shù)的除法運算

(1)復數(shù)的除法法則

/、/、a+bi(a4-&i)(c—di)ac—adi+bci—bd產(chǎn)

(a+bi)+(c+di)==3*-----=-------------5---------

c+di(c+di)(c-di)cz—(di)z

(ac4-bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad

復數(shù)的除法法則為：

簡述為：“兩個復數(shù)相除，先把除式轉(zhuǎn)化為分式，再分子分母同時乘以分母的共軻復數(shù)，實現(xiàn)分母實

數(shù)化后化簡.“

注：由復數(shù)的除法法則可以看出兩個復數(shù)的商仍然是一個確定的復數(shù);

(2+3i)(l+i)_2+2i+3i+3i2-l+5i1,5.

例如(2+3￡)+(1—。二"-------F-L

(l-i)(l+i)-12T2222

(2)復數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程a/+bx+c=0(a,b,ceR且a力0)的求根公式

①當判別式/=爐一4ac>0時,X=-b±Q4ac

2a

②當判別式/=爐-4ac<0時,x=一b