行列式的計算

照定義進行計算，但是直接按照定義計算而不借助于計算機有時是不可能的．本文在總結已有常規(guī)行列式計算方法的基礎上，對行列式的“特征值法”等十幾種計算技巧和途徑.紹幾種常見的,也是行之有效的計算方法.用此方法.2.定義法1j12j23j34j4慮j=3，j=2，j=1這些列指標的項．這1就3.化為三角形計算法000100200430000010=00001329585=700=0100026770078外,還有其它的作用.yynnnx(yx(y111之所以等于零，是因為有兩列成比例.x(yx(yx)(y1111數有關時,還需進行討論說明.b0b0n13.3逐行(或列)相加減n+2=D=000n+211123 2 再將最后一行乘以（-2加到倒數第二行，其余行都不變，得：=D=n+2100001011000012000111000011000Dn+21000000001000000010000000010001010101011203行列式化為三角形行列式，從而求出行列式的值.1aa4.特殊行列式a0c1c2cnb2a2nanbnanb2a2b1a1a0c1c2cncnc2ca0a22annancna2a1c1bn2b1a0iaiiiiai002niΣ)iij0aiD=2222-y可以化為爪型行列式，利用例6結論計算其值.解D2+x22200y(y)a1b2a2cn2b3cn1an1bn證明.D=na+b1a+b11a+b1n2變形D2n1nn1n11111111解按第n行展開得Dn11111D1有na0b1c2a1a222bncnanancnbna2c2b2a1c1b1a0cnanc2a2bnc1a1b2a0b1b2a1c010a2c2bnnnn三條直線外,其余元素全為零的三線型行列式，稱為型行列式．這一階.D=nn+1nxxan11xa1xa211xn+1(+an1232…n1121232n(n+1)n(n+1)21212a10D=n0bnb1a2002nDn1a2002nn+1nb1a202n+1bb…ba100bna100b2b1a2000a2000b200…………,,1n1nnn200a000ab12bn00ana100bn等的“兩線形的行列式”可以直接展開降階.然后再利用公式計算出結果.n.用線性方程組的理論證明，若是f(x)有n+1個不同的根，那么f(x)為零多項式.2n2n2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up35(2),c)n111a1a2annnij所以f(x)為零多項式.38713387132=BA3012516003201093328700015312|nnnEnnn0BnABBnABBnnEnE0E=a0abb.b00b22公式2設A，B，C均為n階方陣，則B0B0CAB122aaa0aaaab0aaa0ab00000b0a0003素所組成的一切k級子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D.ii是D中一項而且符號相同，而且MA和MA(i子j)無公共項．因此為了iijjk=.ii項．定理得證.M=1M=425123,M6=10.101.20131+14.010113從例子來看，用拉普拉斯定理來計算行列式一般是不個定理主要是理論方面的應用.6.析因子法看作一個多項式f(x)，然后利用多項式理論，求出f(x)的互素的一次11221332211335x的4次多項式及33f(x)．由22113355f(x)有因式x士1、x士2，且f(x)關于x的最高次數為4，故2123n1n12nf(x)關于x的最高次7.加邊法加邊法是把原行列式添加一行一列,且其值不變,所得的新行列D=n解:11…1112…11n111…1nD=n11…11012…110n111…1n011111i10001…10001an1111112n1000an11111i1000a11…10001an00…iiD=nx2x2…x2xn21xn1易見D1x1x21xn-21xn-11xn11x2x22…xn-22xn-12xn21xnx2n…xn-2nxn-1nxnn1yy2yn-2yn-1yn8.拆分法分法”D=解按第一列之和分解為1111bbbn11111b1b2bna2a2a2nnnnnnbbba0bba0bbnna0bbn00000nnn1(n1)(n1)D=nna0bbb000a0bbnn1n3n2)n2n2n2)n1n9.遞推與歸納干個具有相同形狀但階數較低的行列式的關系式,再利用關系式推出這個n階行列式的值.一般情況下,主要方法有:元素相同的題型.更低階）行列式之間遞推關系式，利用此關系式求行列式的值．降階DnDD_CDn__2(D_CD)nn_1D=xax11a2a2a2a2a3a3nnn解:Dxa1a1a1xa1a1a1aaa212axa2aaa323aaa323a212x2a323a323nnn)xa1a1a1a1xa2a2aaaan000nnnn200+a2a2xa1a1a133a1xa2a2a2a2a3a3n)Dnn1210n00 n即n1001000000n-1nn-1n-22c3-β3c-βD=3c4-β4c-βc4-β4c3-β3c5-β5c4-β4c3-β3c5-β510.作輔助行列式例28設f(x),f(x),…,f(x)為次數不超過n-2的函數，設c,c,…,c為任f1(c1)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f(c)…f(x)=axn-2+axn-3+…+ax+a1i1i2in-2in-1f(c)f(c)f(c)aa=21a馬上得證.aaan22n2nn2a2n1ann1cn一21cn一31c110cn一22cn一32c210cn一2ncn一3ncn10根cc…cnf1(x)f(x)2f(x)2f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)nf1(c1)f(c)f(c)證畢.f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)=011.滾動消去法法來做.21 21 nn0n212.特征值法僅當它的特征值全部為零.13.微積分法f(x)f(x)i1ff(x)f(x)i1f(x)0n02